Переходные процессы и свободные колебания в линейных цепях

Впредыдущихтемахрассматривалисьпроцессы,когдапредполагалось,что на цепь воздействует синусоидальная электродвижущая сила (э.д.с.) или любое другое периодическое воздействие. При анализе цепей постоянного тока мы считаем цепь давно подключенной к источнику постоянной Э..Д.С. все индуктивности я емкости заряженными. Рассмотренные выше режимы линейных электрических цепей, получили наименование установившиеся режимов.

Установившийся режим в электрической цепи - это режим, при которой э.д.с., напряжения и токи в цепи является постоянными или периодическими.

Для установившегося режима характерны: постоянный запас энергии, отсутствие токов, напряжений вцепи.В одной и той же цепивозможны отличные друг от друга установившиеся режимы в различные промежутки времени.

Переходным процессом, называется электромагнитный процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Переходные процессы называется коммутацией в цели или осуществлением питания цепи, от источника, энергия которого изменяется скачком (идеальный случай). Эти процессы представляют собой переход энергетического состояния от до коммутационного режима к после коммутационному режиму.

Рассмотрим для примера цепь, состоящую из колебательного контура и источника Э.Д.С. (рис.8.1).

До момента замыкания ключа «К» (t=0) в цепи, состоящей из источника э.д.с. и колебательного контура, будет существовать установившийся режим.

Напряжения на элементах цеп R, L и С равны нулю, и токи в ветвях ее отсутствуют (см. рис.8.1). Запас энергии, которым обладает колебательный контур, равен нулю.

В момент замыкания ключа "К" (t= 0) в цепи появляется си нусоидальный ток i , а в контуре - iк (при условии, что источник э.д.с.- синусоидальный e=Emcos ω t (рис.8.2).Однакотокконтурасвоегостационарного(максимального)значения достигает не сразу, а через некоторое время t1.

Если строго подойти к рассмотрению данного вопроса, то время t± должно быть бесконечно большим. По истечении такого времени в цепи будет существовать новый установившийся режим. Этот режим характеризуется промежутком времени от t1 до t2, длительностью t2 -t1 (см. рис. 8.2). В цепи имеется некоторый запас энергии (в виде энергии электрических и магнитных полей в элементах L и C). В момент времени t2 ключ «К» отключает колебательный контур от источника э.д.с. Однако энергия, запасенная реактивными элементами, не исчезает мгновенно. В цепи будет иметь место переходный процесс, в течение которого запасенная контуром энергия постепенно рассеивается на активных элементах за промежуток времени от t2 до t3 . Колебания, которые возникают в пассивных электрических цепях при отсутствии внешнего воздействия (при отключении источника), называются свободными колебаниями.

Как уже говорилось, для завершения переходного и наступления нового установившегося процесса теоретически требуется бесконечно большое время. Однако на практике время переходного процесса определяется небольшим интервалом времени по истечении которого токи и напряжения приближаются к стационарным (установившимся) значениям настолько близко , что разница оказывается практически неощутимой.

В радиотехнических цепях, не содержащих элементов, способных накапливать электромагнитную энергию (L,C), переходные процессы протекают мгновенно (длительность переходного процесса равна нулю).

Переходные процессы в электрических и радиотехнических цепях в одних случаях нежелательны и опасны, а в других, наоборот, представляют собой нормальный и даже необходимый режим работы цепи. Поэтому изучение переходных процессов весьма важно для:

•установления деформирования по форме и амплитуде сигналов при прохождении их через усилители, фильтры и другие устройства;

•выявления превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося переходного процесса.

Общая характеристика методов анализа линейных цепей

Методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях условно можно разделить на две категории: прямые и суперпозиционные. Такое делениепроизводитсяпостепенииспользованиявтомилииномметодепринципа суперпозиции.

Обычно задача анализа линейных преобразований сигнала той или иной цепью формулируется так. Дана линейная цепь, параметры которой, сигнал s(t), воздействующий на вход цепи, известны, и заданы начальные условия. Необходимоопределитьсигналx(t)навыходецепи(т.е.определитьреакциюцепи на внешнее воздействие s(t) с учетом начальных условий). Существо прямых методов анализа сводится к составлению и решению дифференциального уравнения цепи относительно реакции x(t). При этом внешнее воздействие s(t) рассматривается в целом, как единое и неделимое. Решение дифференциального уравнения цепи может быть осуществлено как непосредственно, так и в операторной форме. Поэтому к прямым методам анализа относятся: метод дифференциальных уравнений (классический метод) и операторный. Операторный метод удобен тем, что позволяет вычислить при любых начальных условиях изображение выходного сигнала x(p) путем решения алгебраических уравнений. А реакция цепи x(t) может быть найдена по его изображению с помощью известных формул, таблиц, теорем.

Суперпозиционные методы анализа основаны на представлении внешнего воздействия в виде суммы элементарных однотипных (стандартных) составляющих, например:

S(t)∑s (t)

i

Стандартными сигналами в радиотехнике считаются синусоидальный ток или напряжение, единичная функция, дельта-функция. Отклик цепи x(t) вычисляется как сумма реакций (откликов) цепи на каждое элементарное воздействие

x(t) = ∑xi (t)

i

К суперпозиционным методам анализа относятся методы расчета реакции цепи: спектральный и временной. Выбор наилучшего метода анализа зависит от вида цепи, характере внешнего воздействия и интересующих нас параметров выходного сигнала.

Метод дифференциальных уравнений.

Математическое описание процессов, происходящих в цепи в любой момент времени, производится спомощью уравнений электрического равновесия уравнений состояния). Независимо от режима в цепи (переходного или установившегося) в основе алгебраического или дифференциального уравнения лежат всегда законы Кирхгофа. Мы уже широко пользовались алгебраическими уравнениями, составленными на основе законов Кирхгофа, для описания установившихся процессов в линейных цепях. Для описания переходных процессов необходимо использовать мгновенные значения электрических величин.Таккаконисвязаныдифференциальнымизависимостями,тоуравнения, описывающие переходные процессы, являются дифференциальными. Если рассматриваемая электрическая цепь линейна и имеет постоянные

сосредоточенные параметры, то процессы в ней описываются линейными дифференциальными уравнениями.

В самом общем виде линейное дифференциальное уравнение записывается

так:

Anx(n)(t)+ An-1x(n-1)(t)+...+ A1xi(t)+a0x(t)= Bms(m)(t)+ Bn-1s(m-1)(t)+...+ B1xi(t)+b0s(t).

где x(t)-реакция цепи (отклик на внешний сигнал), s(t)-внешний сигнал (воздействие),

x(n)(t) и s(m)(t)-производные n-го и m-го порядков, соответственно реакции цепи и внешнего воздействия.

Решение дифференциального уравнения (8.1) имеет вид:

x(t)=x0(t)+ xr(t).

где x0(t)-общее решение уравнения (8.1) без правой части. Xr(t)- частное решение уравнения с правой частью.

Такой метод исследования переходных процессов называется классическим. Достоинством его является простота и удобство физической трактовки полученного решения, если порядок цепи не выше второго.

Энергический запас цепи и начальные условия

Если электрическая цепь до момента подключения ее к источнику имеет некоторый запас энергии, то это не влияет на вид дифференциального уравнения цепи. Например, цепь имеет предварительный запас энергии в электрическом поле конденсатора (рис. 8.3.), до момента включения э.д.с. t=0, uс= Uсo.

Уравнение, составленное по второмузаконуКирхгофа в момент включения э.д.с. в цепь,

Продифференцировав правую и левую часть получим:

Первоначальный запас энергии вцепи учитывается при решении уравнения в виде соответствующей постоянной интегрирования.

Решение уравнения цепи:

содержит постоянные интегрирования Ak. Определяют их по начальным значениям величины x(t) и ее производных до n-1-го порядка. Кроме того, первоначальный запас энергии в элементах цепи учитывается при постановке задачи в виде начальных условий. Под начальными условиями понимают

значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях цепи до начала переходного процесса, т.е. до коммутации. Начальные условия, при которых запас энергии в реактивных элементах цепи равен нулю, называют нулевыми начальными условиями, т.е. при t=0 iL(0)=0, uc(0)=0. При расчете переходных процессов в электрических цепях должны быть известны (заданы или дополнительно определены) начальные значения электрических величин. Начальными значениями величин называют значения всех электрических величин и их производных непосредственно после коммутации, т.е. в момент времени t=o. Для определения начальных значений необходимы законы коммутации, устанавливающие непрерывность тока в индуктивности и напряжения на емкости в окрестности момента коммутации.

Первый закон коммутации.

В ветви содержащей индуктивность, скачок тока невозможен. Математически закон имеет вид:

il (t −0) = iL (t +0)

Второй закон коммутации.

В ветви, содержащей емкость, скачок напряжения на емкости невозможен. Математическая запись второго закона коммутации следующая:

uc (t −0) = uc (t +0).

Законы коммутации являются частными случаями более общих законов: сохранения потокосцеплений и сохранения заряда.

Если уравнение цепи имеет порядок n, то необходимо определить и n постоянных Ak, чтобы получить решение этого уравнения в виде формулы (8.2.). необходимое число уравнений можно получить, продифференцировав n-1 раз это решение. Начальные значения определяют, рассматривая исходную систему уравнений Кирхгофа при t=0+, в которой начальные значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях известны на основе законов коммутации.

Если решение имеет вид,

i (t − 0) = i (t + 0)

………………………………………………………..

…………………………………………………….

x(n−1)(0+ ) = ∑n αkn−1 Ak + xпр(n−1)(0+ )

k =1

Зная левые части уравнений, являющихся начальными значениями, можно определить Ak.

Принужденный и свободный процессы

Решение дифференциального уравнения можно представить в виде общего и частного решений:

x(t)=xобщ(t)+ xпр(t),

В теории радиотехнических цепей они называются свободной и принужденной составляющимися решения

x(t)= xсв(t)+ xпр(t),(8.3)

где xсв(t)= xобщ(t). Xпр(t)= xчаст(t)

В цепи, содержащей реактивные элементы, энергия, подводимая от источника, частично запасается в реактивных элементах. При отключении цепи от источника энергии реактивные элементы начнут отдавать накопленную энергиюактивнымсопротивлениямцепи,гдеонапревратитсявтеплоирассеется.

Процессы, происходящие в цепи за счет запаса энергии реактивных элементов после отключения цепи от источника энергии, называют свободными. Они описываются однородными дифференциальными уравнениями вида:

an x(n ) + an−1x(n−1) +... + a1x′+ a0 x = 0

Решение такого уравнения будет определяться характеристическим уравнением

anα n + an −1α n −1 + ... + a1α + a0 = 0

Корни характеристического уравнения (ak) могут быть действительными, комплексными, простыми и кратными. Для линейной цепи коэффициенты ai определяются схемой цепи и параметрами ее элементов (L,R и С), которые для линейной цепи всегда положительны. Поэтому и коэффициенты ai >0. Для пассивной цепи корни характеристического уравнения будут отрицательными, действительными или комплексными с отрицательной действительной частью ak

<0 или Re{ ak }<0,

Если нет кратных корней, то

где Ak –постоянные интегрирования.

Если среди n-корней характеристического уравнения будут t- корней кратных, например, корню, a1, то

xсв (t) = ( A1 + A2t + A3t2 +... + Aiti −1 )eα1t

Принужденный режим работы цепи может рассматриваться как режим, навязанный цепи постоянно воздействующим на цепь источником энергии. Характер токов и напряжений в цепи в

принужденном режиме будет определяться как самой цепью (ее схемой и параметрами элементов), так и внешним воздействием.

Решение неоднородного дифференциального уравнения цепи с учетом выражения (8.4.) имеет вид:

x(t) = ∑n Akeαk t + xпр(t)....

k =1

Так как для линейной цепи корни характеристического уравнения отрицательны или имеют отрицательную вещественную часть (ak <0, или Re{ ak }<0), то lim xсв (t)=0, т.е. свободные процессы в цепи затухают. Следовательно, решение неоднородного дифференциального уравнения линейной цепи со временем стремится к xпр (t)

lim x(t) = xпр (t)

t →∞

Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно много. Принужденная составляющая решения xпр (t) является решением x(t) уравнения цепи для t=∞. Это обстоятельство позволяет в случае воздействий, не зависящих от времени и изменяющихся по гармоническому закону, определять xпр (t) обычными методами.

Расчет реакции линейной цепи.

Если цепь не имеет первоначального запаса энергии, то результирующее дифференциальное уравнение можно получить, не составляя исходной системы уравнений Кирхгофа. (см. 8.4.). Имеется более простой и удобный способ.

Пусть электрическая цепь имеет комплексный коэффициент передачи K(iω ). Поскольку цепь линейна, то отклик ее:

x(t) = K ( jω)s(t) = K ( jω)Sme jωt

Если подставить K(iw) smeiwt-отклик и smeiw –воздействие (в комплексной форме) в дифференциальное уравнение цепи (8.1).

an x(n )(t) + an−1 x(n−1)(t) +... + a1 x(t) + a0 x(t) =

= bm S (m)(t)+ bm−1S (m−1)(t) +... + b1S′(t) + b0 S(t),

То получим тождество

K( jω)Sme jωt [an ( jω)n +an−1 ( jω)n−1 +... +a1 jω +a0 ] =

= Sme jωt [bm ( jω)m +bm−1 ( jω)m−1 +... +b1 jω +b0 ]

Множитель (jω )n-получен путем n-кратного дифференцирования ejwt. Сократив правую и левую части на Smejwt и выразив K(jω ), получим

K ( jω) = bm ( jω)m +bm−1 ( jω)m−1 +...+b1 jω +b0 (8.5) an ( jω)n +an−1 ( jω)n−1 +...+a1 jω +a0

Сопоставив выражения (8.1.) и (8.5.), сделаем вывод, что коэффициенты ak и bk в обоих выражениях соответственно одинаковы.

(jw)k-символ производной k-го порядка. Следовательно, по знаменателю K(j ω )- правую часть дифференциального уравнения цепи для любого воздействия S(t). Таким образом, для составления дифференциального уравнения цепи

− t

x(t) ={xпр (t) +[x(0+ ) − xпр (0+ )]e τ }1(t)

Для нахождения этого решения необходимо: -по заданному воздействию s(t) найти xпр(t); -найти xпр(0+ )= xпр(t)|t=0;

-определить x(0+ ) c использованием законов коммутации, т.е.

uc (0−) =uc (0+); iL (0−) = iL (0+ ).

Расчет принужденных колебаний. Заметим, что в выражении

K ( jω) = bm ( jω)m +bm−1( jω)m−1 +... +b1 jω +b0 an ( jω)n + an−1( jω)n−1 +... + a1 jω + a0

jω -соответствует символу дифференцирования. Иногда обозначают jω=D (оператор дифференцирования)

K (D) = bm Dm + bm −1Dm −1 + ... + b1D + b0 an Dn + an −1Dn −1 + ... + a1D + a0

Пусть S(t)=A, т.е. сигнал постоянный. Можно записать

A= Ae−βt |β =0,

Вреальных cистемах всегда n>=m. Это положение справедливо для цепей любого порядка.

Например, дана цепь первого порядка (рис.8.6.)

Э.д.с. e(t)=E*e-βt , в индуктивности течет ток l0 .Требуется определить ток в цепи iL(t) после замыкания ключа.

Если

e(t)=E* e-βt *l(t),

то можно перейти к схеме без ключа (рис.8.7).

На этом основании:

iпр (t) = R −1βL Ee−βt

2) Находим

3)Вычисляем i(0+)

Вмомент t=0+ эта цепь будет представлять сопротивление, равное бесконечности, но в ней течет ток I0 (начальное условие). Значит, i(0+)= I0. Тогда

всоответствии с (8.7.)

Такая методика расчета пригодна для решения многих задач. Порядок расчета реакции линейной цепи.

В соответствии с изложенным выше расчет переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:

1)Производится расчет режима до коммутации, определяются значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Далее на основании законов коммутации находятся независимые начальные условия, т.е. iL(0) и uc(0).

2)Составляется система дифференциальных уравнений на основании закона Кирхгофа. Решая эту систему относительно неизвестной x(t), получают неоднородное линейное дифференциальное уравнение:

3) Выводится свободная составляющая xcc(t), для чего необходимо найти n корней характеристического уравнения

∑n a3αn = 0

x=1