Глашев Д.С. ГЭ17-02Б(V4.0)-1
.docxФедеральное государственное автономное
образовательное учреждение
высшего образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Саяно-Шушенский филиал
кафедра Фундаментальной подготовки
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
по теоретической механике
Динамика материальной точки
Преподаватель ___________ Н.Г. Полюшкин
подпись, дата
Студент __________ ________________ ___________ Д.С. Глашев
номер группы номер зачетной книжки подпись, дата
Саяногорск 2018
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 1). На гладком участке АВ трубы на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q и сила сопротивления среды R = −μV.
P
R
Рис. 1 Расчетная схема
В точке В груз, не изменяя численного значения своей скорости, переходит на участок ВС, где на него кроме силы тяжести действует сила трения (f − коэффициент трения) и переменная сила F = F(t) (Н).
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = х(t), где х = ВD (g = 10 м/с2).
Решить задачу при следующих данных:
m = 4 кг; V0 = 12 м/с; Q = 12 H; R = 0,8V2 H; f = 0,2; l = 2,5 м; FX = -8cos(4t).
Решение.
Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Проведем координатную ось Аz в направлении движения груза и запишем начальные условия движения на этом участке:
Изобразим на рисунке 2 действующие на груз силы: силу тяжести P = mg , силу сопротивления R , направив её против скорости движения груза (против оси Az) и нормальную реакцию N1 .
t = 0, z (0) = 0, VZ (0) = V0. (1)
F
Z
Fтр
R
P
P
N2
N1
Y
Рис. 2 Расчетная схема с действующими активными силами и реакциями связей
Составим дифференциальное уравнение движения груза D в проекции
на ось Az,
или
где Учитывая, что P = mg, а R = 0,8VZ = 0,8V2, получим
После подстановки численных данных примера и разделения переменных находим
Возьмем определенные интегралы от левой и правой частей равенства (2), в которых нижние пределы соответствуют начальным условиям задачи (1), а верхние пределы − значениям скорости и времени, когда груз окажется в точке В:
Отсюда находим
или, потенцируя это равенство, получим
и, подставив данные задачи, вычислим величину скорости в точке В:
2. Теперь рассмотрим движение груза D на участке ВС (рис. 2); най-
денная скорость VB будет при движении на этом участке начальной скоростью: V0 = VB.
Введем в точке В декартовую систему координат Вху, проведя ось Вх по направлению движения груза, и запишем начальные условия:
t = 0, х (0) = 0, VX (0) = VB = 7,7 м/с. (3)
Изобразим на рисунке 2 силы, действующие на груз D: силу тяжести P , нормальную реакцию плоскости N2 , силу трения Fтр и переменную силу F , являющуюся функцией времени.
Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:
Так как VX = V; Fтр = fN2 и FХ = -8cos(4t), это уравнение примет вид
Для определения N2 составим дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ву:
Так как по оси ВY груз не движется, то у=const и Vy =0. Тогда dVY/dt = 0, и из (5) получим 0 = N2 − mgsin30, откуда находим N2 = mgsin30. Следовательно, уравнение (4) примет вид
Разделим обе части равенства на m, вычислим значения:
и, подставив эти значения в (6), получим
Умножая обе части уравнения (3.9) на dt и интегрируя, найдем
Для определения постоянной интегрирования C1, подставим начальные условия (3) в (8), получим
отсюда находим
При найденном значении С1 запишем уравнение (8)
Умножая здесь обе части (9) на dt и снова интегрируя, найдем
Подставляя в (10) начальные условия (3), получим С2 = 0. Тогда искомый закон движения груза D вдоль оси Вх имеет вид
где х − в метрах, t − в секундах.
Ответ: − закон движения груза D вдоль оси Вх.