DZ_YTS / ДЗ Новиков СМ9-71

Рисунок 11 – Программа для нахождения недостающих коэффициентов таблицы Рауса

В результате работы программы получаем значения, показанные на рисунке 12.

Рисунок 12 – Найденные неизвестные коэффициенты таблицы Рауса Заполним таблицу Рауса (таблица 4) согласно рисунку 10, используя

найденные коэффициенты полинома (рисунок 12):

Таблица 4

Согласно критерию Рауса, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были положительны. В данном случае, критерий Рауса выполняется, поэтому система является устойчивой.

3.3 Критерий Михайлова

Определим устойчивость замкнутой системы с использованием критерия Михайлова. Запишем ещё раз передаточные функции, полученные в пункте 1.

Передаточная функция замкнутой системы:

30 + 60

(s) = 0,5 3 + 3,04 2 + 30 + 60

Для того чтобы получить кривую Михайлова, используем программу,

показанную на рисунке 13:

Рисунок 13 – Программа для построения кривой Михайлова В командном окне получаем следующие значения:

Рисунок 14 – Результат работы программы в MATLAB для построения кривой Михайлова

12

На рисунке 15 представлена кривая Михайлова для замкнутой системы.

Рисунок 15 – Кривая Михайлова для замкнутой системы Из рисунка 15 следует, что критерий Михайлова выполняется, так как

кривая Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси и обходит 3 квадранта на комплексной плоскости против часовой стрелки.

Следовательно, замкнутая система устойчива.

3.4 Критерий Найквиста

Согласно критерию устойчивости Найквиста, для того, чтобы замкнутая система управления с отрицательной обратной связью была устойчива,

необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами АФЧХ замкнутой системы отрезка вещественной оси (−∞, −1) была равна /2 (где – число правых корней характеристического уравнения замкнутой системы). Для построения АФЧХ в MATLAB используется функция nyquist. Чтобы найти корни характеристического уравнения, воспользуемся функцией pole.

Программа для построения АФЧХ системы и для нахождения полюсов передаточной функции приведён на рисунке 16.

13

Рисунок 16 – Программа для построения АФЧХ и нахождения корней АФЧХ разомкнутой системы приведена на рисунке 17, АФЧХ

замкнутой системы – на рисунке 18.

Рисунок 17 – АФЧХ разомкнутой системы

Рисунок 18 – АФЧХ замкнутой системы

14

Значения корней характеристического полинома для разомкнутой системы (слева) и замкнутой системы (справа) представлены на рисунке 19.

Рисунок 19 - Корни характеристического полинома Так как вещественные части всех корней отрицательные, то число

правых корней равно нулю ( = 0). На отрезке (−∞, −1) нет ни положительных, ни отрицательных переходов. Следовательно, согласно критерию Найквиста и разомкнутая, и замкнутая система является

устойчивой.

Вывод

В ходе выполнения домашнего задания были найдены передаточные функции для заданной системы с разомкнутой и замкнутой обратной связью,

были получены графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также переходной и импульсной переходной характеристик. Также для исходной системы было определено,

что система является устойчивой по всем рассмотренным критериям: Гурвица,

Рауса, Михайлова и Найквиста.

15

Список использованной литературы

1.Управление в технических системах: учебник / Н. П. Деменков,

Е. А. Микрин. — Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. —452

с.: ил. ISBN 978-5-7038-4661-2. [Электронный источник] (дата обращения

17.11.2023 г.) Ссылка: https://bmstu.press/catalog/item/5057/

2.Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — 312 с.

3.Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2.

Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы — 2-е изд.,

испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — 440 с.

16