Исследование устойчивости параметрических колебаний
.pdfИсследование устойчивости параметрических колебаний
Требуется найти, при каких частотах ω решение, удовлетворяющее следующему безразмерному уравнению относительно обобщённой координаты q, устойчиво:
q¨ + (2 sin2(ωt))q = 0, |
1 |
< ω < 1. |
|
||
3 |
Проведем преобразования с привлечением тригонометрической формулы понижения степени:
|
Сделаем замену ωt = τ: |
q¨ + (1 − cos(2ωt))q = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
d2q |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ ( |
|
− 2 |
|
cos(2τ))q = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dτ2 |
ω2 |
2ω2 |
|
|
|
|
|
|||
|
Таким образом, пришли к форме линейного уравнения Матье с параметрами a = |
|
1 |
, |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 |
||
ϵ = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2ω2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Т. к. |
< ω < 1, то 1 < a < 9. Согласно диаграмме Айнса-Стретта в данном случае устой- |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и aright, aleft. |
||||||
чивым решениям отвечают значения a, лежащие между границами aright |
, aleft |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
3 |
|
Следовательно, приходим к двум системам неравенств
((
1 < a < 9, |
|
|
1 < a < 9, |
= |
|
||
a1right < a < a2left; |
12ϵ2 |
|
a2right < a < a3left. |
|
|||
(1 + ϵ − ϵ82 < a < 4 − |
; |
(4 + 12ϵ2 < a < 9 + 16ϵ2 . |
|
||||
1 < a < 9, |
|
|
1 < a < 9, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что a = 2ϵ, следовательно, |
|
|
(4 + 548a2 < a < 9 + a642 . |
|
|||
(1 + a2 − a322 < a < 4 − a482 |
; |
(1) |
|||||
1 < a < 9, |
|
|
1 < a < 9, |
|
|
Рассмотрим отдельно неравенство
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
a2 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
||
a a2 |
|
|
|
a2 |
|
1 + a |
< a, |
|
32 16a a2 < 0, |
|||||||||||||||
1 + |
|
|
|
|
|
|
< a < 4 |
|
|
|
= |
2 − |
32 |
|
|
|
|
|
− − |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
− 32 |
|
− 48 |
|
a < 4 − |
a |
; |
|
|
|
a2 + 48a − 192 < 0; |
|||||||||||||
|
48 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
+ 16a − 32 > 0 = a [−∞; −8 − 4 6] [−8 + 4 6; +∞]; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
2 |
+ 48a − 192 < 0 = a [−24 |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 16 |
3; −24 + 16 3]. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, находим множество значений a, удовлетворяющих этому двойному нера- |
|||||||||||
венству: |
|
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a [−24 − 16 3; −8 − 4 6] [−8 + 4 6; −24 + 16 3]. |
|
||||||||||
Проведем аналогичные преобразования с другим неравенством: |
|
||||||||||
5a2 |
|
a2 |
|
4 + |
5a2 < a, |
5a2 |
48a + 192 < 0, |
||||
4 + 48 |
< a < 9 + 64 |
|
|
48 |
|
(a2 |
|
−64a + 576 > 0; |
|||
= (a < 9 + a2 |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
64 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
5a2 − 48a + 192 < 0 = a Ø |
|
|
|||||||
Сразу можем сказать, что на промежутке между границами a2right, a3left устойчивых реше- |
|||||||||||
ний не будет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, общее решение для (1) будет иметь вид: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
a [−8 + 4 6; −24 + 16 3]. |
|
|
|
||||||
|
|
|
a [1.79796; 3.71281]. |
|
|
|
|
||||
Полученные данные могут быть проверены графически: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Диаграмма устойчивости |
|
|
|
|||||
5 |
ϵ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
a = 2ϵ |
|
|
||
3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
a2left |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a1right |
|
a2right |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3left |
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Перейдем здесь к ω:
ω2 [−8 + 4√6; −24 + 16√3] = ω2 |
|
|
|
24 + 16√3; |
8 + 4√6 |
= |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
−2√−2+ |
16 |
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2√−2+ 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
< ω < |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ω > |
2√ |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
6+4√3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω < − |
√ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
−6+4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
"−2 2 + √6; − |
2 |
|
|
6 + 4√3# |
"2 |
|
|
6 + 4√3; |
2 |
|
|
2 + √6#. |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
p |
|
|
|
|
p |
− |
|
|
|
|
|
p |
− |
|
|
|
|
|
p |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3