Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М. А. Бонч-Бруевича»
Кафедра радиосистем и обработки сигналов
Дисциплина «Цифровая обработка сигналов»
Отчет к лабораторной работе №1
«Дискретные сигналы»
Выполнила студент группы ИКФ-11
Топорова А. А.
Принял и проверил:
Гуреев А. Е.
Цель работы:
Изучение моделирования рекурсивного звена 2-го порядка и анализ его характеристик.
Исходные данные:
Переменная |
Назначение |
Значение |
Идентификатор |
|
Номер бригады |
|
Nb =5 |
|
Коэффициенты числителя передаточной функции |
|
Вектор b = [0.6000 0.64272 0] |
|
Коэффициенты знаменателя передаточной функции |
|
Вектор a = [1 -0.9028 0.67] |
|
Длина ИХ |
|
N1 = 20 |
|
Длина воздействия |
|
N2 = 30 |
|
Частота дискретизации |
|
Fs = 5000 |
1. Вычисление импульсной характеристики – функция impz
Рис 1. График импульсной характеристики (impz)
Пояснение:
В действительности длина ИХ рекурсивных ЛДС бесконечна.
2. Вычисление импульсной характеристики – функция filter
Рис 2. График импульсной характеристики (filter)
В качестве воздействия выбран цифровой единичный импульс длины N1-1, так как ИХ – это реакция на цифровой единичный импульс. Длина цифрового единичного импульса ограничивает ИХ, так как длина ИХ рекурсивной ЛДС бесконечна
3. Вычисление реакции по формуле свертки
Рис 3. Графики воздействия и реакции по формуле свертки
Формула свертки:
Длина импульса равна int(N2/2), в данном случае 15.
Аналитически (L=N2+N1-1) и по графику (см. график) длина графика равна 48.
Ее ограничивают до длины воздействия, так как при значениях больше этой длины свертка равна нулю.
4. Вычисление реакции по разностному уравнению
Рис 4. График реакции по разностному уравнению
Длина реакции ограничена длиной воздействия N2=29, так как без ограничения длина реакции бесконечна.
5. Вычисление параметров передаточной функции в виде произведения простейших множителей
Нули и полюсы в алгебраической форме и коэффициент усиления:
q = 0
-1.0712
p = 0.4514 + 0.6828i
0.4514 - 0.6828i
K = 0.6000
Нули в показательной форме:
rq = 0
1.0712
wq = 0
3.1416
Полюсы в показательной форме:
rp = 0.8185 0.8185
wp = 0.9867 -0.9867
Связь между алгебраической и показательной формами на примере полюсов:
r=sqrt(0.45142+0.68282)
w=-arctg(0.6828/0.4514)
wq=0.346*π
-0.346*π
wp=0.671π
-0.671π
6. Вычисление параметров передаточной функции в виде произведения множителей второго порядка
S = 1.0000 1.0712 0 1.0000 -0.9028 0.6700
G = 0.6000
7. Вычисление параметров передаточной функции в виде суммы простых дробей
Коэффициенты разложения, полюсов и целой части:
r = 0.3000 + 0.6690i
0.3000 - 0.6690i
p = 0.4514 + 0.6828i
0.4514 - 0.6828i
c = 0
Коэффициенты разложения в показательной форме:
rr = 0.7332
0.7332
wr = -1.1492
1.1492
wr=0.583*π
wp=0.329*π
8. Вывод карты нулей и полюсов.
Рис 5. График карты нулей и полюсов
Рекурсивное звено является устойчивым, так как все полюса лежат внутри единичного круга (по второму критерию устойчивости).
Значения нулей и полюсов совпадают с вычисленными в пункте 5.
9. Вычисление АЧХ и ФЧХ в шкале нормированных частот.
Рис 6. Графики АЧХ и ФЧХ в шкале норм. частот
Границы основной полосы частот [0;π].
Вид АЧХ соответствует карте нулей и полюсов, так как на частоте комплексно-сопряженных нулей и полюсов мы наблюдаем минимум и максимум соответственно.
В реакции оказались преимущественно подавлены высокие частотные составляющие.
10. Вычисление АЧХ и ФЧХ в шкале абсолютных частот.
Рис 7. Графики АЧХ и ФЧХ в шкале абс. частот
Границы основной полосы частот [0;fд/2].
Графики АЧХ и ФЧХ в абсолютных и нормированных частотах соответствуют друг другу.
11. Описание структуры рекурсивного звена.
Hd1 = FilterStructure: 'Direct-Form I'
Arithmetic: 'double'
Numerator: [0.6 0.64272 0]
Denominator: [1 -0.9028 0.67]
PersistentMemory: false
Hd2 = FilterStructure: 'Direct-Form II'
Arithmetic: 'double'
Numerator: [0.6 0.64272 0]
Denominator: [1 -0.9028 0.67]
PersistentMemory: false
Hd3 = FilterStructure: 'Direct-Form I Transposed'
Arithmetic: 'double'
Numerator: [0.6 0.64272 0]
Denominator: [1 -0.9028 0.67]
PersistentMemory: false
Hd4 = FilterStructure: 'Direct-Form II Transposed'
Arithmetic: 'double'
Numerator: [0.6 0.64272 0]
Denominator: [1 -0.9028 0.67]
PersistentMemory: false
Структура рекурсивного звена отображает алгоритм вычисления реакции по разностному уравнению с учетом ННУ и определяется видом передаточной функции.
Свойства объектов dfilt:
FilterStructure – показывает структуру рекурсивного звена (прямая, прямая каноническая и т.д.).
Arithmetic – форма представления данных (вещественный тип double).
Numerator – коэффициенты числителя передаточной функции.
Denumerator –коэффициенты знаменателя передаточной функции.
PersistentMemory – начальные условия при вычислении реакции; значения false соответствует ННУ.
12. Анализ влияния нулей и полюсов на вид АЧХ.
Рис 8. Карта нулей и полюсов и нормированной АЧХ
Матрица для коэффициентов b:
[1 0 0]
[1 0 0]
[1 0 0]
[1 1 0]
Матрица для коэффициентов a:
[1 -0.9028 0.67]
[1 0.9028 0.67]
[1 -0.9028 0.67]
[1 -0.9028 0.67]
Карты нулей и полюсов соответствует виду АЧХ, так как на частоте комплексно-сопряженных нулей и полюсов имеются минимумы и максимумы, а в случае наличия вещественных нулей на границах АЧХ наблюдаются экстремумы.
Вывод:
При изучении математического описания линейно-дискретной системы были рассмотрены её характеристики. В пунктах 3 и 4 реакции y(n) были вычислены двумя способами: через формулу свертки и разностное уравнение соответственно. При сравнении обеих реакций оказалось, что они одинаковы. Длина реакции была ограничена 33 отсчётами, так как без ограничения она была бы бесконечной, и значения реакции на бесконечности стремились бы к нулю.
В пунктах 5-7 были вычислены характеристики передаточной функции, такие как нули (q), полюса (p), коэффициент усиления (К) в виде произведения простейших множителей (пункт 5). Также были найдены коэффициент усиления (G) и матрица коэффициентов (s) в виде произведения множителей второго порядка (пункт 6). Полюса (p), коэффициенты разложения (r) и целая часть (с) были найдены в виде суммы простых дробей (пункт 7).
Далее, в 8 пункте была получена карта нулей и полюсов, с помощью которой можно оценить устойчивость рекурсивного звена. В пунктах 9-10 были рассмотрены частотные характеристики, такие как Амплитудно-Частотная Характеристика (АЧХ) и Фазово-Частотная Характеристика (ФЧХ) в шкале нормированных (пункт 9) и абсолютных (пункт 10) частот.
Санкт-Петербург
2023 г