Линейные цепи с обратной связью

Понятие "обратная связь" получило широкое распространение в самых различных системах—технических, экономических, биологических и др. Оно означает любой учет результата действия на ход процесса. Если проще вида обратной связи: отрицательную и положительную.

Отрицательная - это такая обратная связь, действие которой способствует возвращению системы в первоначальное невозмущенное состояние.

Положительная обратная связь, наоборот способствует удалению системы от положения равновесия выразиться, то здесь имеется ввиду влияние выходного сигнала на вход иди любое промежуточное звено цепи системы.

В радиотехнике под обратной связью понимают передачу сигнала с выхода системы на ее вход, в процессе чего в сигнал вносятся изменения, которые существенным образом могут повлиять на передаточную характеристику системы.

Различают два случая.

Так, например, если усилитель охвачен отрицательной обратной связью (00С),топриподаченаеговходвнешнеговозмущающеговоздействия(например, единичной функции) на выходе получим какой-то затухающий процесс. Усилительбудетвозвращатьсявисходноеустойчивоесостояниетембыстрее(т.е. процесс будет затухать быстрее), чем сильнее 00С. Если не а этот усилитель ввести положительную обратную связь, то переходный процесс будет затухать медленнее. А если положительная обратная связь (П0С) окажется достаточно сильной, то усилитель может после внешнего возмущенного воздействия не вернуться в исходное положение (самовозбудится, потеряет устойчивость).

Познакомимся более подробнее с принципом обратной связи. Пусть имеются два линейных четырехполюсника (усилителя), соединенных как показано на рис.10.21,с комплексными коэффициентами передачи K( jω) и β( jω) .

Рис.10.21

На вход усилителя K( jω) подаются два напряжения E и U β .

Поэтому

K( jω) = E +UU β (10.24)

Комплексный коэффициент передачи другого усилителя, выступавшего в рассматриваемой схеме как элемент обратной связи,

β( jω) =UUβ (10.25)

Комплексный коэффициент передачи всего устройства в целом будет

K0 ( jω) = UE

Из (10.24) и (10.25) соответственно получаем

U = K( jω)(E +U β)

U β = β( jω) U

ТогдаU = K( jω)[E + β( jω)U ]

Решаем это уравнение относительно U

U − K( jω)β( jω).U = K( jω) E,

Полученное уравнение является основанием для систем с обратной связью.

K0 ( jω) называют общим комплексным коэффициентом передачи или

комплексным коэффициентом передачи замкнутой системы.

Произведение K ( jω) β( jω) , имеющее смысл передаточной функции

каскадного соединения четырехполюсников, называется комплексным коэффициентом передачи разомкнутой системы и обозначается K p ( jω) .

Передаточную функцию системы в операторной форме получим, заменивши jω на p :

Изменяяβ( jω) , можно существенным образом влиять на комплексный

коэффициентом передачи системы.

Сопоставляя K0 ( jω) с K( jω) , определим знак обратной связи, т.е.

установим, положительная она иди отрицательная.

Если на каком-нибудь частоте или диапазоне частот K0 (ω) < K(ω) , т.е.

введение обратной связи приводит к уменьшении усиления системы, то обратная связь отрицательная.

Если же наоборот, т.е. K0 (ω) > K(ω) , то обратная связь -положительная.

Вконечномитогевидсвязибудетзависетьоткомплексногокоэффициента передачи элемента связи β( jω) , его модуля (АЧХ) и знака (ФЧХ).

большим, т.е. система становится неустойчивой, и для ее изучения применяются иные метода. Полученные соотношения относятся к стационарным режимам и не характеризует случай неустойчивого состояния системы.

Понятие устойчивости линейной системы

Устойчивость линейной системы есть ее внутреннее качество, не зависящее от вида внешнего воздействия.

Система или цепь устойчива, если ее реакция на ограниченное воздействие ограничена.

Пусть s(t) - внешнеевоздействие(входноевоздействие)любого вида, но не

содержащее неограниченно - возрастающих составляющих.

Если x(t) содержит неограниченно возрастающие компоненты, то такая система неустойчивая. Если не содержат - устойчивая. Кроме того, если x(t) содержит незатухающие колебания, когда в s(t) таковых' нет, то система будет

неустойчива.

Чаще всего в качестве ограниченного воздействия s(t) берут единичную функцию i(t) (рис.10.22,а). На рис.10.22,б,в показаны реакции устойчивой и неустойчивой систем соответственно.

Рис.10.22

Аналитическим путем можно определить, устойчива система или нет, решив дифференциальное уравнение цепи

Его решение x(t) = хси (t) + xпр (t).

В реальных пассивных цепях xсв (t) всегда затухающее. Следовательно,

пассивные цепи всегда устойчивы. Если посмотреть все виды линейных цепей(активные и пассивные), у которых

то можно сказать, что такие цепи будут устойчивы. Но Ai epit → 0 при t → ∞ лишь в том случае, когда pi < 0 или Re{pi}< 0

pi - корни характеристического уравнения

a0 pn +a1 pn→1 +... +an→1 p +aπ = 0.

Только в этом случае свободное решение дифференциального уравнения системы xсв (t) будет затухающим, а x (t) не будет содержать бесконечно

возрастающих компонентов.

Условие xсв (t) → ∞ при t →∞ необходимое и достаточное условие

устойчивости системы.

Решать уравнение цепи не всегда удойно с точки зрения вычислительных операций. Зная передаточную функцию системы.

K( p) = A( p) B( p)

и определив ее полюса, т.е. значения p∞ при K( p) = ∞, также можно

заключить, устойчива система или нет.

Линейная система (цепь) устойчива при расположении полюсов ее передаточной функции в левой полуплоскости комплексного переменного . Так как K( p) = ∞ при B( p) = ∞, то часто ищут нули характеристического полинома

В(р) . Следовательно, если нули характеристического полинома передаточной функции лежат в левой полуплоскости, то такая цепь будет устойчива.

Например, система второго порядка описывается уравнением с характеристическим полиномом 3 p2 +2 p +1 = B( p) . Определим устойчивость

системы. Характеристическое уравнение 3 p2 +2 p +1 = 0 ,

где a0 = 3,a1 = 2,a2 =1. .

Составляем определитель Гурвица

a0 > 0

∆1 = a1 = 2 > 0

∆2 = a1 a2 −a0 a3 = 2 1−3 0 = 2 > 0.

Система устойчива. Однако не обязательно для систем первого и второго порядка пользоваться критерием Рауса-Гурвица. Необходимым и достаточным условием устойчивости систем первого и второго порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это положение можно принять как следствие критерия Рауса-Гурвица. Доказательство его несложно.

Для систем более высокого порядка, т.е. третьего и выше , необходимо применять критерий Рауса-Гурвица согласно его полной формулировке. В этом случае положительность всех коэффициентов характеристического уравнения будет являться лишь необходимым условием устойчивости.

Например, характеристическое уравнение 3 p2 + 2 p −1 = 0 . Система неустойчива. Критерий Рауса-Гурвица не совсем удобен, а именно:

1.Приходится иметь дело с передаточной функцией цепи (системы) в целом, а этосложно, особенно если цепь высокого порядка.

2.Недостаточно нагляден и не отвечает на вопрос об изменении устойчивости системы при изменении коэффициентов характеристического уравнения.

3.Не отвечает на вопрос, что необходимо сделать для повышения устойчивости системы.

Критерий устойчивости Найквиста

Прежде чем сформулировать сам критерий, необходимо уяснить понятие годографа.

Годограф (от греческого hodos - путь, движение, направление и grapho - пишу) - это кривая, представляющая собой геометрическое место концов переменного вектора, значения которого для различных частот (или в разные моменты времени в механике) отложены от общего начала. Понятие "годограф" было впервые введено английским ученым У. Гамильтоном. Годограф дает наглядное представление об изменении физической величины, изображаемой переменнымвектором,взависимостиотаргумента(ω,t идр.).Понятиегодографе

можно проиллюстрировать примере годографа скорости точки (рис.10.23).

Понятие годографа можно ввести не только для реальных физических векторных величин,но и для комплексных переменных величин, изображаемых в виде векторов на комплексной плоскости.

Рис.10.23

В радиоэлектронике и автоматике широко используется годограф вектора, изображающего комплексный коэффициент передачи цепи K( jω) на

комплексной плоскости.

Комплексный коэффициент передачи цепи можно представить

K( jω) = P(ω) + jQ(ω) = K(ω)eiϕ ,

где P(ω) - вещественная часть K( jω) Q(ω) - мнимая часть K( jω) .

При изменении частоты вектора, вращаясь в плоскости Q(ω) , P(ω) , опишет годограф (рис.10.24).

Годограф вектора комплексного коэффициента передачи K( jω) называют

амплитудно-фазовой характеристикой цепи (АФХ).

АФХ объединяет в себе как АЧХ , так и ФЧХ цепи и полностью характеризует цепь.

Рассмотрев понятие годографа и АФХ, переходим к формулировке критерия Найквиста.

Критерий Найквиста базируется на анализе комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы или передаточной характеристики цепи и применяется для анализа устойчивости цепей с обратной связью

Для замкнутой системы комплексный коэффициент передачи имеет вид

K p ( p) = BA(( pp)) .

В реальных системах степень полинома A( p) больше наивысшей степени полинома B( p) . Поэтому при p → ∞K p ( p) = Nmp −n стремится к нулю.

Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости p преобразуется в точку, лежащую в начале координат плоскости

K p ( p) . Все точки, лежащие на правой полуплоскости р , преобразуются в точки,

охваченные годографом на плоскости К(р) .

Из этого следует: для устойчивости замкнутой цепи с обратной связью необходимо достаточно, чтобы передаточная функции разомкнутой системы K p ( p) не обращалась в единицу.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста можно сформулироватьтак:еслигодограф(АФХ)комплексногокоэффициентапередачи разомкнутойсистемынеохватываетточку (1; j0) , топризамкнутойцепиобратной

связи система устойчива. В противном случае система не устойчива.

Таким образом, для определения устойчивости системы, охваченной обратной связью, необходимо:

- представить коэффициент передачи разомкнутой системы в виде

K p ( jω) = K( jω) β( jω) = P(ω) + jQ(ω);

- построить график этой функции при изменении частоты от +∞ через нуль до −∞;

- по виду годографа сделать вывод об устойчивости замкнутой системы. На рис.10.26,а,б приведены годографы соответственно .для неустойчивой

и устойчивой систем.

Рис.10.26

Практически можно строить участок годографа при изменении частоты от 0 до ∞, так как при изменении частоты от - ∞до 0 получается второй участок годографа, симметричный первому относительно действительной оси, ввиду четности P(ω) и нечетности Q(ω) .

Для сложных систем форма годографа бывает настолько сложной, что по ней трудно судить о тем, охватывается или не охватывается точка (1, j 0 )

годографом. В этом случае необходимо сосчитать число пересечений оси P(ω) на

участке ( 1, ∞ ).

Для устойчивости системы необходимо,чтобы годографлибо непересекал этотучасток,либопересекалеговположительномиотрицательномнаправлениях (сверху вниз и наоборот) одинаковое количество раз.