Необходимость определения постоянных интегрирования из начальных условий в ряде случаев осложняют расчет переходных процессов классическим методом решения дифференциальных уравнений цепи. Более удобным является операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений, при котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения и для нахождения неизвестных функции не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования.

Метод заключается в том, что из области функции действительного переменного решение переносится в область функций комплексного переменного, с более простыми операциями. Вместо дифференциальных уравнений получаются алгебраические, решающиеся проще. Затем полученное решение опять переводится в область функций действительного переменного.

Из курса математического анализа известно, что если функция f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл:

∞

F ( p) = ∫ f (t)e− pt dt

0

сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного p=d+jw. Выражение (8.8) представляет собой прямое преобразование Лапласа. Функция f(t) называется оригиналом, а функция F(p)- изображением по Лапласу. Записывается это так: f(t)/F(p), а функция f(t) соответствует изображению F(p), или L{f(t)}=F(p)

По известному изображению можно найти оригинал при помощи обратного преобразования Лапласа:

Приведем некоторые известные из курса математики теоремы. На которых будет базироваться дальнейшее изложение.

1.Теорема линейности

Если С1, С2,……….., Сn-постоянные, то

При С1= С2 =…..= Сn =I, получаем теорему аддитивности, т.е. изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений.

2. Теорема дифференцирования оригинала.

8.Изображение дельта - функции и функции включения (единичной функции).

δ(t) =1; A1(t) ÷ A 1p

9.Значение оригинала при t→0 и t→∞ определяется соответственно значением изображения, умноженного на оператор p при p→∞ и t→0, т.е.

f (0) = lim pf ( p),

p →∞

f (∞) = lim pf ( p),

p →0

Второе верно, если f(t) при t→∞ имеет определенный предел.

При анализе цепи операторным методом задача перехода от изображения искомой величины к оригиналу решается по одному из путей;

-таблицам операторных соотношений (табл.1.); -различным теоремам операционного исчисления (линейности,

интегрирования, запаздывания, смещения и др.); -теоремам разложения, позволяющей получить оригинал непосредственно

из изображения, если изображение имеет вид правильной дроби:

S ( p) = BA(( pp)) .

Порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя (m<=n). Если m>n, то можно выделить из дроби целую часть (т.е. разделить числитель на знаменатель), и в остатке получим правильную дробь. При отсутствии кратных корней оригинал:

S(t) = ∑n A( px ) e px t1(t),

x=1B( px )

где px- корни уравнения B(p)=0

В том случае, если один из корней уравнения B(p) равен нулю, то теорема разложения после преобразования записывается так:

где pk-корни уравнения А(p)=0 n-число этих корней. Таблица 8.1

Следует учесть, что при наличии нулевого корня изображение функции

следует рассматривать как отношение полиномов:

F ( p) = A( p) pB( p)

Таким образом, получено алгебраическое уравнение относительно неизвестной I(p). Начальные условия учтены в обобщенной операторной э.д.с., стоящей в правой части уравнения.

Для более сложных схем удобно пользоваться схемой цепи в операторной форме, применяя следующий прием.

Если в цепи (рис.8.10,а) имеются емкости с начальным запасом энергии (в виде напряжения uc(0)), то в операторной форме она изображается схемой замещения (рис. 8.10, б). Исходя из схемы замещения, записываем:

uc (t ) = jω1C i(t ) + uc (0),

Рис.8.10.

Изображение эквивалентной э.д.с. учитывается в правой части операторного уравнения со знаком «минус».

Аналогичным образом для индуктивности с запасом энергии (рис.8.11, а) используется схема замещения в виде пустой индуктивности и генератора э.д.с. (рис.8.11,б).Изображениегенератораэ.д.с.учитываетсявправойчастиуравнения со знаком «плюс»

Рис.8.11.

Тогда цепь (см. рис. 8.9) для t=0 можно представить в операторной форме

(рис.8.12).

Рис.8.12.

Применив закон Ома и второй закон Кирхгофа, запишем операторное уравнение

I ( p)R + pi( p)L + I ( p) pC1 = E( p) + LiL (0) −uc p(0) = E( p)

Преобразовав его, получим:

p2 I ( p) + pI ( p) RL + I ( p) LC1 = pE( p) L1 .

Таким образом, операторные уравнения для контуров любой цепи можно составлять, минуя запись дифференциальных уравнений.

В левой части записываются, согласно закону Кирхгофа, изображения радений напряжения (как и при расчете цепей комплексным методом для гармонического воздействия). Вместо комплексных сопротивлений jiwL и 1/jwc используются операторные сопротивления , полученные из комплксных заменой jw на p. В правой части записывается сумма изображений действующих э.д.с., начальных напряжений на конденсаторах, деленных на p, и начальных токов в катушках , умноженных на их индуктивности. Величина

Uc(p)/p имеет знак плюс, если при обходе контура по положительному направлению имеет место переход от минуса к плюсу. Величина L*iL(0) берется со знаком плюс, если iL(0) совпадает с положительным направлением обхода.

Имеясистемуоператорныхуравнений,которыеявляютсяалгебраическими относительно изображений токов I(p) и напряжений U(p), решают эту систему обычными способами.

Например, необходимо составить эквивалентную операторную схему и найти изображения токов электрической цепи (рис.8.13) для t>=0. начальные условия заданы.

Рис.9.13.

Решение: составляется эквивалентная операторная схема (рис.8.14).

операторной форме, найдем L1(p):

K ( p) = bm pm + bm −1 pm −1 + ... + b0 (8.13) an pn + an −1 pn −1 + ... + a0

передаточная характеристика цепи. Можно получить K(p) непосредственно из K(jω ), заменив jω на p:

K ( p) = K ( jω) | jω = p (8.14)

Таким путем находится операторное уравнение для пустой цепи.

При использовании передаточной функции анализ прохождения сигнала через электрическую цепь выполняется следующим образом:

1.По заданному входному сигналу s(t) находится его изображение S(t).

2.Вычисляется передаточная характеристика

K(p)=K(jω )|j ω =p

3. Определяется изображение выходного сигнала

x(p)=K(p)*s(p)

4. По изображению x(p) определяется оригинал x(t).