10623

- 140 -

ГЛАВА 11. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

11.1 Понятие об устойчивости равновесия упругих тел

Равновесие твердого тела может быть устойчивым, неустойчивым и нейтральным, или безразличным. Чтобы определить вид равновесного состояния, тело выводят из положения равновесия и наблюдают за ним после устранения причин, вызвавших это смещение. Если тело стремится вернуться в первоначальное положение, равновесие устойчиво, если тело продолжает отклоняться от первоначального положения – равновесие тела неустойчиво и если тело продолжает оставаться в новом отклоненном положении – равновесие тела нейтрально (рис.11.1).

Рис. 11.1

Аналогично обстоит дело с равновесием деформируемого тела, где вид равновесия зависит от величины приложенной к нему нагрузки. В качестве последней может выступать вес груза, закрепленного на конце стержня (рис.11.2). Как и в предыдущем случае будем выводить грузик из положения равновесия, и наблюдать за ним после устранения причин, вызвавших это смещение.

Рис. 11.2

При малом значении силы Р, равной весу груза, тело стремится вернуться в первоначальное положение, прямолинейная форма равновесие стержня устойчива (рис. 11.2, а). Однако при некотором значении силы Р первоначальная прямолинейная форма равновесия стержня станет неустойчивой – ( рис. 11.2, б).

Определение. Минимальное значение силы Р, при котором первоначаль-

ная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критиче-

ской силой.

При Р = Ркр происходит бифуркация или разветвление форм равновесия.

-141 -

11.2Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня

Рассмотрим стержень, который шарнирно закреплен по концам, и находится в условиях центрального сжатия (рис. 11.3).

Р

О у

z

l v(z)

z

Рис.11.3

Пусть v(z) – изогнутая ось стержня, соответствующая смежной форме равновесия. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

d 2v / dz2 = M (z) / EJ ,

- 142 -

Из второго краевого условия получим:

v(l) = C sin kl = 0.

Последнее уравнение выполняется для kl = 0, π, 2π, … , nπ или k = nπ/l , откуда с учетом (11.2) получим: k2 = (nπ/l)2 = P/EJ , то есть

P = (n2π2EJ)/l2.

Для n = 1, 2,…, n получим последовательность значений критических сил

кр( = (π2EJ)/l2, кр( = (4π2EJ)/l2, кр( = (9π2EJ)/l2…,

каждой из которых соответствует своя форма потери устойчивости; при этом первой соответствует одна полуволна синусоиды, второй – две и т.д. (рис. 11.4).

Рис. 11.4

Практический интерес представляет минимальное значение Pкр :

эта формула получена Л. Эйлером и носит его имя.

Формы равновесия при n > 1 неустойчивы, но могут быть реализованы при соответствующих условиях закрепления стержня (рис. 11.5).

Рассмотренный случай устойчивости стержня с шарнирно закрепленными концами является основным. К нему можно свести определение Pкр и для других условий закрепления.

Например, стержень длиной l защемленный одним концом, имеет форму потери устойчивости и Pкр, соответствующие основному случаю стержня длиной 2l, а такой же стержень с защемленным и шарнирно закрепленными концами соответствует основному случаю стержня длиной 0,7l (рис. 11.6).

- 145 -

при этом λпр зависит только от механических свойств материала и является константой.

Приведем взятые из [11] значения гибкости стержня некоторых материа-

лов:

-сталь Ст3 (σпц = 195 МПа, E = 206 ГПа), λпр = 3,14 206×103 /195 = 102,

-древесина сосны (σпц = 20 МПа, E = 10 ГПа), λпр = 70.

Таким образом, формула Эйлера применима только к упругим стержням,

иее распространение на стержни, теряющие устойчивость за пределом упруго-

сти (σпц), неверно, поскольку приводит к завышенным значениям σкр и Pкр. Поэтому соответствующая часть графика σкр(λ), выделенная пунктиром, не реализуется.

При потере устойчивости за пределом упругости критические напряжения определяются по более сложным законам или по эмпирическим зависимо-

стям, при этом реальная кривая σкр(λ) будет проходить между линиями 1 и 2 на этом графике. В простейшем варианте эту кривую можно аппроксимировать отрезком прямой, как это сделано в формуле Тетмайера – Ясинского:

где коэффициенты a и b определяются по экспериментальным данным.

При этом для стали Ст3 a = 305 МПа, b = 1,12 МПа; для древесины сосны a = 28,7 МПа, b = 0,19 МПа.

Полученные на основе (11.8) результаты также представляют интерес только до некоторого значения λ0, при котором критические напряжения достигают опасных напряжений сжатия: пределу текучести σт – для пластичных или пределу прочности σпч – для хрупких материалов.

Для стали Ст3, например λ0 =30 – 40, поэтому эта часть графика, соответствующая зависимости (11.8), также заменена отрезком σкр(λ) = σт.

Таким образом, сжатые стержни делятся на три категории:

-стержни большой гибкости (λ > λпр) , для которых σкр находят по формуле Эйлера;

-стержни средней гибкости (λ0 <λ< λпр), которые рассчитывают по формуле Тетмайера – Ясинского;

-стержни малой гибкости (λ< λ0), для которых опасна потеря не устойчивости, а прочности – для них σкр = σт или σкр = σпч.

- 146 -

Раздел III. Статика сооружений

- 147 -

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Предмет строительной механики и ее задачи

Термин «строительная механика» применяют в широком и узком смысле этого слова.

Вшироком смысле слова строительная механика – это раздел механики, в котором ее выводы и методы применяют для решения задач проектирования, строительства и эксплуатации сооружений. В этом значении она объединяет такие науки и дисциплины, как:

– теоретическая механика;

– сопротивление материалов;

– теория упругости;

– статика и динамика сооружений;

– металлические и железобетонные конструкции

имногое другое. При этом термин «строительная механика» близок к понятиям «прикладная» или «техническая механика».

Вузком смысле слова строительная механика – это, прежде всего, статика сооружений, в дальнейшем именно так мы и будем понимать этот термин.

Напомним, что если предметом теоретической механики является абсолютно твердое тело (или система таких тел), а предметом сопромата – деформируемое тело, то предметом строительной механики является система деформируемых тел.

Основная задача строительной механики – проектирование сооружений, находящихся в определенных условиях, с учетом требований прочности, жесткости, устойчивости, надежности, экономичности, эстетики и других ограничений. Для решения этой задачи нужно построить модель сооружения, выделив основные несущие элементы и определив действующую на них нагрузку. Такая модель в виде совокупности деформируемых тел, соединенных друг с другом и с землей определенными связями, и называется расчетной схемой или систе-

мой.

Взависимости от геометрических особенностей элементов системы их делят на три класса: стержневые, тонкостенные и массивы. В общем случае расчетная схема может включать в себя каждый из этих элементов. Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением плоских стержневых систем.

Примечания

1.Помимо основной задачи – проектирования в строительной механике, как и в сопромате, может возникнуть необходимость расчета сооружения, уже находящегося в эксплуатации. Например – при его реконструкции.

2.Решение основной задачи строительной механики сводится, прежде всего, к определению внутренних усилий. Последующий подбор сечений элементов конструкции выполняется методами сопромата либо, в зависимости от вида материала – по теории железобетонных, металлических конструкций и т.д.

-148 -

1.2.Кин ематический анализ сооружений

Прежде чем присту пить к расчету модели сооружения, необходимо проверить: способна ли она в оспринимать приложенную нагрузк у, оставаясь в равновесии? При этом расчетная схема рассматривается как со вокупность не деформируемых, а абсолютно жестких тел – дисков, и в отдельн ый класс выделяются системы, элементы к оторых обладают подвижностью, то есть могут смещаться относительно друг друга или относительно земли. Такое исследование структуры модели называе тся ее кинематическим анализом.

Поскольку подвижность системы зависит, очевидно, от вида связей, соединяющих ее элементы, вернемся к рассмотрению и уточнению этих понятий

– уже встречавшихся в теоретической механике.

1.2.1. Связи и их реакции

Напомним, что под связью понимают тело, ограничивающее свободу перемещения выбранного рассматриваемого тела, а реакцией с язи называют силу, с которой связь действует на это тело.

Будем называть связь линейной, если соответствующая ей реакция – сила и моментной, если соответствующая ей реакция – момент.

Для плоских стержневых систем можно ограничитьс я рассмотрением

следующих видов связей.

Подвижная опора ( рис. 1.1) помимо обозначения по ГОСТ (рис. 1.1, а) может на схемах изображ аться так, как показано на рис. 1.1, б и 1.1, в. Она соответствует одной линейн ой связи, а ее реакция перпендикулярна заштрихованной опорной площадке (рис. 1.1, г).

Рис. 1.1

Неподвижная опора (рис. 1.2) также допускает на схемах изображения, отличные от стандартного – на рис. 1.2, а. Очевидно, что она эквивалентна

двум линейным связям (ри с. 1.2, б– г).

Рис. 1.2

- 149 -

Жесткое защемление (рис. 1.3, а) исключает не только перемещения за-

крепленной таким образом точки конструкции, например – балки, но и ее пово-

рот вокруг этой точки. О но эквивалентно двум линейным связям и одной моментной (рис. 1.3, б), либо трем линейным связям при → 0 ( рис. 1.3, в).

Рис. 1.3

Скользящее защемле ние (рис. 1.4, а– б) в отличие от жесткого не препятствует смещению закрепл енной таким образом точки в одном из направлений и эквивалентно линейной и моментной связям (рис. 1.4, в) либо двум линейным

при → 0 (рис. 1.4, г).

Рис. 1.4

Кратный шарнир, соединяющий N дисков, (рис. 1.5, а) будет эквивален-

тен (N – 1) простому шарниру (рис. 1.5, б).

Рис. 1.5

Примечания

1.Результаты расчета можно улучшить, если учесть податливость соединений эле-

ментов системы.

2.Построение расчетно й схемы действующего сооружения мо жет оказаться непростой задачей, соизмеримой по сложности с самим расчетом.