МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»
Кафедра управления и интеллектуальных технологий
Типовой расчет по дисциплине
«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Вариант 11
Группа: А-01-20
Выполнил: Дашин И.Н.
Проверила: Сидорова Е.Ю.
Москва 2023
1. Задание на выполнение расчёта
Исходными данными для исследования нелинейной системы являются структурная схема системы с заданными параметрами звеньев и характеристика нелинейного элемента.
Рис.1. Исходная структурная схема нелинейной системы.
Рис. 2. Нелинейный элемент релейного типа (двухпозиционное реле с гистерезисом)
В рамках настоящей работы исследуется система при отсутствии входного воздействия, т.е. .
Передаточные функции исходной системы заданы следующего вида:
; (1.1)
; (1.2)
; (1.3)
z = – характеристика нелинейного элемента релейного типа
Параметры системы и нелинейного элемента:
№ |
a |
b |
|
|
|
Тип НЭ |
c |
h |
B |
11 |
1 |
0.64 |
3 |
5 |
0.2 |
3 |
5 |
8 |
5 |
h выбираем из условия h > c: берем из ближайшего по номеру варианта задания с нелинейным элементом вида 4, при котором соблюдается h> c=5. В данном случае ближайший подходящий вариант 4 с h=8.
2. Выполнение расчёта
2.1. Структурные преобразования исходной схемы (рис. 1.)
Объединим передаточные звенья в звено , так как они соединены последовательно, перемножим их передаточные функции:
(2.1)
Ветвь со звеном и единичную обратную связь объединим в эквивалентное звено в соответствии с правилом параллельного соединения:
(2.2)
В результате получим такую структурную схему:
Рис. 3. Приведённая структура схема нелинейной системы
В соответствии с (2.1) и (2.2) запишем связь между переменными в операторной форме:
(2.3)
(2.4)
Перейдём от операторной формы записи дифференциальных уравнений (2.1) и (2.2) к естественной форме с независимым аргументом t.
Подставляя в (2.3) и (2.4) заданные значения параметров и переходя от изображений к оригиналам, получим дифференциальные уравнения следующего вида:
(2.5)
(2.6)
Уравнения (2.5) и (2.6) и уравнение нелинейного элемента:
(2.7)
полностью описывают динамику системы.
Подставим выражение (2.7) для и (2.6) для в (2.5):
(2.8)
В результате получаются два типа дифференциальных уравнений с одинаковыми левыми частями и отличающихся значениями постоянных функций в правой части (75; -75). Отсюда следует, что на фазовой плоскости будут иметь место траектории двух типов. Неравенства указывают, в какой области фазовой плоскости справедливы решения (интегральные кривые) того или иного уравнения.
В качестве координат фазовой плоскости примем переменные Тогда система (2.8) представиться через фазовые переменные следующим образом:
(2.9)
Из неравенств (2.9) могут быть найдены полупрямые, являющиеся границами областей с различными типами фазовых траекторий:
(2.10)
Определим первый тип фазовых траектории. Для этого подставим значение z = 5 в уравнение (2.5) и запишем последнее в следующем виде:
(2.11)
Введём новую переменную:
(2.12)
Очевидно, что . Тогда уравнение (2.11) перепишется следующим образом:
(2.13)
Для определения характера фазовых траекторий воспользуемся справочным материалом из методички (рис. 3.1. Виды фазовых траекторий) и представим уравнение (2.13) в виде:
(2.14)
находим, что и . Таким образом, фазовые траектории соответствуют рис. 3.1 (в) методического указания - «Устойчивый фокус»
Рис. 4. Фазовые траектории типа «Устойчивый фокус»
Из (2.12) следует, что , это значит, что фазовый портрет уравнения (2.11) будет отличаться от портрета (2.13) смещением всей картины по оси на величину (+ ).
Второй тип фазовых траекторий отображается по аналогии с первым. Отличие заключается в смещении начала координат фазового портрета по оси на величину (- ).
Качественный фазовый портрет нелинейной системы представлен на (рис. 5), из него следуют, что точки соответствуют устойчивому положению равновесия.
Рис. 5. Фазовый портрет нелинейной системы
2.2. Зададим модель системы (рис. 1.) в ППП MATLAB/Simulink с реализацией моделей звеньев в пространстве состояний.
Преобразуем исходную структурную к виду (рис. 6.), объединив при этом звенья в звено , получим структурную схему вида
Рис. 6. Преобразованная структурная схема исходной системы
В результате можно задать передаточные функции и с помощью модели пространства состояний.
Для
>> g = [0 5];
>> h = [1 1 0.64];
>> [A,B,C,D] = tf2ss(g,h)
A =
-1.0000 -0.6400
1.0000 0
B =
1
0
C =
0 5
D =
0
Для
>> g = [1 0];
>> h = [1 1 0.64];
>> [A,B,C,D] = tf2ss(g,h)
A =
-1.0000 -0.6400
1.0000 0
B =
1
0
C =
1 0
D =
0
Рис. 7. Модель нелинейной системы в MATLAB/Simulink
где, NE3 – блок подсистемы, задающий НЭ3;
W1 – блок усиления, реализующий звено с передаточной функцией ;
W2 – блок, реализующий звено с передаточной функцией в пространстве состояний;
W3v – блок, реализующий звено с передаточной функцией в пространстве состояний;
XX’ Graph – блок для построения фазового портера;
out.v, out.x – блоки, позволяющие передавать и хранить в переменных значения точек v и х для построения фазового портрета;
Scope x(t) – блок для построения графика процесса x(t).
Рис. 8. Модель НЭ 3 с отображением заданных параметров для объекта Relay
Рис. 9. Задание параметров блоков W2, W3v
В новых версиях Simulink после реализации модели системы в workspace возвращается объект выхода, и к переменным x,v мы получаем доступ обращаясь к ним как к свойствам объекта out:
plot(out.x,out.v,'b-');
grid on;
Для построения фазового портера самостоятельно зададим несколько произвольных значений начальных условий и отобразим полученные траектории:
>> x1=out.x;
>> v1=out.v;
>> x2=out.x;
>> v2=out.v;
>> x3=out.x;
>> v3=out.v;
>> x4=out.x;
>> v4=out.v;
>> x5=out.x;
>> v5=out.v;
>> plot(x1,v1,'b-',x2,v2,'r-', x3, v3, "g-", x4, v4, "b-", x5, v5, "r-");
>> grid on
Рис. 10. Фазовые траектории системы
Здесь по оси абсцисс отложена координата х, а по оси ординат – координата . В качестве начальных условий были заданы 5 точек с координатами (x,v): (0,0), (1,-1), (-1,1), (-5,5), (5,-5).
В пункте 2.1 исследования точки с координатами и соответствуют устойчивому положению равновесия.
Рис.11. Фазовые траектории для (x,v)=
По графику фазовых траекторий, мы видим, что в системе присутствуют автоколебания.
Зададим самостоятельно ещё три фазовые траектории с начальными условиями согласно пункту 2 задания ( ), ( ) и ( ), и самостоятельно построим для них графики изменения процесса x(t) во времени. На рис. 12 отображены полученные фазовые траектории, а на рис. 13-15 – соответствующие им графики изменения процесса x(t):
Рис.12. Фазовые траектории системы
Рис.13. График процесса x(t) при НУ ( )
Рис.14. График процесса x(t) при НУ ( )
Рис.15. График процесса x(t) при НУ ( )
Как видно из рисунков 13-15, при различных начальных условиях в системе устанавливаются периодические процессы с одинаковыми периодами и амплитудами, то есть данные процессы являются устойчивыми автоколебаниями.