4 курс / Лучевая диагностика / Физика_ядерной_медицины_Часть_1_Климанов_В_А_

Рис. 1.14. Зависимость массовых тормозных способностей электронов от энергии для воды и свинца: 1 – (S/ρ)col; 2 – (S/ρ)rad; (адаптировано из [4])

4.2.5. Ограниченная массовая тормозная способность и поглощенная доза

При неупругом взаимодействии с веществом электрон, как отмечалось выше, может передать часть своей энергии электронам среды (вторичным электронам) или испустить тормозное излучение. В большинстве случаев вторичные электроны получают относительно небольшую долю энергии первичных электронов, но имеют место и случаи большой передачи энергии (до половины от энергии первичного электрона, а если передается больше половины, тогда вторичный электрон называют первичным, а вторичный

– первичным). Такие высокоэнергетические вторичные электроны имеют уже достаточно большие пробеги в веществе и, следовательно, потеряют свою энергию на некотором удалении от точки образования. Аналогичная ситуация имеет место и для тормозных

фотонов. Так как понятие поглощенной дозы D связывается с ло-

кальным поглощением энергии, то для расчета величины D( r ) ,

исходя из знания пространственно-энергетического распределения

флюенса электронов (r , E) , использование понятия массовой

51

тормозной способности будет некорректным. Для определения связи между этими двумя величинами вводится понятие ограниченной тормозной способности столкновений.

Ограниченная тормозная способность столкновений относится к концепции линейной потери энергии. Под понятием линейной передачи энергии L понимается отношение энергии dE, теряемой заряженной частицей на ионизацию и возбуждение атомов среды, к величине пути dl, т.е. L=(dE/dl). Таким образом, в величину L не входят потери энергии на испускание тормозного излучения. Чтобы отделить локальное поглощение энергии, имеющее место вблизи точки взаимодействия, от энергии, которая будет потеряна электроном на определенном расстоянии от точки взаимодействия, вводится понятие ограниченной тормозной способности столкновений, (L/ρ)col, . Другими словами, величина (L/ρ)col, представляет собой частное от деления dE на ρ∙dl, при условии, что в dE вклю-

Выбор значения зависит от специфики рассматриваемой проблемы. Для задач, связанных с расчетом ионизационных камер, значение берется равным 10 кэВ, что соответствует пробегу

[6]. Используя это понятие, значение поглощенной дозы, создаваемой электронами, можно определить из следующего выражения:

52

Рис.1.15. Зависимости массовой тормозной способности от значения (адаптировано из [1])

4.2.6. Угловое распределение рассеянных электронов и массовая рассеивающая способность

При прохождении пучка электронов через вещество последние, как отмечалось выше, под действием кулоновских сил испытывают очень большое количество взаимодействий. В результате электроны приобретают составляющие скорости и смещения перпендикулярные к направлению их первоначального движения (см. рис. 1.13). Для большинства практических задач угловое и пространственное расширение узкого коллимированного пучка (тонкого луча) электронов в малоугловом приближении может быть аппроксимировано гауссовским распределением [7].

Пусть такой узкий пучок падает на плоскую поверхность рассеивателя вдоль оси z (геометрическая ось пучка параллельна оси z), которая, в свою очередь, нормальна к этой поверхности. Тогда угловое распределение флюенса электронов после прохождения ими слоя рассеивателя толщиной z , будет описываться выражением, предложенным в работах [7,8]:

53

где θ – угол по отношению к оси z; 2 (z) – средний квадрат угло-

где (T/ρ) – массовая угловая рассеивающая способность, значения которой для некоторых веществ приводятся в работах [5, 9]; i2 –

начальное значение среднего квадрата углового расширения пучка. По аналогии с массовой тормозной способностью МКРЕ [9] определяет массовую угловую рассеивающую способность как отно-

шение приращения среднего квадрата угла рассеяния к dl :

Эксперименты показывают, что для материалов с низким атом-

ным номером наблюдается линейная зависимость между 2 и глубиной проникновения пучка в достаточно широком интервале глубин [6,10]. С дальнейшим увеличением глубины формируется равновесное угловое распределение, так как электроны, рассеянные на большие углы, быстро выбывают из пучка. Массовая угловая рассеивающая способность пропорциональна примерно квадрату атомного номера вещества и обратно пропорциональна кинетической энергии электрона.

4.3.Взаимодействие фотонов с веществом

4.3.1. Общее рассмотрение

При прохождении через вещество фотоны испытывают взаимодействие с сильно связанными электронами, т.е. с атомом как с

54

целым (фотоэлектрический эффект, когерентное рассеяние), с полем ядер (образование электроно-позитронных пар) или со свободными электронами (эффект Комптона, образование триплетов).

Вконтексте фотонных взаимодействий связанный электрон – это орбитальный электрон с энергией связи на оболочке порядка или немного выше, чем энергия фотонов, в то время как свободный электрон – это электрон с энергией связи много меньшей, чем энергия фотона.

Вобласти энергий фотонов от нескольких килоэлектронвольт до нескольких мегаэлектронвольт, представляющих наибольший интерес для ЯМ, основными процессами взаимодействия фотонов с веществом являются фотоэлектрический эффект, комптоновское рассеяние и образование электронно-позитронных пар. Значительно меньшую роль играют когерентное (или томсон-релеевское рассеяние) на связанных электронах и фотоядерные реакции. Во время взаимодействия фотоны могут полностью исчезнуть (фотоэффект, образование пар и триплетов) или рассеяться когерентно (когерентное рассеяние) или некогерентно (эффект Комптона). Попе-

речные сечения взаимодействия фотонов зависят от их энергии Eγ и от атомного номера среды Z.

4.3.2. Фотоэлектрический эффект

При фотоэлектрическом эффекте фотон взаимодействует с орбитальным электроном, находящимся на i-оболочке, и поглощается, передавая всю свою энергию этому электрону, который в результате выбивается из атома с кинетической энергией

где BEi – энергия связи на i-оболочке.

После выбивания связанного электрона появившаяся на оболочке свободная вакансия заполняется электроном с вышерасположенной оболочки и событие фотопоглощения заканчивается испусканием характеристического фотона или электрона Оже (рис. 1.16).

При Eγ > BEK основную роль в фотоэффекте играют электроны на К-оболочке, и сечение фотоэффекта σф на К-оболочке составляет 80 % от полного сечения фотоэффекта. При Eγ < BEK процесс будет идти и на других оболочках. Поэтому в зависимости σф от

55

энергии фотонов наблюдаются скачки при энергиях фотонов, равных энергии связи на K-, L-, M- и других оболочках.

Рис. 1.16. Схематическое изображение фотоэлектрического поглощения фотона и последующего испускания характеристического фотона

Существует немало формул, в том числе и теоретических, выражающих зависимость σф от Eγ и от Z. Однако все они имеют приближенный характер, поэтому на практике лучше пользоваться справочными данными. Качественная зависимость σф на К- оболочке от этих переменных для фотонов больших энергий (Eγ >> >>mec2) описывается формулой Заутера:

где re = e2/(mec2) =2,82·10-15 м – классический радиус электрона. Для нерелятивистской области (BEK < Eγ << mec2) справедлива

приближенная формула Гайтлера

Как видно из (1.62) и (1.63) σф,K убывает в релятивистской об-

ласти значительно медленнее (1/E), чем в нерелятивистской области (E-7/2). Полное сечение фотоэффекта при Eγ > BEK связано с σф,K

следующей формулой (погрешность 2 – 3 %):

Таким образом, сечение фотоэффекта сильно зависит от атомного номера среды (~Z5) и быстро убывает с ростом энергии фотона (рис. 1.17). Поэтому этот эффект играет особо существенную роль в области малых энергий фотонов и для веществ с большими Z.

56

Рис.1.17. Зависимость микроскопических сечений взаимодействия фотонов, отнесенная к одному атому, от энергии фотонов для углерода и свинца

Средняя энергия, передаваемая в среде электронам при фотоэффекте фотонов с энергией Eγ > BEK , равна

где PK – доля событий фотоэффекта, происходящих на K-оболочке; ωК – выход характеристического излучения с К-оболочки. Величина PK изменяется от 1.0 для элементов с малым Z до 0,8 для элементов с большим Z.

57

4.3.3.Комптоновское (некогерентное) рассеяние

При комптоновском рассеянии фотоны, как следует из названия эффекта, не поглощаются, а в результате взаимодействия со "свободным" электроном передают ему часть своей энергии и сами отклоняются от направления своего первоначального движения на угол θs (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Диаграмма комптоновского рассеяния фотонов

Так как скорость орбитальных электронов мала по сравнению со скоростью света, при Eγ ≥ EK электрон до взаимодействия с фотоном допустимо считать свободным и покоящимся. Отсюда потерю энергии и угол рассеяния фотона можно связать с помощью уравнений закона сохранения и импульса как при упругом рассеянии:

электрона отдачи.

В результате преобразования уравнений (1.66) получаем следующие соотношения:

58

Из уравнения (1.67) следует, что с увеличением угла рассеяния θs энергия, уносимая рассеянным фотоном уменьшается, а энергия, передаваемая электрону отдачи, возрастает. Минимальное значение E'γ, соответствующей рассеянию на угол θs = 180о, равно

Как видно из выражения (1.68), для фотонов с высокой энергией (Eγ/mec2 >> 1) минимальная энергия рассеянных фотонов стремится к mec2/2 = 0,255 МэВ, т.е. потеря энергии очень значительна. В области же низких начальных энергий (Eγ/mec2 << 1) наоборот, ми-

нимальная энергия E ,min E , т.е. потери энергии в результате

комптоновского рассеяния незначительны.

Так как комптоновское рассеяние имеет место на свободных электронах, то микроскопическое сечение, отнесенное к одному электрону σк,e, не зависит от атомного номера среды Z, а отнесенное к одному атому линейно зависит от Z (для элементов с малым и средним Z). Для веществ с большим Z зависимость σк,e от Z появляется (не очень сильная) из-за эффекта экранирования полей электронных оболочек.

С увеличением начальной энергии фотонов σк,e постепенно уменьшается от значения 0.665 10-24 см2/электрон при очень низких энергиях до 0,051 10-24 см2/электрон при Eγ = 10 МэВ (рис.

1.17).

Угловое распределение рассеянных фотонов определяется дифференциальным сечением рассеяния. Согласно теории Клейна- Нишины-Тамма это сечение, отнесенное к одному атому равно

где α = Eγ/mec2 – безразмерная начальная энергия фотона.

59

Рис. 1.19. Зависимость микроскопического дифференциального сечения комптоновского рассеяния от косинуса угла рассеяния для разных начальных энергий фотонов (а) и зависимость полного и парциальных сечений комптоновского рассеяния от энергии фотонов (б)

Зависимость микроскопического дифференциального сечения комптоновского рассеяния от угла рассеяния для разных начальных энергий фотонов показана на рис. 1.19,a. Из приводимых графиков наглядно видно, что с увеличением энергии фотонов возрастает

60