Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 11
.pdfЛекция 11
11.1Электростатическое поле в диэлектриках
Диэлектрики – вещества, не проводящие электрический ток.
Это свойство диэлектриков обусловлено тем, что в нем (практически) отсутствуют свободные заряды. т.е. те, которые могут перемещаться Как и всякое вещество, диэлектрик
состоит из электрически нейтральных молекул.
Если заменить положительные заряды ядер молекулы их суммарным зарядом +q, помещенным в их "центр тяжести а заряд всех электронов – суммарным отрицательным зарядов −q, помещенным в их "центр тяжести электронов то молекулу можно рассматривать как
электрический диполь с моментом p.
Различают три типа диэлектриков:
•Неполярные диэлектрики, молекулы которых в отсутствие внешнего E имеют p = 0 (напр., N2, H2, Ar, O2, CO2).
•Полярные диэлектрики, молекулы которых в отсутствие внешнего E имеют p ≠ 0 (напр., H20, CO).
•Ионнные кристаллы (NaCl, KCl), в которых +q и −q молекул образуют две кристаллических решетки, вставленные друг в друга.
При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле E0, происходит поляризация диэлектрика – возникновение отличного от нуля результирующего дипольного момента диэлектрика.
Различают три вида поляризации:
•В неполярном диэлектрике – электронная или деформационная поляризация: за счет деформации электронных орбит (под действием силы F = qE0, действующей на электроны в молекуле/атоме) возникает индуцированный дипольный момент у молекул диэлектрика.
•В полярном диэлектрике – ориентационная поляризация: под действием E0 имеющиеся диполи "выстраиваются" по полю (эффект тем сильней, чем ниже температура и чем выше напряженность поля E0).
При помещении диполя в электрическое по- |
F+=QE0 |
|||
ле E0, возникающая пара сил, действующих |
|
|
+ |
P |
|
|
|||
|
|
|
||
на положительный и отрицательные заряды, |
|
|
|
|
стремиться направить дипольный момент p |
|
E0 |
||
|
|
|
|
|
вдоль вектора E0. |
|
|
|
|
-
F-=-QE0
• Ионная поляризация: смещение +q и −q решеток в ионных кристаллах.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 11 |
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|||||||||||||
Для количественного описания поляризации диэлектрика используют величину, называ- |
|||||||||||||||||||||
емую поляризованностью, P. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поляризованность = дипольному моменту единицы объема диэлектрика: |
|
|
|
||||||||||||||||||
P = pV |
|
|
V |
объем диэлектрика, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
8 pV–= |
j pj |
– полный дипольный момент объема, |
|
|
|
(11.1) |
||||||||||||||
V |
|
< |
|
суммирование производится по всем молекулам внутри V . |
|
||||||||||||||||
|
|
: |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
(за исключением сегнетоэлектриков, см. §11.5.2) поляризо- |
|||||||||||||||
Для изотропных диэлектриков |
|
||||||||||||||||||||
ванность пропорциональна напряженности приложенного электрического поля: |
|
||||||||||||||||||||
P = χ ε0 E, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.2) |
|||
где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства ди- |
|||||||||||||||||||||
электрика (положительная безразмерная величина). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11.2 |
Диэлектрическая проницаемость |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные за- |
|||||||||||||||||||||
ряды, которые называются связанными (в отличие от свободных зарядов, которые создают |
|||||||||||||||||||||
внешнее поле). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На рисунке: плоско-параллельная диэлектрическая пластина (толщиной d, площадь боковых |
|||||||||||||||||||||
поверхностей S), внесена в внешнее поле E0, созданное двумя разноименно-заряженными |
|||||||||||||||||||||
пластинами (±σ – поверхностные плотности свободных зарядов на пластинах). |
|
|
|||||||||||||||||||
Под действием поля E0 диэлектрик поляризуется, так что на его бо- |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ковых поверхностях появляются индуцированные (связанные) заря- |
+σ |
−σ’ |
+σ’ −σ |
||||||||||||||||||
ды, поверхностные плотности которых равны ± |
σ′ |
. Эти заряды со- |
|||||||||||||||||||
+ |
- |
+ |
- |
||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
- |
|||||||||||||||||
здают электрическое поле E′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
- |
+ |
- |
||||||
Внутри пластины, полное электрическое поле равно |
|
|
|
|
+ |
|
|
- |
|||||||||||||
|
|
|
|
+ |
- |
+ |
- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
E = E0 + E′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
- |
+ |
- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
- |
|
Поле E′ направлено против E0, а величина его напряженности равна: |
+ |
- |
+ |
- |
|||||||||||||||||
+ |
- |
+ |
- |
||||||||||||||||||
E′ = σ′/ϵ |
0 (см. §8.9.1). Следовательно, |
E = E |
0 − |
E′ |
= E |
0 − |
σ′/ϵ |
0. |
+ |
- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
σ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
- |
+ |
- |
|
E = E0 − E′ = E0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.3) |
|
|
|
|
|||||||
ϵ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
||||||||
Определим поверхностную плотность связанных зарядов σ′. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Из (11.1) следует, что полный дипольный момент pV |
пластинки диэлектрика равен pV = |
||||||||||||||||||||
P V = P Sd. С другой стороны, используя определения из §8.5, тот же полный дипольный |
|||||||||||||||||||||
момент равен произведению связанного заряда каждой грани Q′ = σ′S на расстояние d |
|||||||||||||||||||||
между ними, т.е. pV |
= σ′Sd. Таким образом, P Sd = σ′Sd, и значит |
|
|
|
|
||||||||||||||||
σ′ = P . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.4) |
||
1Изотропия, изотропность – одинаковость свойств во всех направлениях. |
|
|
|
|
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 11 |
81 |
|
||||
т. е. поверхностная плотность связанных зарядов σ′ равна поляризованности P . |
||||||
Подставляя (11.4) в (11.3) и учитывая соотношение (11.2), находим |
|
|
||||
E = E0 − P/ϵ0 = E0 − χE , |
(11.5) |
|||||
откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна |
||||||
|
E0 |
E0 |
(11.6) |
|||
E = |
|
≡ |
|
, |
||
1 + χ |
ε |
где безразмерная величина ε = 1 + χ > 1 называется диэлектрической проницаемостью среды.
В вакууме: χ = 0, поэтому ε = 1.
Диэлектрическая проницаемость характеризует свойство диэлектрика поляризоваться во внешнем электрическом поле и показывает во сколько раз поле ослабляется диэлектриком.
Например, напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q, помещенным в диэлектрик, определяется выражением (вместо формулы (8.2) справедливой для вакуума):
E = |
k |
|
q r |
= |
1 |
|
q r |
. |
(11.7) |
|
|
4πεε0 |
|
||||||
|
ε r3 |
|
|
r3 |
|
Как следствие, величина силы кулоновского взаимодействия двух зарядов, находящихся в диэлектрике на расстоянии r друг от друга, равна
F = |
k |
|
q1q2 |
, |
(11.8) |
ε |
|
r2 |
|||
|
|
|
|
т.е. она в ε раз меньше силы кулоновского взаимодействия этих же зарядов в вакууме.
11.3Электрическое смещение
Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды (от ϵ).
Для описания непрерывного электрического поля зарядов с учетом поляризационных свойств диэлектриков, вводится вектор электрического смещения (= электрической индукции), который для изотропной среды записывается как
D = ϵ0ϵE = ϵ0(1 + χ)E = ϵ0E + P . |
(11.9) |
Для электрического смещения поля точечного заряда, используя выражение (11.7), находим:
D = ϵ0ϵE = |
q r |
. |
(11.10) |
|
4πr3 |
||||
|
|
|
Отсюда сразу видно, что размерность электрического смещения [D] = Кл/м2.
Вектор D описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.
Аналогично силовым линиям вектора E, можно ввести линии электрического смещения, направленя и густота которых определяются точно так же, каки для линий напряженности.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 11 |
82 |
Силовые линии вектора E могут начинаться/заканчиваться на любых зарядах, свободных и связанных (см. рис. выше), в то время как линии D - только на свободных зарядах. Через области, где находятся связанные заряды (т.е. на границах раздела сред), линии D проходят не прерываясь (в отличие от линий E).
По определению, поток вектора D через произвольную замкную поверхность S равен
II
ΦD = D · dS = DndS
ΣΣ
где Dn – проекция D на нормаль к площадке dS.
Теорема Гаусса для эл/ст поля в диэлектрике:
поток вектора D через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов Q:
I
D · dS = Q |
(11.11) |
Σ
Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемной плотностью ρ = dq/dV , теорема Гаусса записывается как
IZ
D · dS = ρ dV |
(11.12) |
ΣV
где интеграл в правой части вычисляется по объёму V , заключённому внутри замкнутой поверхности.
11.4Условия на границе раздела двух диэлектрических сред
Рассмотрим границу двух диэлектриков с диэлектрическими проницае- ε |
D2 |
E2 |
||
мостями ε1 и ε2. Установим, что происходит с электрическим полем при |
|
2 |
|
|
ε1 |
|
|
||
переходе из одной среды в другую. |
D1 |
E1 |
Полагаем, что на границе
(a)нет свободных зарядов, Q = 0;
(b)присутствуют связанные заряды, индуцированные электрическим полем.
Выберем замкнутую цилиндрическую поверхность площадью основания ∆S и высотой h → 0, охватывающую границу. Воспользуемся теоремой Гаусса для эл/ст поля в диэлектрике. Поскольку Q = 0, то правая часть уравнения (11.11) обнуляется. Вычисляя поток вектора D через замкнутую цилиндриче-
скую поверхность Σ и приравнивая его к нулю, получаем
I
D · dS = D2 · n2∆S2 + D1 · n1∆S + ΦD бок = (D2n − D1n) ∆S = 0 .
Σ
| {z }
→0
Здесь: поток ΦD бок через боковую поверхность исчезает т.к. h → 0;
n1, n2 – единичные векторы нормалей к нижнему/верхнему основанию цилиндра;
D1n, D2n – нормальные составляющие векторов D2, D2, т.е. их проекции на направление нормали n к границе раздела (красный вектор на рис.)
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 11 |
83 |
|
||||
Итак, мы доказали, что |
|
|
|
|
||
D2n = D1n, |
E2n = |
ε1 |
E1n , |
(11.13) |
||
ε2 |
||||||
|
|
|
|
|
где второе равенство получено с учетом связи D и E, см. (11.9).
Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред
нормальная составляющая вектора D изменяется непрерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора E – скачкообразно.
Учтановим теперь соотношения для тангенциальных Eτ и Dτ составляющих векторов E и D, т.е. направленых вдоль поверхности ("тангенциально").
Для этого воспользуемся теоремой о циркуляции вектора напряжен- |
|
|
|
|
|
|
|||||
ности: Edr = 0 (см. ур-ие (9.2)). Выберем прямоугольный контур |
|
ε2 |
E2 |
||||||||
L = ( H |
L |
), у которого длины |
|
сторон, перпендикулярных к грани- |
|
A |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
||||
abab |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||
це раздела, исчезающе малы по сравнению длинами a сторон, рас- |
Eτ ε |
|
|
|
|||||||
E1 |
|||||||||||
положенных тангенциально к границе (единичный вектор eτ задает |
1 |
тангенциальное направление).
Полагая b → 0, вычисляем циркуляцию вектора E:
I
Edr = E1 · eτ a − E2 · eτ a = (E1τ − E2τ ) a = 0 .
L |
|
|
|
|
Следовательно |
|
|
|
|
E2τ = E1τ , D2τ = |
ε2 |
D1τ , |
(11.14) |
|
ε1 |
||||
|
|
|
При переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E изменяется непрерывно, а тангенциальная составляющая вектора D – скачкообразно.
11.5Пьезо и сегнетоэлектричество
11.5.1Пьезоэлектрики
При растяжении и сжатии ряда кристаллов в определенных направлениях возникает поляризация (т.е. на поверхности появляются заряды). Это явление, имеющее название прямого пьезоэлектрического эффекта,2 было обнаружено Пьером и Жаком Кюри в 1880г.3 Пьезоэлектрическими свойствами могут обладать только ионные кристаллы. Примеры: кварц, турмалин, сегнетова соль, титанат бария, хлорат натрия и др. При воздействии внешних
2"пьезо" от греческого слова πιεζειν – "сжимать, сдавливать".
3Pierre Curie (1859-1906) – французский физик, Нобелевская премия (1903) за исследования радиактивности и открытие радия; Paul-Jacques Curie (1855-1941) – французский минералог.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 11 |
84 |
сил кристаллические решетки положительных и отрицательных ионов деформируются поразному. В результате, в противоположных местах на поверхности кристалла выступают электрические заряды разных знаков.
Поясним механизм проявления эффекта на примере кварца – SiO2. На рисунке представлена упрощенная модель кристаллической ячейки, которая просматривается вдоль оптической оси кристалла. Ионы кремния Si+2 изображены розовыми шариками. Два иона кислорода O− объединены и показаны одним голубым шариком. В целом ячейка электрически нейтральна и не имеет дипольного момента.
X
+
- -
+ +
-
X
При сжатии вдоль оси X (и перпендикулярно оптической оси) появляется дипольный момент, направленный в противоположную сторону направления оси X. На верхней поверхности появляется отрицательный заряд, а на нижней – положителный заряд. Это т.н.
продольный пьезоэлектрический эффект, см. рисунок.
- |
- |
- |
- |
- - |
- |
- |
+ |
- |
|
||
+ |
- |
+ |
|
|
|
+ + |
+ + + + |
При сжатии в поперечном направлении, перпендикулярном к оси X и оптической оси, происходит другое смещение ионов (поперечный пьезоэлектрический эффект): на верхней поверхности появляются положительные заряды, а на нижней – отрицательные.
Вобоих случаях, замена сжатия растяжением приводит к изменению знака электрических зарядов на поверхностях.
В1881 году Липпман 4 предсказал существование, а братья Кюри экспериментально подтвердили, обратного пьезоэлектрического эффекта: деформация кристалла при помещении его в электрическое поле.
11.5.2Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики, у которых в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольная ориентация дипольных моментов составляющих его частиц (т.н. спонтанная поляризация). (Примеры: титанат бария BaTiO3, сегнетова соль NaKC4H4O6·4H2O.)
Кристаллическая модификация сегнетоэлектрика, которая допускает наличие областей спонтанной поляризации (т.н. доменов5), называют полярным фазой сегнетоэлектрика. Существует и неполярная фаза, в которой отсутствует спонтанная поляризация. Переход из полярной фазы в неполярную происходит при т.н. температуре Кюри, TK.
Диэлектрическая проницаемость для сегнетоэлектриков аномально велика: ε ≈ (6 − 7) × 103 для титаната бария, и ε 104 000 в максимуме для сегнетовой соли. При изменении величины напряженности внешнего поля диэлектрическая проницаемость и поляризуемость сегнетоэлектрика изменяются, они также изменяются с температурой.
В отсутствие внешнего электрического поля, E = 0, дипольные моменты pj различных
4Gabriel Lippmann (1845-1921) – французский физик, Нобелевская премия (1908) за цветную фотографию солнечного спектра
5Такой же термин применяется для обозначения областей спонтанной намагниченности в ферромагнетиках.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 11 |
85 |
доменов разнонаправлены, так что поляризованность всего объема сегнетоэлектрика равна
P
нулю, P j pj = 0 (см. левый рисунок и соотношения (11.1)).
При наложении внешнего поля происходит частичная переориентация дипольных моментов: домены начинают выстраиваться преимущественно вдоль вектора E (см. правый рисунок). Это приводит к появлению поляризации в кристалле, P ≠ 0.
E=0 |
E≠0 |
В отсутствие электрического поля (левая панель) дипольные моменты (синие стрелки) доменов (прямоугольные области) ориентированы по-разному. При E ≠ 0 (правая панель) дипольные моменты начинают ориентироваться в направлении силовых линий (горизонтальные стрелки) электрического поля.
Для сегнетоэлектриков связь между векторами E и P нелинейная и наблюдается явление диэлектрического гистерезиса – сохранения P остаточной поляризованности
Pост ≠ при снятии внешнего поля.
Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 87-92.