917
.pdfРассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости . Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида , а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:
2 ,
.
Преобразуем первое уравнение:
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
1. Плоскость |
|
|
пересекает эллиптический параболоид по параболе |
|||
с вершиной в точке |
0; 0; |
|
, параметром и ветвями, направленными |
|||
|
||||||
вверх. |
|
|
|
|
|
|
2. При |
0 |
уравнение определяет параболу с вершиной в начале ко- |
ординат и параметром .
Аналогично исследование проводится плоскостями, параллельными координатной плоскости . В этом случае форма эллиптического параболоида повторяет случай для плоскости, параллельной координатной плоскости .
На основании провед нного исследования построим эллиптический параболоид (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Эллиптический параболоид
Уравнение гиперболического параболоида имеет вид:
, , |
0. |
Выясним форму гиперболического параболоида, используя метод параллельных сечений.
Рассмотрим сечения гиперболического |
параболоида плоскостями, па- |
|
раллельными координатной плоскости |
. |
Каждая из таких плоскостей |
200 |
|
|
определяется уравнением вида , а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем первое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. При |
|
0 плоскость |
|
|
пересекает гиперболический параболоид |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
по гиперболе с полуосями |
2 |
|
|
и |
2 . |
|
|||||||||||||||||||
|
2. При |
|
0 плоскость |
|
|
пересекает гиперболический параболоид |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||||||
по гиперболе с полуосями |
|
|
2 |
|
|
2 . |
|||||||||||||||||||
|
Рассмотрим сечения гиперболического параболоида плоскостями, па- |
||||||||||||||||||||||||
раллельными координатной плоскости |
|
. Каждая из таких плоскостей |
|||||||||||||||||||||||
определяется уравнением вида |
|
|
|
, а линия, которая получается в сечении, |
|||||||||||||||||||||
определяется двумя уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем первое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1. Плоскость |
пересекает гиперболический параболоид по пара- |
|||||||||||||||||||||||
боле с вершиной в точке |
0; 0; |
|
|
|
, параметром и ветвями, направлен- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ными вверх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2. При |
|
0 уравнение определяет параболу с вершиной в начале ко- |
ординат, параметром |
и ветвями, направленными вверх. |
||||||||
Рассмотрим сечения гиперболического параболоида плоскостями, па- |
|||||||||
раллельными координатной плоскости |
. Каждая из таких плоскостей |
||||||||
определяется уравнением вида |
|
, а линия, которая получается в сечении, |
|||||||
определяется двумя уравнениями: |
|
||||||||
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
|
|
|
||||
Преобразуем первое уравнение: |
|
||||||||
2 |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
1. Плоскость |
|
пересекает гиперболический параболоид по пара- |
|||||||
боле с вершиной в точке 0; 0; |
|
, параметром и ветвями, направленными |
|||||||
|
вниз.
2. При 0 уравнение определяет параболу с вершиной в начале координат, параметром и ветвями, направленными вниз.
На основании провед нного исследования построим гиперболический параболоид (рис. 5.6).
201
Ответы
Ответы к Упражнениям
Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве
1. См. рис. 1.1–1.6.
6 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
3 |
3 |
4 |
Рис. 1.2. |
|
||
|
|
|
Рис. 1.1. |
|
|
1
3 |
|
1 |
5 |
3
Рис. 1.4.
5
Рис. 1.3.
3
5
3
Рис. 1.6.
Рис. 1.5.
207
2. 1) 4; 3; 0 , |
3; |
2; 0 , 2; 3; 0 , |
0; 0; 0 ; 2) |
4; 0; 5 , |
3; 0; 1 , |
2; 0; 0 |
, |
|||||||
0; 0; |
3 ; 3) |
0; 3; |
5 , |
0; 2; 1 , |
0; |
3; 0 , |
0; 0; |
3 ; |
4) 4; 0; 0 , |
3; 0; 0 |
, |
|||
2; 0; 0 |
, |
0; 0; 0 ; |
5) |
0; 3; 0 , |
0; 2; 0 , |
0; |
3; 0 , |
0; 0; 0 ; 6) |
0; 0; 5 |
, |
||||
0; 0; 1 |
, |
0; 0; 0 , |
0; 0; |
3 . 3. 1) |
2; 3; 1 ; 2) |
2; |
3; |
1 ; 3) |
2; 3; 1 ; |
|
4) 2; |
3; |
1 ; 5) |
2; 3; |
1 ; 6) |
|
2; |
3; 1 ; 7) |
2; |
3; |
|
1 . 4. |
|
|
√ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
√ |
; 0 , |
|
√ |
; 0; 0 , |
0; |
√ |
; 0 , |
|
√ |
; 0; |
, 0; |
√ |
; |
, |
|
|
√ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0; |
|
|
√ |
; |
. 5. |
|
; ; |
, ; |
; |
, |
; ; , |
; |
; |
|
. 6. 13. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
;0; 0 ,
;0; ,
9. |
5; 0; 0 и |
11; 0; 0 . 10. |
|
; 3; |
|
. 11. |
|
; |
|
|
; |
|
. 12. 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
9; 5; 6 . 14. |
1; 5; 2 , 3; 2; 1 , |
5; 1; 0 , |
|
7; 4; |
1 . 15. |
√ |
. |
||||||||
|
|
Глава 2. Векторы
1. См. рис. 2.1.
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
5. |
|
|
|
|
|
√129, |
|
|
7. 6. |
|
|
|
|
|
|
1; 1; √2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
или |
|
1; |
|
1; |
√2 . 7. |
|
|
|
|
|
|
4; 3; |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
4; 3; 1 . 8. |
1; 2; 3 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. 1) |
1; 1; 6 ; 2) |
5; 3; 6 ; 3) |
|
6; |
4; 12 ; 4) |
1; |
|
|
|
|
; 0 |
; 5) |
0; |
1; 12 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
3; |
|
|
; 2 . 10. 1) |
10; 1; 14 ; 2) |
2; |
|
23; 4 ; 3) |
12; |
33; 27 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
9; |
39; |
|
|
|
|
. 11. |
|
|
|
|
|
|
3; 4; |
|
|
3 , |
|
|
|
0; |
|
5; 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
3; 1; 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
12. Не коллинеарны. 13. Коллинеарны. 14. 5√3. 15. 13. 16. |
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6, |
|
|
|
|
|
|
|
14. 18. Вектор |
длиннее вектора |
|
|
|
в 2 |
раза; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторы |
и |
направлены в одну сторону. 19. cos |
|
|
|
|
|
|
, |
cos |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 20. cos |
|
|
|
, cos |
|
|
|
|
, cos |
|
|
|
|
|
|
. 21. Нет. 22. Да. |
̅ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
|
4 ̅ 7 ̅ 5 . 24. |
|
|
|
|
10 ̅ |
|
̅ 3 . 25. 14. 26. 12 |
̅ 3 |
̅ 8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
4; 2) 5 |
|
6√2; 3) 4 61 |
|
30√2 . 28. 1) 52; 2) 461. 29. |
13. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. 27. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
208 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. 22. 31. 14. 33. 4. 34. |
|
. 35. |
|
. 36. 3; 3; 3 . 37. 6. |
|
|
38.4. 39. . 40. 7√3. 41. 16. 42. 24. 43. 4. 44. 11 ̅ 9 ̅ 28 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
45. |
20 ̅ 4 ̅ 28 |
. 46. |
6; |
4; |
6 . 47. 14. 48. |
|
7; 5; 1 . 49. |
|
|
|
|
20√3. 50. |
7. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
51. |
Векторы не компланарны. 52. 3. 53. |
|
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3. Плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
3; 2; |
5 . 2. |
|
|
|
|
2 |
0. 3. 2 |
|
|
|
|
0. 4. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
0. 5. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 0. 6. |
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
16 0. 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. 8. 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
|
0. 9. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
0. 10. 4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
0. 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12. |
|
|
4, |
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 13. |
|
|
12; 0; 0 , 0; |
|
8; 0 , |
|
0; 0; 6 . 14. 8. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. 16. 2 |
|
21 |
|
2 |
|
88 |
|
|
|
|
|
|
0, 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
15 |
|
|
0. |
18. 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
0. 19. 3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
2), 3), 5). 21. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0. 22. 1) |
|
|
|
|
|
|
60 , |
|
|
|
|
45 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 , |
|
|
5; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
2; 3) |
|
|
|
|
|
|
|
150 , |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
120 , |
|
90 , |
|
|
|
5; 4) |
|
|
|
90 , |
|
|
|
|
|
180 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
90 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
23. |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
2 |
|
0. 25. 1), 2). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
1), 2). 27. |
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 28. 19. 29. |
|
|
|
. 30. 4. 31. 1. 32. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33. |
|
|
2;0; 0 , |
|
|
|
|
|
|
; 0; 0 . 34. 4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
0. 35. 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
0, 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
0. 36. 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0. 37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0, 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 0. 38. 1) 23 |
|
|
2 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
33 0; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
39. |
5 |
|
5 |
|
|
8 |
|
|
|
0. 40. |
|
|
|
5 |
4 |
|
|
20 |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
41. |
2 |
|
3 |
|
|
6 |
|
|
19 |
0, 6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
0. 42. 12 |
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
38 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
84 |
|
0, 4 |
3 |
|
6 |
|
12 |
|
|
|
|
0. 43. √2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4. Прямая в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
4; 6; |
9 , |
|
|
|
|
|
|
5; 2; 4 . 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
9 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
1; 5; |
6 , |
|
|
|
|
|
|
8; |
|
3; 2 . 5. |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
5 , 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
7 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
|
|
|
3 |
|
2 , 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
9. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 2 . 8 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 5 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
7 , 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
. 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
11 ,. 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 14. 5 |
|
|
|
|
3 |
|
7 |
|
0,. 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 17. |
|
|
|
. 18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
209 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|