10324
.pdf[Введите текст]
где (a,0,0) , (0,b,0) и (0,0,c) – точки пересечения плоскости с координатными осями. Действительно, из (11.2) следует Ax By Cz D и далее,
предполагая, что D 0 (т.е. плоскость не проходит через начало координат) и разделив обе части этого уравнения на D , получим уравнение (11.3), в
котором a |
D |
, |
b |
D |
и |
c |
D |
величины отрезков, которые плос- |
|
A |
B |
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
кость «отрезает» |
от осей координат (см. рис. 11.6). |
z
c
b
y
x a
Рис. 11.6
Получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M 3 (x3 , y3 , z3 ) . Пусть M (x, y, z) – произ-
вольная точка плоскости П .
M2
M
M3
|
|
Рис. 11.7 |
|
|
Тогда три вектора M1M , M1M 2 , |
M1M 3 будут компланарными и, следова- |
|||
тельно, их смешанное произведение равно нулю |
|
|||
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
|
|
|||
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
0 . |
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
|
80 |
|
|
[Введите текст]
Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его к линейному уравнению относительно x, y, z вида (11.2).
11.2. Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями (см. рис. 11.8).
A1x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2 z D2 0 .
Рис. 11.8
Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом
между плоскостями П1 |
и П2 будем считать меньший из этих двугранных |
|
углов (см. рис. 11.8). Выразим угол |
между плоскостями через угол |
|
между нормальными к ним векторами |
N1 A1, B1,C1 и N2 A2 , B2 ,C2 . |
|
Если угол острый, то |
(как углы с взаимно перпендикулярными |
|
сторонами). Если же угол |
– тупой, то (см. рис. 11.8b) ), по- |
этому cos cos . В итоге для вычисления угла |
между плоскостями |
|||||||
имеем формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
| N1, N 2 | |
|
|
| A1 A2 B1B2 C1C2 | |
||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
| N1 | | N 2 | |
A12 B12 C12 |
A12 B12 C12 |
В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности двух плоскостей имеют вид
П1 П2 |
A1 A2 B1B2 С1С2 0 ; |
||||||||
П П |
|
|
A1 |
|
B1 |
|
С1 |
. |
|
2 |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
A2 |
|
B2 |
|
С2 |
||
|
|
|
|
|
|
81
[Введите текст]
В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
|
D1 |
, |
(11.4) |
|
A2 |
B2 |
C2 |
D2 |
||||||
|
|
|
|
|
то эти плоскости совпадают.
Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует понятие
пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух задан-
ных плоскостей. В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид
( A1x B1 y C1z D1 ) (A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 . |
(11.5) |
Действительно, уравнение (11.5) – уравнение плоскости. Так как ко- |
|
ординаты любой точки, принадлежащей линии пересечения П1 и |
П2 , об- |
ращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.
11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 .
Рис. 11.9
Пусть M1 ( x1, y1, z1 ) – проекция точки M 0 на данную плоскость (см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M 0 на направление нормального вектора N A, B,C :
82
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
|
ПрN M1M 0 |
|
|
| N ,M1M 0 | |
|
|
|
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C( z0 z1 ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax0 By0 |
Cz0 Ax1 By1 Cz1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как точка M1 (x1, y1, z1 ) |
|
принадлежит плоскости, то Ax1 By1 |
Cz1 D |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
Ax0 |
By0 |
Cz0 |
D |
|
. |
|
|
|
|
(11.6) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найдём координаты точки M1 (x1, y1, z1 ) . Для этого выразим вектор |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M1M 0 |
через найденное расстояние |
|
|
d |
|
и единичный вектор |
|
1 |
|
N , нор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|||
мальный к плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M 0 |
|
|
d |
|
N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.7) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из формулы (11.6) |
|
видно, что знак проекции вектора M1M 0 определяется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаком выражения |
|
Ax0 By0 Cz0 |
|
D, т.е., если Ax0 By0 Cz0 D 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то M1M 0 N , и в формуле (11.7) нужно взять знак «плюс». |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти проекцию начала координат на плоскость |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 y z 7 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пусть |
M1 ( x1, y1, z1 )– проекция точки |
|
|
( 0 , 0 , 0 )на данную плоскость (см. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рис.11.10). Вычисляем расстояние точки (0,0,0) до плоскости |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
3 0 2 0 1 0 7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1.9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 4 9 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что M1O { x1, y1, z1} N {3, 2, 1}
83
[Введите текст]
z
Рис. 11.10
Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем
{ x , y , z } |
|
7 |
|
|
{3, |
2, 1} |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
1 |
14 |
14 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Отсюда находим M1 ( 1.5,1,0.5) .
Лекция 12. Прямая линия в пространстве
12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном про-
странстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка этой прямой и
S {m, n, p} – вектор, параллельный прямой L , называемый направляю-
щим вектором этой прямой
84
[Введите текст]
Рис. 12.1
Возьмем на прямой |
L произвольную точку |
M (x, y, z) . Рассмотрим |
|||||||
следующие векторы |
M |
0 |
M {x x , y y , z z |
}, |
r { x , |
y , z }и |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
r {x, y, z}. Очевидно, что векторы M 0M и |
S коллинеарны, поэтому су- |
||||||||
ществует число t такое, что |
|
M0M t S , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r0 t S . |
|
|
|
|
(12.1) |
Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые пара-
метрические уравнения прямой в пространстве
x x0 |
mt |
|
|
|
|
y y0 nt |
(12.2) |
|
|
p t |
|
z z0 |
|
Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от до точка M (x, y, z) «пробегает» всю прямую L . В частности, при t 0 урав-
нения (12.2) дают координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) .
Выразим параметр t из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим
уравнениям прямой в пространстве
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
(12.3) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
n |
|
p |
|
|
Заметим, что на плоскости |
xOy каноническое уравнение прямой, проходя- |
|||||||
щей через точку M 0 (x0 , y0 ) |
с направляющим вектором |
S {m, n} , имеет |
||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
y y0 |
. |
(12.4) |
|
|
|
|||
|
m |
|
n |
|
|
Обратим внимание, что уравнения (12.3) представляют собой краткую |
|||||
запись трёх равенств. Рассмотрим, например, одно из них |
(12.4). Это урав- |
нение плоскости, параллельной оси O z . Так как координаты любой точки
прямой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости
Рис.12.2
Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией
прямой L на эту координатную плоскость.
Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,
x x |
|
|
|
y y |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
x x |
|
|
|
z z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
p |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.
В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей П1 и П2 имеют вид
A1x B1 y C1z D1 |
0 |
(12.5) |
|
|
|
A2 x B2 y C2 z D2 |
0 |
|
Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см. рис. 2.3).
86
[Введите текст]
Рис. 12.3
Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2
не параллельны. Пусть, например,
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
B1 |
0 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1z D1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
C1z D1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
C2 z D2 |
B2 |
|
, |
y |
|
|
A2 |
C2 z D2 |
|
|
. |
(12.6) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Раскрывая определители в этих выражениях, представим решения си- |
||||||||||||||||||||
стемы (12.5) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x z , |
y z . |
|
||||||||||||||
Будем рассматривать переменную |
z в качестве параметра, выразим её |
|||||||||||||||||||
из полученных равенств и запишем их в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
. |
|
|
|
|
(12.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, координаты точек прямой L , заданной уравнениями (12.5), удовлетворяют уравнениям (12.7), которые можно рассматривать как
87
[Введите текст]
канонические уравнения этой прямой. В частности, точка ( , ,0) лежит на
этой прямой, а S { , ,1} – её направляющий вектор.
Возможен и другой путь получения канонических уравнений прямой из уравнений прямой как линии пересечения двух плоскостей П1 и П2 , за-
данных уравнениями (12.5)
Рис. 12.4
Очевидно, что в качестве направляющего вектора S {m, n, p} прямой
L можно взять векторное произведение |
векторов N1 {A1, B1,C1} и |
|||
N2 {A2 , B2 ,C2}, т.е. |
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|||
S N1 N2 |
A1 |
B1 |
C1 |
mi n j pk , |
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
а координаты какой-нибудь точки этой прямой получим, решая систему (12.5) при фиксированном значении переменной z (например, z 0 ).
Получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Очевидно, что направляющим вектором этой прямой может служить вектор
M1M2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1}, и тогда канонические уравнения примут вид
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
(12.8) |
|
|
|
||||
x2 x1 |
|
y2 y1 |
|
z2 z1 |
|
12.2.Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой
впространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
|
|
|
|||
m |
|
n |
|
p |
88
[Введите текст]
Обозначим через M 2 (x2 , y2 , z2 ) проекцию точки M 0 на данную пря-
мую (см. рис. 12.5). Напомним, что проекцией точки M на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей
через точку M 0 перпендикулярно этой оси.
Рис.12.5
Требуется найти координаты точки M 2 и расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем вектор M1M 2 , который коллинеарен вектору S {m, n, p} и имеет длину, равную модулю проекции вектора M1M0 {x0 x1, y0 y1, z0 z1} на вектор S . Так как
ПрS M1M0 |
M1M0 , S |
, |
||||||
|
| S | |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M2 |
|
M1M0 |
, S S |
. |
(12.9) |
|||
|
|
|
|
|
||||
| S | |
|
| S | |
||||||
|
|
|
|
|
Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле
d | M1M0 M1M2 | | M1M0 M1M0 , S S | .
| S |2
Пример. Вычислить расстояние точки M 0 (2, 1,3) до прямой
89