11073

нормально к срединной поверхности, сдвигающие силы Т отсутствуют. Поэтому для десяти составляющих усилий (2. 1) имеем:

.

Остаются лишь усилия, указанные на рис. 50, причем усилия Nу и My при переходе от одного радиального сечения к другому не получают приращения. Из шести уравнений равновесия три превращаются в тождества. Остальные три запишутся так:

постоянна. В частности, она может равняться нулю при отсутствии у цилиндрической оболочки торцовых днищ.

В уравнении (2.15) второй член высшего порядка малости может быть отброшен. Тогда после сокращения на оно примет вид:

Это уравнение показывает, что установленная для стержней зависимость между поперечной силой и изгибающим моментом справедлива и в отношении к рассматриваемой оболочке. Подставив эту зависимость в формулу (2.16) и перейдя от частных производных к полным дифференциалам, ввиду того, что осталась единственная

Уравнение (2.18) содержит два неизвестных: Ny и Мx, поэтому для их нахождения необходимо еще одно уравнение, которое составляется исходя из известной величины

От дифференциального уравнения (2.18) в усилиях перейдем к дифференциальному уравнению в радиальных перемещениях w. Для этого усилия выразим через деформации,

(2.20)

50

выражение для продольной силы

,(2.24)

а после раскрытия скобок

. (2.25)

Изгибающие моменты, выраженные через перемещения w, определим с учетом дополнительного момента (Мх)Nx = Nw, который дает продольная сила:

.

Так как при равномерном радиальном сжатии поперечное сечение цилиндра остается круговым, радиальное перемещение w одинаково во всех точках окружности и кривизна изогнутой срединной поверхности в экваториальном направлении от изгиба

Поэтому изгибающие моменты от поперечной нагрузки q

Подставим найденные значения (2.25) и (2.28) в уравнение (2.18):

.

Группируя члены, меняя знаки, учитывая выражение (2.19) и считая, что D − постоянная величина, получаем дифференциальное уравнение равновесия элемента цилиндрической оболочки в перемещениях

. (2.29)

Продольная сила Nx влияет на величину перемещения w незначительно, поэтому, пренебрегая ею, вместо формулы (2.23) на основании (2.26) имеем

51

;

вместо формулы (2.25)

Тогда приближенное дифференциальное уравнение равновесия элемента

В уравнении (5.31) введено обозначение

.

Величина

называется коэффициентом затухания перемещений. Она показывает, насколько затухают перемещения по мере удаления от места приложения усилия.

Расчет цилиндрической оболочки, как точный с помощью формулы (2.29), так и приближенный с помощью формулы (2.32), дает близкие результаты. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться уравнением (2.32). Если проинтегрировать его и получить приближенное уравнение изогнутой срединной поверхности оболочки w = f (x) (без учета влияния продольной силы Nх), то все усилия и перемещения, характеризующие напряженно деформированное состояние оболочки, получатся по формуле (2.19), (2.30), (2.31) (2.27) и (2.17).

Угол наклона касательной к изогнутой срединной поверхности

.

Следует иметь в виду, что знаки в перечисленных формулах предусматривают внешнее радиальное давление q. При внутреннем давлении знаки должны быть изменены на обратные.

Интеграл дифференциального уравнения (2.32) складывается из интеграла однородного уравнения и частного решения уравнения; он может быть представлен с помощью показательных функций в виде

. (2.33)

или, если заменить показательные функции гиперболическими на основании зависимостей

,

в виде

. (2.34)

В выражениях (2.33) и (.34) f(х) − частное решение дифференциального уравнения (2.32). В случае радиальной нагрузки интенсивностью q, равномерно распределенной по поверхности оболочки, частное решение f(х), имеет вид

52

При этом

,

и уравнение (2.32) при подстановке в него решения (2.35) превращается в тождество. Коэффициенты С1, . . ., С4 и А1, . . ., А4 представляют собой произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Если усилия и перемещения на одном конце цилиндрической оболочки не влияют на усилия и перемещения, возникающие на другом конце, оболочка считается длинной. Если эти факторы влияют друг на друга, то оболочка

считается короткой.

Если в дифференциальном уравнении (2.32) принять правую часть равной нулю (при отсутствии радиальной нагрузки q), то оно примет вид

Уравнение (5.36) представляет собой уравнение балки на упругом основании, в нем

где k − коэффициент постели, связывающий интенсивность реакции основания q с прогибом балки w:

q = -kw.

Вследствие аналогии между уравнениями (2.32) и (2.36) полоску шириной, равной единице, вырезанную из цилиндрического сосуда вдоль образующей, можно рассматривать как балку на упругом основании и использовать все решения, применяемые при расчете такой балки, для расчета цилиндрической оболочки. При этом реакция основания

,

что следует из рис. 51.

Для полоски шириной, равной единице, центральный угол дуги , а сжимающие

.

Следовательно,

и коэффициент (2.37), если заменить в его выражении жесткость балки EJ цилиндрической жесткостью D,

представляет собой коэффициент затухания перемещений.

53

Рис. 51

2.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке

Расчетный случай 1. Длинная оболочка с круглым поперечным сечением нагружена погонными изгибающими моментами M0 и погонными поперечными силами Q0 по торцу при х = 0 (рис. 52).

Рис. 52

Интенсивность радиальной нагрузки равна нулю, и поэтому дифференциальное уравнение (2.32) будет однородным:

Интеграл его не содержит частного решения и имеет вид

(2.38)

Усилия M0 и Q0 вызывают местный изгиб, радиальные перемещения быстро затухают и одно из условий для определения произвольных постоянных C1, . . ., С4 можно записать

54

так: 1) при . Еще два условия можно записать для нагруженного торца: 2) при х = 0 Мx = М0 3) при х = 0 Qx = Q0 . Четвертого условия, как увидим, не понадобится.

Действительно, при

поэтому на основании первого условия получим

(2.39)

Чтобы это условие соблюдалось, круглая скобка должна быть равна нулю. Синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут, следовательно, условие (2.39) возможно, только если С1 = С2 = 0. Тогда уравнение (2.38) принимает вид

(2.40)

и для определения двух постоянных С3 и С4 достаточно двух условий: второго и третьего. Из второго условия найдем:

(2.41)

и на основании формулы (5.17)

. (2.42)

Вычислим производные по х от выражения (5.40) для перемещения w:

(2.43)

(2.44)

(2.45)

Произвольную постоянную C3 найдем, подставив выражение (2.44) в условие (2.41). Учитывая, что синус нуля равен нулю, косинус − единице, а е0 = 1, получим

откуда

Подставив это выражение С3 в выражение (2.45), найдем из уcловия (2.42)

Подстановка значений (2.46) и (2.47) в формулу (2.40) дает уравнение изогнутой срединной поверхности оболочки

. (2.48)

55

Подставив выражения (2.46) и (2.47) в формулы (2.43), (2.44) и (2.45), получим

(2.49)

(2.50)

(2.51)

Введем для комбинаций показательной и тригонометрической функций , входящих в уравнения (2.48) − (2.41), следующие обозначения:

Имея выражения для перемещения w и его производных, можно, пользуясь соответствующими формулами, получить все усилия и перемещения в оболочке, в частности:

− угол наклона касательной к оси х

(2.54)

− изгибающий момент в меридиональном сечении

(2.55)

− поперечную силу в меридиональном сечении

значения безразмерных величин в зависимости от . При > 0 все четыре функции по абсолютной величине меньше единицы. По мере возрастания х эти функции

затухают, что подтверждает местный характер усилий и перемещений. При = 0 (а

56

значит, и при х = 0), функции равны единице, а функция равна нулю. Поэтому на торце цилиндрической оболочки:

Таблица 1

где знак минус показывает, что при принятых за положительные усилия М0 и Q0 (см. рис. 52) и оси z, направленной по радиусу к центру кривизны, перемещение w происходит от центра (радиус R увеличивается);

− угол наклона касательной по формуле (2.54)

− изгибающий момент Мх и поперечная сила Qx при х = О по формулам (2.55) и (2.56) получаются равными заданным на кромке величинам М0 и Q0.

Расчетный случай 2. Оболочка нагружена радиальными погонными усилиями Р, распределенными по окружности в сечении х = 0 (рис. 53). Начало координат выбираем в сечении, в котором приложена радиальная нагрузка. Для каждой половины оболочки слева и справа от начала координат можно применить решение, полученное для расчетного случая 1.

57

Рис. 53

Граничные условия для определения произвольных постоянных следующие: 1) х = 0,

(касательная в месте приложения силы, вследствие симметрии изгиба

оболочки, горизонтальна); 2) х = 0, (погонная поперечная сила Q0 в начале координат равна половине радиальной нагрузки). Положительные направления изгибающего момента и поперечной силы показаны на рис. 52.

Пользуясь первым условием и формулой (2.58), находим

.

Продифференцировав выражение (2.60), определим в функции угол наклона касательной , изгибающий момент Мx и поперечную сил Qx

(2.61)

(2.62)

(2.63)

58

Так как функции имеют наибольшее значение, равное единице при и х

равных нулю, а функция при этом равна нулю, то

Эпюры w, Mx и Qx показаны на рис. 54.

Рис. 54

Видно, что ординаты эпюр быстро убывают по мере удаления от сечения х = 0, в

котором приложена радиальная нагрузка. При можно считать, что усилия и

деформации пренебрежимо малы. Поэтому при длине оболочки можно полагать, что усилия и перемещения на одном конце не влияют на эти факторы на другом конце. Такие оболочки относятся к длинным оболочкам.

Чтобы оценить величину l, подсчитаем ее при таких данных:

59