модуль 2
.3.docФИЗИКА
Модуль 2.3
5 Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Формула (1.17) является интегральной формой теоремы Гаусса. Найдем дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда и изменениями напряженности в окрестности данной точки пространства.
Для этого представим сначала заряд в объеме , охватываемом замкнутой поверхностью , как , где - средняя по объему значение объемной плотности заряда.
Затем подставим это выражение в уравнение (1.17) и разделим обе части его на . В результате получим:
(1.27)
Теперь устремим объем к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно, что будет стремиться к значению в данной точке.
Предел отношения к при называется дивергенцией поля и обозначается . Таким образом, по определению:
(1.28)
Дивергенция происходит от латинского слова divergentia – расхождение. Аналогично (1.28) определяется дивергенция любого другого векторного поля в данной точке.
Отсюда
- (1.28а)
- теорема Остраградского – Гаусса или теорема о дивергенции. Она справедлива для любого векторного поля.
Чтобы получить выражение для дивергенции поля , надо согласно (1.28) взять бесконечно малый объем , определить поток вектора сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Например, в декартовой системе координат выражение для дивергенции будет равно:
(1.29)
Итак, мы выяснили, что при в выражении (1.27) его правая часть стремится к , а левая – к .
Следовательно, мы приходим к формуле:
, (1.30)
которая выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме: дивергенция вектора в некоторой точке электростатического поля равна объемной плотности заряда в той же точке, деленной на .
Написание многих формул значительно упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор («набла»). В декартовых координатах он имеет вид:
, (1.31)
где , , - орты осей , , . Если вектор умножить скалярно на вектор , то получим:
,
а это есть не что иное, как , согласно (1.29). Таким образом, , и теорема Гаусса (1.30) будет иметь вид:
(1.32)
В тех точках поля, где дивергенция положительна, мы имеем источники поля (положительные заряды), а тех точках, где она отрицательна – стоки (отрицательные заряды). Линии вектора выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются.
6 Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора
Если задан вектор , то можно говорить, что нам известно электростатическое поле.
На точечный заряд , находящийся в электростатическом поле , действует сила . При перемещении заряда в поле эта сила совершает работу:
. (1.33)
Докажем, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле зависит лишь от его начального и конечного положений и не зависит от пути движения.
Доказательство: Пусть точечный заряд находится в поле неподвижного точечного заряда и перемещается вдоль изображенной на рис. 19 траектории из положения 1 в положение 2. Найдем работу , совершаемую при этом над зарядом силами поля. На заряд действует кулоновская сила:
, (1.34)
где - напряженность поля, создаваемого зарядом . Эта сила является центральной, т.к. ее модуль зависит только от расстояния до силового поля. Элементарная работа силы равна:
,
где - перемещение заряда .
Из рис. 19 следует, что . С учетом этого для работы 1-2 получается выражение:
(1.35)
Полученный результат означает, что работа силы (1.34) не зависит от пути перемещения, а зависит лишь от начального и конечного положений заряда (от и ).
Рис. 19
Это результат можно было предвидеть, поскольку, как было показано в механике, центральные силы являются потенциальными. Работа потенциальных сил на любом замкнутом пути равна нулю: .
Силовое поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.
В случае электростатического поле:
, отсюда
(1.36)
Интегрирование по замкнутому пути называется циркуляцией вектора и обозначается .
Итак, циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нулю – это есть теорема о циркуляции вектора , а также условие потенциальности электростатического поля.
7 Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Потенциал
Работа потенциальных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии:
.
Из формулы (1.35) следует, что:
Приравняв эти два соотношения, будем иметь выражение для потенциальной энергии, которой обладает заряд в поле заряда :
Значение константы обычно выбирается так, чтобы при удалении заряда от заряда на бесконечность (т.е. при ) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии
. (1.37)
Скалярная величина
(1.38)
называется потенциалом поля в данной точке, он численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке единичный положительный заряд.
Из формулы (1.37) следует, что потенциал поля точечного заряда определяется выражением:
, (1.39)
где - расстояние от заряда до данной точки поля.
Из определения потенциала (1.38) ясно, что любой заряд , находящийся в поле с потенциалом , обладает потенциальной энергией:
(1.40)
Следовательно, работу сил поля над зарядом можно выразить через разность потенциалов:
(1.41)
Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению заряда на убыль потенциала , которая называется разностью потенциалов.
Таким образом, разность потенциалов равна:
(1.42)
Если заряд из точки с потенциалом удаляется на бесконечность, где , работа сил поля равна:
=.
Отсюда следует второе определение потенциала: потенциал
численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из точки на бесконечность.
Принцип суперпозиции потенциала
Как мы выяснили ранее, потенциал – это энергетическая характеристика электростатического поля, скалярная величина.
Следовательно, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
, (1.43)
где - потенциал поля, которое создает заряд в данной точке.
За единицу потенциала, называемую вольтом, принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного одному кулону, нужно совершить работу в один джоуль:
1 Дж = 1 Кл · 1 В. Отсюда
1 В= (1.44)
В физике часто используют единицу работы и энергии – электронвольт (эВ).
Он равен работе, совершаемой силами поля над элементарным зарядом при прохождении им разности потенциалов в один вольт:
1 эВ = 1,6 · 10-19 Кл · 1 В = 1,6 · 10-19 Дж (1.45)
1кэВ = 103 эВ, 1 МэВ = 106 эВ, 1 ГэВ = 109 эВ.
Тесты
1. Работа, необходимая для перемещения единичного положительного заряда из данной точки электростатического поля в бесконечность, называется:
1.потенциальной энергией электрического поля 2. работой сил сопротивления 3. работой полярных сил 4.потенциалом электрического поля 5. работой сил упругости.
2. Работу по перемещению заряда q в электрическом поле можно вычислить по формуле:
1. 2. 3. 4.
3. Работа сил поля точечного заряда по перемещению в этом поле заряда с расстояния до (от заряда ) может быть определена следующим образом (указать неверный ответ):
1. 2. 3. ;
4. 5. все перечисленные варианты правильные.
4. Скорость электрона увеличилась от 106 м/с до 3 106 м/с. Масса электрона 9,1 10-31 кг. Разность потенциалов начальной и конечной точек пути равна
1. 22,75 В 2. 11,375 В 3. -22,75 В 4. -11,375 В
5. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда -2 Кл из точки поля с потенциалом 80 В в точку поля с потенциалом 40 В равна:
1.(-40) Дж 2-(-20) Дж 3.(-80) Дж 4.80 Дж 5. 40 Дж.
6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по замкнутому контуруравна:
1. 2. 3. 4. ,
где N- поток вектора напряженности E.
7. Определить кинетическую энергию заряда 1.41 Кл. , который из состояния покоя прошел разность потенциалов 500 В.
1. 1410 Дж. 2. 705 Дж. 3. 352.5 Дж. 4. 2115 Дж..
8. Заряженная частица массой 0,1 г и зарядом 1 нКл проходит расстояние между двумя точками электростатического поля, разность потенциалов между которыми составляет 500 В. Определить скорость частицы в конце пути (начальную скорость принять равной нулю).
1. 0,01 м/с 2. 0,1 м/с 3. 10–5 м/с 4. 3·10–3 м/с 5. 3·10–1 м/с