Добавил:

karavashkinaviydetzamenya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

LR_TsOS_6_DPF

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2024

Размер:

2.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Таким образом, циклический частотный сдвиг ДПФ осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту вещественного сигнала, результирующий сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.

Симметрия ДПФ вещественного сигнала

Если	исходный сигнал	действительный, то есть
0...N 1	, тогда для четного	N :


s(n)		0

для

N 1

j n

N 1

s(n)e

s(n)

(26)

n 0

Спектральный отсчет S (N / 2)

также не имеет мнимой части.

Рассмотрим теперь S m , m 0... N

/ 2 1

и S N m

N 1

n N m

N 1

j 2 n

S N m s n e

s n e

(27)

n 0

Учтем что e

j 2 n

1, для любого целого n тогда:

S N m S

m ,m

1...

1 ,

(28)

для чётного

N .

S N m S

m ,m 1...

N 1

(29)

для нечётного N .

то есть, вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой.

На рисунке 2a представлен вид действительной и мнимой частей комплексного спектра действительного сигнала при четном N . Красным отмечены чисто вещественные S 0 и S N / 2 спектральные составляющие.

Рисунок 9. Реальная и мнимая части ДПФ действительного сигнала

На рисунке 2b показана действительная и мнимая части комплексного спектра действительного сигнала при нечетном N . В случае нечетного N только первый спектральный отсчет ДПФ вещественного сигнала является вещественным. Остальные спектральные отсчеты в общем случае комплексные.

Частотная инверсия спектра вещественного сигнала для четного N .

Инверсия по частоте спектра сигнала показана на рисунке 3 для четного

N .

Если S k Sinv k равен:

- спектр вещественного сигнала

s n

, то инверсный спектр

	S	k	N	,если k 0...			N	1
			2				2


Sinv k			N		N
	S	k		,eсли k		...N 1
			2		2

(30)

Рисунок 10. Частотная инверсия спектра вещественного сигнала для четного

В силу симметрии ДПФ вещественного сигнала мы можем произвести частотную инверсию спектра сигнала путем перестановки спектральных

составляющих.

Рассмотрим инверсный спектр Sinv k

для k 0... N/ 2

(31)

S k S k

N 1

knW

s n W

inv

n 0

Аналогично

S	inv	k
	inv

N 1

2 N

N 1

N 2

n W kne

n W kne j n

n 0

N 1

, k

0...

s n WN

n 0

Sinv k

для k N / 2

...N 1

равно:

N 1

s n W

s n

W 2

n 0

N 1

2 N

N 1

N 2

n W kne

n W kne j n

n 0

N 1

...N 1.

s n WN

n 0

(32)

(33)

Таким образом, для частотной инверсии спектра вещественого сигнала, в соответствии с (32), необходимо каждый второй отсчет умножить на 1 .

При этом важно второго, т.е. для

отметить,

n 1,3,5,7...

что умножать необходимо отсчеты начиная со , потому что индексация отсчетов начинается с


n 0	. Если же умножить на		1 каждый второй отсчет начиная с первого, то

получим инверсный спектр с отрицательным знаком Sinv k .

Отметим, что (33) справедливо только для четного N .

На рисунке 4 показано, что частотная инверсия спектра соответствует циклическому частотному сдвигу спектра на N / 2 спектральных отсчетов в сторону опережения, или запаздывания.

Рисунок 11. Частотная инверсия спектра сигнала за счёт частотного сдвига ДПФ

Тогда сигнал с инверсным по частоте спектром, согласно (25)свойству о частотном сдвиге спектра равен:

		j	2 N	n				n
s	n s n e	j	N 2	n	s n e	j n	1		s n
s	n s n e				s n e		1		s n


inv

Нулевой отсчет ДПФ

Нулевой отчет ДПФ есть сумма отсчетов сигнала.

(34)

N 1 S 0 s n

n 0

(35)

Свойство двойственности (дуальности)

У ДПФ есть еще одно замечательно свойство: свойство двойственности (или как еще часто говорят дуальности), которое заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для временного, так и для частотного представления сигнала.

Например, можно рассмотреть свойство ДПФ циклической свертки, которое гласит: ДПФ циклической свертки сигналов есть произведение ДПФ сворачиваемых сигналов. В то же время - это можно сформулировать и в обратную сторону: ДПФ произведения сигналов есть циклическая свертка ДПФ этих сигналов.

Аналогично можно переформулировать свойство частотного сдвига. Так сдвиг во времени приводит к умножению спектра на комплексную экспоненту, в то время как умножение сигнала на комплексную экспоненту приводит к циклическому сдвигу спектра в частотной области.

Быстрое преобразование Фурье

Принцип построения алгоритмов БПФ

Рассмотрим выражение для дискретного преобразования Фурье:

N 1

S k s n e

,k 0...N 1

(36)

n 0

ДПФ N

отсчетам сигнала s n

n 0...N 1

(в

общем

случае

комплексного) ставит в соответствие

N комплексных спектральных отсчетов

S k , k 0...N 1

. Для вычисления одного спектрального отсчета требуется

N операций

комплексного

умножения

сложения.

Таким

образом

вычислительная

сложность

алгоритма

ДПФ

составляет

операций

комплексного умножения и сложения.

Поскольку

сложность алгоритма

растет

квадратично

относительно

размера входного сигнала, можно достичь существенного ускорения

вычисления если нам удастся свести расчет N точечного ДПФ к двум	N / 2
точечным ДПФ, как это показано на рисунке 12.

Рисунок 12. Замена точечного ДПФ двумя точечными ДПФ

Замена одного

точечного ДПФ двумя

N / 2

точечными ДПФ

приведет к уменьшению количества операций в 2 раза, но дополнительно требуются операции разделения последовательности на две и объединение двух N / 2 точечных ДПФ в одно N точечное.

При этом каждое из N / 2 точечных ДПФ также можно вычислить путем

замены N / 2 точечного ДПФ на	два	N / 4 точечных, которые, в свою
очередь, можно рассчитать через	N / 8	точечные ДПФ. Эту рекурсию

можно продолжать пока возможно разбить входную последовательность на две.

Нужно заметить, что принцип построения алгоритмов путем рекурсивного сведения к задачам меньшего размера носит название «Разделяй и властвуй» (англ. Divide and conquer) и находит применение не только при построении алгоритмов БПФ, но и для других задач, когда сложность алгоритма растет нелинейно относительно размера исходных данных.

В нашем случае, если N 2L , L - это положительное

разделить последовательность пополам L раз. Для	N
разделение представлено на рисунке 13.

целое, мы можем 8 ( L 3 ) такое

Рисунок 13. Разделение и объединение последовательности для

N 8

Алгоритмы БПФ, которые используют выборки длиной	N 2	L

называются «алгоритмами БПФ по основанию 2». Данные алгоритмы получили наибольшее распространение, из-за их высокой эффективности и относительной простоты программной реализации.

Мы рассмотрим два способа разделения — объединения: прореживание по времени и прореживание по частоте.

Обратное быстрое преобразование Фурье

Эффективный алгоритм вычисления прямого БПФ можно использовать и для обратного преобразования. Обратим внимание, что комплексные экспоненты в выражениях для прямого и обратного ДПФ являются комплексно-сопряженными:

		2				2	*
	j	2	nk		j	2	nk
e	j	N	nk		j	N	nk
e				e


Нетрудно показать, что		для		двух			комплексных чисел

(37)

x a jb

y c jd справедливо следующее равенство:

x y* x* y *

(38)

Применительно для выражения ОДПФ можно записать:

N 1

nk *

1 N 1

nk *

s n

S k e

S* k e

(39)

N k 0

Таким образом,

берется

комплексно-сопряженный

спектр

S* k ,

выполняется прямое ДПФ и результат подвергается комплексному сопряжению. Вычисление ОДПФ при использовании ДПФ приведено рисунке 14.

Рисунок 14. Вычисление обратного БПФ

Если вместо ДПФ использовать БПФ, то получим обратное быстрое преобразование Фурье (ОБПФ). При этом для выполнения комплексного сопряжения необходимо лишь поменять знак перед мнимой частью спектра до вызова функции БПФ и результата после БПФ.

Алгоритм БПФ по основанию два с прореживанием по времени

Разделение исходной последовательности прореживанием по времени

Прореживание по времени заключается в разделении исходной
последовательности	s n	,	n 0...N 1 ,		на две последовательности
половинной длительности			s0 m и	s1 m	, m 0... N / 2	1 ,	таких что
s0 m s 2m , а s1	m s		2m 1 .	Последовательность		s0 m	содержит

отсчеты с четными индексами, а s1 m — с нечетными. Прореживание по времени для N 8 наглядно представлено на рисунке 15.

Рисунок 15. Прореживание по времени для N 8

Процедура объединения

Рассмотрим ДПФ прореженного по времени сигнала:

			N	1				N	1
		2		1			2		1
		2					2
		S k s			2m WN 2mk s 2m 1 WN 2m 1 k
			m 0					m 0
N	1					N	1
2	1					2	1
2			2mk		k	2			2mk
			2mk		k				2mk	, k 0...N 1.	(40)
s 2m WN					WN	s 2m 1 WN				, k 0...N 1.	(40)
m 0						m 0

Если рассмотреть только первую половину ДПФ S k для индексов k 0... N / 2 1 , а также учесть что

				2		j	2	mk
			j	2	2mk
	2mk						N /2			mk
W		e		N		e			W
W		e		N		e			W

N									N /2

тогда (40) преобразуется к виду:

(41)

N /2

N 1

, k 0...

2m W mk W k

2m 1 W mk S

W k S

m 0

, (42)

где

			N	1
			2	1				N
	0							N

S		k			s		N /2
S		k			s	2m W mk , k 0...		2
			m 0					2
			m 0

;

S	k
1

	N	1
	2

	s 2m
	m 0


1 W mk
	N /2

N m

/ 2 точечные0... N / 2 1

ДПФ прореженных последовательностей соответственно.

s	m
0

и s1 m

Таким образом, прореживание по времени можно считать алгоритмом

разделения последовательности на две половинной длительности. Первая
половина ДПФ есть сумма ДПФ	S0 k «четной» последовательности s0	m
и ДПФ S1 k «нечетной» последовательности s1 m , умноженного		на
k	.
поворачивающие множители WN	.

Проанализируем

теперь

вторую

половину

ДПФ

S k

k 0... N / 2 1:

2m 1

2 ,k 0...

2m W

2m 1 W

m 0

2m k

Рассмотрим более подробно поворачивающие множители

для

(43)

2m k

2mk

N /2

Аналогично можно упростить W

2m 1 k

2 :

2m 1

2mk

2 W

N /2

Тогда выражение (43) с учетом (44) и (45) принимает вид:

S k

2m W

W k

2m 1 W mk

W k S

N /2

N 1

m 0

k 0...

(44)

(45)

(46)

Используя выражение для первой (42)и второй (46)половин ДПФ, окончательно можно записать процедуру объединения как:

S k S

,k 0...

S k

k WN

k ,k 0...

(47)

(48)

Граф «бабочка»
Выражение (48)			объединяет два N / 2 точечных ДПФ S0 k и S1 k ,
k 0... N / 2 1	,		прореженных		сигналов	половинной длительности
s0 m s 2m и	s1	m s 2m 1		,	m 0... N / 2	1 , в результирующее N
точечное ДПФ S	k	,	k 0...N 1	исходного сигнала.

Графически процесс объединения представлен на рисунке 16.

Рисунок 16. Граф «бабочка» Из-за специфической формы графа он получил название «бабочка».

Данная процедура объединения является основной при построении алгоритмов БПФ по основанию два.

На рисунке 17 представлен граф алгоритма БПФ в соответствии с (12) для N 8 .

Рисунок 17. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени для

N 8

Полный граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени. Двоично-инверсная перестановка

	Выражение (48) представляет собой процедуру объединения для расчета
N	точечного ДПФ X k ,				k 0...N 1 через два N					/ 2 точечных ДПФ X 0	k
и	X1	k	,	k 0... N	/ 2	1	четной	и		нечетной прореженных
последовательностей x 2m						и x 2m 1 , m 0... N				/ 2 1 .
	Такую же процедуру можно применить для расчета каждого из N / 2
точечных ДПФ X 0 k и X1						k через два N / 4			точечных ДПФ. Тогда для
N 2L		можно		произвести		L 1	этап	деления		последовательности	на

«четную» и «нечетную» и после этого производить объединение спектра за L этапов. В результате мы получим полный граф алгоритма БПФ. В качестве примера на рисунке 18 приведен полный граф БПФ с прореживанием по времени для N 8 .

Рисунок 18. Граф алгоритма с прореживанием по времени для N 8

На первом этапе отсчеты входного сигнала переставляются местами и исходная последовательность делится на «четную» и «нечетную» последовательности. Потом «четная» и «нечетная» последовательности в свою очередь делятся на «четную» и «нечетную» последовательности.

Данная процедура называется двоично-инверсной перестановкой, так можно выполнить перенумерацию отсчетов переписав номер отсчета в двоичной системе счисления в обратном направлении.

Например x 4 имеет индекс в десятичной системе счисления 410 1002 , если же x 4 переписать справа налево то получим 0012 , то есть x 4 после разделения на «четные-нечетные» перед первой операцией «бабочка» встанет на место отсчета x 1 , который в свою очередь встанет на место x 4 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Цифровая обработка сигналов

#
22.04.20242.25 Mб0LR_TsOS_1_LDS.pdf
#
22.04.20242.74 Mб0LR_TsOS_2_BIKh.pdf
#
22.04.20241.52 Mб0LR_TsOS_3_BIKh_K.pdf
#
22.04.20241.09 Mб1LR_TsOS_4_BIKh_IKh.pdf
#
22.04.20242.72 Mб0LR_TsOS_5_KIKh_KAJZER.pdf
#
22.04.20242.39 Mб0LR_TsOS_6_DPF.pdf
#
22.04.2024124.87 Кб0TsOS_7_laba.mcdx
#
22.04.2024110.44 Кб0TsOS_7_laba.xmcd
#
22.04.2024135.11 Кб0TsOS_VOPROSY_1.docx
#
22.04.20247.83 Кб0лаба6.mcdx
#
22.04.20245.85 Кб0лаба7.mcdx