Контрольные / Пулькин КР / Cp_15__kopia
.pdfВариант 51
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 8 |
5 |
8 1: |
||
|
@ |
9 |
4 |
8 |
A |
|
8 |
4 |
7 |
||
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 2e2 + 2e3; f2 = e1 4e2 + 3e3; f3 = e1 e2 + e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + x22 + x23 4x1x2 4x1x3 + 6x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 2x21 + x22 + x23 4x1x2 4x1x3 2x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = x22 x23 + 6x1x2 + 2x1x3 4x2x3; g(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 4x1x3 + 2x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 52
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
01
|
1 |
2 |
2 |
|
AE = @ |
6 |
3 |
6 |
A: |
6 |
6 |
9 |
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 3e2 + 3e3; f2 = e1 3e2 + 4e3; f3 = 2e1 7e2 + 9e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + 4x22 + x23 8x1x2 4x1x3 + 3x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 4x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 2x21 + x22 + x23 2x1x2 2x1x3;
g(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 4x1x2 2x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 53
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
0 |
2 |
4 |
1 |
3 |
A: |
||
4 |
3 |
4 |
|
AE = @ 4 |
2 |
5 |
à) |
Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. |
á) |
Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå |
|
f1 = e1 e3; f2 = e1 2e2 2e3; f3 = e1 + e2 e3: |
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 9x1x2 2x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 5x21 + 5x22 + 5x23 + 4x1x2 + 4x1x3 6x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = x21 + 4x22 x23 + 2x1x3 4x2x3;
g(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 4x1x3 2x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 54
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 4 |
3 |
2 1: |
|
|
7 |
1 |
1 |
A |
|
@ 2 |
1 |
6 |
|
à) |
Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. |
á) |
Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå |
|
f1 = e1 6e2 4e3; f2 = e1 5e2 3e3; f3 = e1 2e2 e3: |
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 9x1x2 4x1x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 2x21 6x22 2x23 2x1x2 4x1x3 8x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1x2 4x1x3 2x2x3;
g(x) = x21 + 4x22 x23 + 8x1x2 + 2x1x3 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 55
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
|
0 |
7 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
AE = |
@ |
2 |
3 |
2 |
A |
: |
|
2 |
2 |
3 |
|
à) |
Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. |
á) |
Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå |
|
f1 = e1 e2 e3; f2 = e1 e3; f3 = 3e1 e2 2e3: |
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 9x21 + x22 + x23 + 6x1x2 + 6x1x3 2x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 3x22 3x23 + 4x1x2 4x1x3 2x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 3x21 + 2x22 + 4x23 + 2x1x2 + 6x1x3;
g(x) = 2x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1x2 + 4x1x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 56
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
01
6 |
4 |
1 |
|
4 |
2 |
1 |
A: |
AE = @ 4 |
4 |
3 |
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 3e2 + 8e3; f2 = e1 2e2 + 4e3; f3 = e1 e2 + e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + x22 + 4x23 4x1x2 8x1x3 + 8x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 2x21 + 6x22 + 3x23 + 2x1x2 + 8x1x3 8x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1x3 + 2x2x3;
g(x) = x21 + 4x22 3x23 6x1x3 + 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 57
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
|
0 |
5 |
2 |
2 |
1 |
|
AE = |
@ |
4 |
7 |
4 |
A |
: |
|
5 |
5 |
2 |
|
à) |
Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. |
á) |
Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå |
|
f1 = e1 3e2 4e3; f2 = e1 4e2 5e3; f3 = 2e1 4e2 5e3: |
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = x1x2 7x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + 4x22 + 4x23 2x1x2 2x1x3 + 2x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 2x21 + 3x22 + 2x23 4x1x2 + 2x1x3 4x2x3;
g(x) = 2x21 x22 2x23 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 58
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 4 |
7 |
2 1: |
||
|
@ |
1 |
4 |
2 |
A |
|
4 |
4 |
5 |
||
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 3e2 + 4e3; f2 = e1 2e2 + 2e3; f3 = e1 e2 e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + x22 + 4x23 4x1x2 8x1x3 + 3x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 3x21 + 5x22 + 2x23 + 2x1x2 + 8x1x3 8x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = x21 + 4x22 x23 + 8x1x2 2x1x3 + 4x2x3; g(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 59
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 2 |
3 |
2 1: |
||
|
@ |
7 |
6 |
6 |
A |
|
6 |
6 |
5 |
||
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 2e2 + 3e3; f2 = e1 3e2 + 4e3; f3 = 3e1 e2 + 3e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 9x21 + x22 + x23 + 6x1x2 6x1x3 + 2x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 3x22 3x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = x22 x23 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3;
g(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1x2 4x1x3 2x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 60
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
0 |
9 |
1 |
1 |
9 |
|
||
7 |
7 |
1 |
A: |
AE = @ 7 |
9 |
3 |
à) |
Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. |
á) |
Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå |
|
f1 = e1 e2 + e3; f2 = e1 7e3; f3 = e1 e2 + 2e3: |
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x1x2 x1x3 + 4x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 6x21 6x22 + 2x23 2x1x2 + 6x1x3 6x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 4x1x3 2x2x3;
g(x) = 4x21 + 3x22 + 3x23 + 2x1x2 6x1x3 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008