10404
.pdf60
Из условия (3.29) найдем критические значения Р:
N+,,сж = N+,,-h; P+,,-h = 1.5π,EIcos,α sin α = 0.576π,EI , N,/,сж = N,/,-h; P,/,-h = 1.5π,EIcos,β sin β = 0.377π,EI .
Расчетным является меньшее значение критической нагрузки P,/,-h = = 0.377π,EI . При достижении нагрузки значения P,,/,-h , устойчивость теряет стержень 2-3 и вся ферма.
Пример 3.10. Определить критическую нагрузку для систем (рис.3.15 – 3.18) самостоятельно.
4. Устойчивость статически неопределимых систем
Для исследования устойчивости неразрезных балок и рам необходимо знать углы поворота и концевые усилия сжато-изогнутого стержня с различным опира- нием концов.
4.1.Усилия и деформации сжато-изогнутого стержня
Рассмотрим стержень рис а длиной ℓ постоянной жесткости попереч
ного сечения , сжатый силой N, при отсутствии поперечной нагрузки, в со-
EI ( .4.1, ) -
стоянии безразличного равновесия. В момент потери устойчивости стержня его левый конец повернулся на угол φ' , в начальном сечении возникли момент M' и поперечная сила Q'. Кроме этого, произошло взаимное смещение опор на величину {¿. Начальные параметры y', φ', M', Q' определяют деформации и
усилия стержня в начале координат. Рассмотрим равновесие стержня в деформи- рованном состоянии при малых отклонениях от исходного прямолинейного со- стояния равновесия. Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси
стержня (3.4): yss = −M x& ,
EI
61
где M x& = M' + Q'x + N y − y'& – изгибающий момент в произвольном сече- нии. Тогда получим неоднородное дифференциальное уравнение второго поряд-
ка: |
|
|
|
y |
|
+ n y = − EI x − |
EI |
+ EI y' , |
|
||
|
EI |
–)… …¢ |
|
ss |
|
, |
Q' |
M' |
N |
|
|
|
j© |
|
Ω |
|
|
(4.1) |
|||||
где |
n, = N» |
. Решение этого уравнения |
nx − sin nx& |
|
|||||||
|
y x& = y' |
+ φ' |
… |
− |
À |
|
1 − cos nx& − …À |
|
|||
представляет собой уравнение оси сжато-изогнутого стержня.
Рассмотрим три типа сжато-изогнутых стержней: стержень с шарнирным закреплением концов; стержень с обоими защемленными концами; стержень с одним защемленным и другим шарнирно опертым концами.
4.1.1. Стержень с шарнирным закреплением концов
Начальные параметры, т.е. усилия и деформации стержня с шарнирным за- креплением концов (рис.4.1.б) в сечении, где принято начало координат, будут:
|
|
y' = 0 |
|
φ' = φ@ |
|
M' |
= M@ |
|
|
Q' = Q@ = |
B |
. |
||||
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
jÁej |
|
Подставляя в (4.1) значения |
|
начальных параметров и учитывая, что при x = l , |
||||||||||||||
y = 0 |
, получим: |
sin V |
M@ |
1 − cos V& − |
M? − M@ |
V − sin V& = 0 , |
||||||||||
|
φ'l |
|||||||||||||||
|
V |
− |
N |
|
VN |
|
||||||||||
где: |
|
|
|
|
|
V = nl = lY |
kuÀ |
. |
|
|
(4.2) |
|||||
62
63
Из последнего выражения будем иметь:
φ@ = j †1 − v ‡ + jÁ v − 1&
ÀB ÃÄv ÀB –)… v ;
Учитывая, что Nl = vFBku и вводя обозначения
φ V& = ¥ † + − +‡ Ψ V& = / †+ − ctgV‡,
v –)… v v ; v v
(4.3)
(4.4)
получим выражение для определения угла поворота левого конца стержня:
φ@ = /kuj lΨ V& + ¥jkuÁ lφ V&. |
(4.5) |
||
Выражение для определения угла поворота правого конца стержня будет: |
|||
φ? = /kÆjÁ lΨ V& + |
¥jkÆÂ lφ V&. |
(4.6) |
|
Значения функций φ V& и |
Ψ V& |
(4.4), вычисленные |
С.П. Тимошенко, |
приведены в таблице 4.1.
При отсутствии нагрузки в пролете изгибающие моменты в таких стержнях не возникают. Однако, при относительном сдвиге концов на величину δ появ- ляется поперечная сила, определяемая из условия равновесия стержня
Q@ = Q? = Q = − ÀÇ = − )F V,δ . (4.7)
B B
4.1.2. Стержень с обоими защемленными концами
Такой стержень удобно рассматривать, заменяя его эквивалентным стержнем
с шарнирным опиранием концов (рис.4.2), загруженным опорными моментами |
|||||||
M@ и M? |
, поперечными силами |
Q@ |
и Q? и продольной силой N. Деформации |
||||
концов стержня определяются углами поворота |
φ@ и φ? , а также относительным |
||||||
сдвигом |
δ. Из рис.4.2 видно, что |
φ |
|
= φÈÈÈÈ + φ |
|
||
|
φ@ = φÈÈÈÈ + φ |
,; |
? |
|
|||
|
@ |
|
? |
, , |
(4.8) |
||
где: φ, = ÉÊ |
|
|
64 |
|
|
|
- составляющая угла поворота, вызываемая сдвигом концов стержня; |
||||||
φ@ и φ?- углы поворота вследствие изгиба стержня, которые с учетом знаков |
||||||
опорных моментов согласно (4.5) и (4.6) будут равны: |
1 |
|
|
|||
|
|
M@l 3 1 |
M?l 6 1 |
|
|
|
|
ÈÈÈÈφ = 3EY ∙ V ˆV − ctgV‰ − 6EY ∙ V ˆsin V − V‰ , |
|
||||
|
@ |
M?l 3 1 |
M@l 6 1 |
1 |
|
|
|
φÈÈÈÈ = 3EY ∙ V ˆV |
− ctgV‰ − 6EY ∙ V ˆsin V − V‰ . |
|
|||
|
? |
|
|
|
|
|
Подставляя в (4.8), получим: |
|
|
|
|
||
|
φ@ = j/kuÂB ∙ v/ †v+ − ctgV‡ − j¥kuÁB ∙ v¥ †–)…+ v − v+‡ + ÇB , |
(4.9) |
||||
|
|
M?l 3 1 |
M@l 6 1 |
1 |
δ |
|
|
φ? = 3EI ∙ V ˆV − ctgV‰ − 6EI ∙ V ˆsin V |
− V‰ |
+ l . |
|
||
Решая систему уравнений относительно концевых моментов и учитывая, что i = ku,
B
получим:
M@ = 4iφ, V&φ@ + 2iφ/ |
V&φ? − 6 ,) φZ |
V&δ , |
(4.10) |
||||
M? = 2iφ/ V&φ@ + 4iφ, |
V&φ? − 6 ,) φZ |
V&δ, |
|
||||
где: |
V tgV − V& |
|
|
|
|
||
φ, V& = |
, |
|
|
|
|||
|
V |
V |
|
|
|
||
|
8tgV tg 2 − |
2& |
|
|
|
|
|
φ/ V& = |
V V − sin V& |
|
, |
|
(4.11) |
||
4 sin V |
V |
V |
|
|
|||
φZ V& = |
tg 2 − 2& |
|
|
|
|||
¥ |
|
= φ+ †,‡ . |
|
||||
|
ZbF v&I,bO v& |
|
|
v |
|
|
|
65
Таблица 4.1. Численные значения функций С.П. Тимошенко
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
1.0000 |
1.0000 |
2.01 |
1.8130 |
1.4438 |
0.5 |
1.0300 |
1.0171 |
2.02 |
1.8270 |
1.4512 |
1.00 |
1.1304 |
1.0737 |
2.03 |
1.8413 |
1.4587 |
1.05 |
1.1455 |
1.0822 |
2.04 |
1.8558 |
1.4664 |
1.10 |
1.1617 |
1.0912 |
2.05 |
1.8706 |
1.4742 |
1.15 |
1.1792 |
1.1009 |
2.06 |
1.8858 |
1.4822 |
1.20 |
1.1979 |
1.1114 |
2.07 |
1.9012 |
1.4904 |
1.25 |
1.2180 |
1.1225 |
2.08 |
1.9168 |
1.4987 |
1.30 |
1.2396 |
1.134 |
2.09 |
1.9329 |
1.5070 |
1.35 |
1.2628 |
1.1473 |
2.10 |
1.9494 |
1.5158 |
1.40 |
1.2878 |
1.1610 |
2.11 |
1.9661 |
1.5846 |
1.45 |
1.3146 |
1.1757 |
2.12 |
1.9831 |
1.5336 |
1.50 |
1.3434 |
1.1915 |
2.13 |
2.0005 |
1.5427 |
1.55 |
1.3744 |
1.2084 |
2.14 |
2.0184 |
1.5521 |
1.60 |
1.4078 |
1.2266 |
2.15 |
2.0366 |
1.5616 |
1.65 |
1.4439 |
1.2462 |
2.16 |
2.0552 |
1.5713 |
1.70 |
1.4830 |
1.2673 |
2.17 |
2.0741 |
1.5813 |
1.75 |
1.5252 |
1.2901 |
2.18 |
2.0935 |
1.5914 |
1.80 |
1.5710 |
1.3147 |
2.19 |
2.1133 |
1.6018 |
1.85 |
1.6208 |
1.3414 |
2.20 |
2.1336 |
1.6124 |
1.90 |
1.6750 |
1.3704 |
2.21 |
2.1543 |
1.6233 |
1.95 |
1.7343 |
1.4020 |
2.22 |
2.1754 |
1.6343 |
2.00 |
1.7993 |
1.4365 |
2.23 |
2.1972 |
1.6457 |
66
Продолжение таблицы 4.1.
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.24 |
2.2194 |
1.6572 |
2.48 |
2.9624 |
2.0413 |
|
|
|
|
|
|
2.25 |
2.2421 |
1.6690 |
2.49 |
3.0056 |
2.0635 |
2.26 |
2.2654 |
1.6812 |
2.50 |
3.0502 |
2.0864 |
2.27 |
2.2891 |
1.6936 |
2.51 |
3.0963 |
2.1100 |
|
|
|
|
|
|
2.28 |
2.3135 |
1.7062 |
2.52 |
3.1438 |
2.1343 |
2.29 |
2.3384 |
1.7192 |
2.53 |
3.1931 |
2.1595 |
2.30 |
2.3641 |
1.7325 |
2.54 |
3.2437 |
2.1855 |
2.31 |
2.3902 |
1.7461 |
2.55 |
3.2963 |
2.2124 |
2.32 |
2.4171 |
1.760 |
2.56 |
3.3508 |
2.2402 |
|
|
|
|
|
|
2.33 |
2.4448 |
1.7744 |
2.57 |
3.4072 |
2.2690 |
2.34 |
2.4731 |
1.7891 |
2.58 |
3.4657 |
2.2988 |
2.35 |
2.5022 |
1.8041 |
2.59 |
3.5262 |
2.3297 |
2.36 |
2.5320 |
1.8195 |
2.60 |
3.5890 |
2.3618 |
2.37 |
2.5625 |
1.8354 |
2.61 |
3.6542 |
2.3950 |
2.38 |
2.5939 |
1.8516 |
2.62 |
3.7220 |
2.4295 |
2.39 |
2.6262 |
1.8683 |
2.63 |
3.7925 |
2.4654 |
2.40 |
2.6596 |
1.8854 |
2.64 |
3.8659 |
2.5027 |
2.41 |
2.6935 |
1.9031 |
2.65 |
3.9421 |
2.5415 |
2.42 |
2.7287 |
1.9212 |
2.66 |
4.0218 |
2.5819 |
2.43 |
2.7649 |
1.9398 |
2.67 |
4.1047 |
2.6241 |
2.44 |
2.8021 |
1.9589 |
2.68 |
4.1914 |
2.6680 |
2.45 |
2.8403 |
1.9786 |
2.69 |
4.2820 |
2.7140 |
|
|
|
|
|
|
2.46 |
2.8798 |
1.999 |
2.70 |
4.3766 |
2.7619 |
|
|
|
|
|
|
2.47 |
2.9204 |
2.019 |
2.71 |
4.4757 |
2.8121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
Продолжение таблицы 4.1.
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,72 |
4,5795 |
2,8648 |
2,96 |
10,5393 |
5,8622 |
|
|
|
|
|
|
2,73 |
4,6885 |
2,9199 |
2,97 |
11,1510 |
6,1688 |
2,74 |
4,8029 |
2,9778 |
2,98 |
11,8386 |
6,5134 |
2,75 |
4,9233 |
3,0386 |
2,99 |
12,6171 |
6,9035 |
2,76 |
5,0499 |
3,1027 |
3,00 |
13,5057 |
7,3486 |
2,77 |
5,1835 |
3,1702 |
3,01 |
14,5295 |
7,8613 |
2,78 |
5,3245 |
8,2414 |
3,02 |
15,7219 |
8,4583 |
2,79 |
5,4736 |
8,3106 |
3,03 |
17,1282 |
9,1623 |
2,6:0 |
5,6315 |
3,3963 |
3,04 |
18,8116 |
10,0049 |
2,81 |
5,7990 |
3,4807 |
3,05 |
20,8629 |
11,0314 |
2,82 |
5,9770 |
3,5704 |
3,06 |
23,4176 |
12,3096 |
2,88 |
6,1664 |
3,6659 |
3,07 |
25,6860 |
13,9446 |
2,04 |
6,3685 |
3,7676 |
3,08 |
31,0160 |
16,1105 |
2,85 |
3,5845 |
3,8764 |
3,09 |
37,0244 |
19,1156 |
2,86 |
6,8160 |
3,9928 |
3,10 |
45,9234 |
26,5659 |
2,87 |
7,0646 |
4,1179 |
3,11 |
60,4566 |
30,8334 |
2,88 |
7,3322 |
4,2525 |
3,12 |
88,4522 |
44,8321 |
2,89 |
7,6212 |
4,3977 |
3,13 |
164,7487 |
82,9812 |
2,90 |
7,9343 |
4,5550 |
3,14 |
1199,16 |
600,190 |
2,91 |
8,2745 |
4,7259 |
3,15 |
-227,166 |
-112,974 |
2,92 |
8,6455 |
4,9121 |
3,16 |
-103,757 |
-51,2692 |
2,93 |
9,0516 |
5.1160 |
3,17 |
-67,2348 |
-33,0068 |
2,94 |
9,4982 |
5,3401 |
3,16 |
-49,7513 |
-24,2541 |
2,95 |
9,9915 |
5,5875 |
3,19 |
-39,600 |
-19,1176 |
|
|
|
|
|
|
68
Продолжение таблицы 4.1
V
3,20 |
-32,7063 |
-15,7398 |
|
|
|
3,21 |
-27,9276 |
-13,3495 |
|
|
|
3,22 |
-24,3683 |
-11,5688 |
|
|
|
3,23 |
-21,6142 |
-10,1909 |
|
|
|
3,24 |
-19,4202 |
-9,0929 |
|
|
|
3,25 |
-17,6312 |
-8,1975 |
|
|
|
3,26 |
-16,1447 |
-7,4532 |
|
|
|
3,27 |
-]4,8899 |
-6,8248 |
|
|
|
3,28 |
-13,8166 |
-6,2872 |
|
|
|
3,29 |
-12,8881 |
-5,8220 |
|
|
|
3,30 |
-12,0770 |
-5,4154 |
|
|
|
3,40 |
-7,4248 |
-3,0787 |
|
|
|
8,50 |
-5,3769 |
-2,0433 |
|
|
|
8,60 |
-4,2292 |
-1,4572 |
|
|
|
3,70 |
-3,4990 |
-1,0787 |
|
|
|
3,80 |
-2,9961 |
-0,8128 |
|
|
|
V
3,90 |
-2,6314 |
-0,6147 |
|
|
|
4,00 |
-2,3570 |
-0,4603 |
|
|
|
4,10 |
-2,1454 |
-0,3355 |
|
|
|
4,20 |
-1,9792 |
-0.2317 |
|
|
|
4,30 |
-1,8475 |
-0,1430 |
|
|
|
4,40 |
-1,7429 |
-0,0652 |
|
|
|
4,50 |
-1,6603 |
0,0044 |
|
|
|
4,60 |
-1,5962 |
0,0682 |
|
|
|
4,80 |
-1,5152 |
0,1851 |
|
|
|
5,00 |
-1,4914 |
0,2975 |
|
|
|
5,25 |
-1,5482 |
0,4495 |
|
|
|
5,50 |
-1,7446 |
0,6470 |
|
|
|
5,75 |
-2,2344 |
0,9747 |
|
|
|
6,00 |
-3,7455 |
1,8015 |
|
|
|
6,25 |
-29,0867 |
14,5346 |
|
|
|
6,50 |
4,1490 |
-2,0242 |
|
|
|
69
Определяем поперечные силы:
Q@ = Q? = Q = − 1l M@ + M? + Nδ& = − 1l {[4iφ, V& + 2iφ/ V&]φ@ + + Ò2iφ/ V& + 4iφ, V&]φ? − Ò12 2i φZ V& − NÓ δÔ.
|
N = B |
i |
|
φZ V& = |
|
¥ |
|
|
Так как |
vF |
|
и |
|
ZbF v&I,bO v& , получим |
|
||
Q@ = Q? = −6 ,) φZ |
V&φ@ − 6 ,) φZ V&φ? + 12 B)F η, V&δ, |
(4.12) |
||||||
где |
Ö7 Ì& = Ë× Ì& − 67Ì7 = |
Ì5Ì Ì |
. |
(4.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
7× ØÙ7e7& |
|
|
4.1.3.Стержень с одним защемленным и другим шарнирно-опертым концами
Для рассматриваемого случая закрепления стержня по концам (рис.4.2), опорный |
||||
момент |
M? равен нулю. |
Полагая в (4.9) M? = 0 , получим |
||
|
|
|
M@l 3 1 |
δ |
Отсюда |
|
|
φ@ = 3EI ∙ V ˆV − ctgV‰ + l . |
|
|
V&φ@ − 3 ,) φ+ |
V&δ = 3iφ+ V& †φ@ − ÇB ‡, |
|
|
M@ = 3iφ+ |
(4.14) |
|||
|
Ë6 |
7 |
|
|
где |
Ì& = 5 ÌØÙÌeÌ&ØÙÌ . |
|
(4.15) |
|
Определим поперечные силы
Q@ = Q? = Q = − 1l M@ + Nδ& = − 1l }3iφ+ V&φ@ − Ò3 2i φ+ V& − NÓ δÔ.