Курсовик 1 сем.Мат.анализ.МТУСИ. 18.10.2012г
.pdf
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
||
|
а) lim |
x50 - 50x + 49 |
; б) lim (2x -1)x/(x2 -1) |
|
|
|
|
|
|
||
|
x®1 x100 -100x + 99 |
x®1 |
|
(x - 5). |
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = 3 |
x2 |
|||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат |
r =1 - sinj . |
4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.
5. Вычислить y(15) функции |
y = |
( |
x2 |
) |
× sin x . |
|
+ x + 1 |
3
6. Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно 1,012 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку:
r £ 625 ×10-10
ìx = 2sin3 t
ï
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке
ïîy = 2cos3 t
t = |
p |
и вычислить y¢¢ |
(x |
). |
|
||||
0 |
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: sin y = 7x + 3y . e-x2 - cos (2x)
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
. |
|
x4 |
|||
x®0 |
|
10.Известно, что (ex ¢)= ex для всех x . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду?
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|||
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x3 - x - 2x |
tg2 x |
|
|
|
|||
|
а) lim |
|
|
|
|
|
; б) lim (sin x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 x2 -1 |
|||||||||
|
x®1 |
x®p 2 |
|
|
|
|||||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = 3 x3 - 3x . |
|||||||||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат r =1 + sinj . |
4.В трапеции три стороны имеют длину a . Какую длину должна иметь четвертая сторона, чтобы площадь была максимальной?
5. |
Вычислить y(20) |
|
функции y = (x2 - x )× ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно значение |
||||||||||||||||||
|
cos 610 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
£ |
1 |
æ |
|
p |
ö3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
оценку: |
|
|
ç |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cost |
|
|||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
ïx = |
|
в точке |
|||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïy = sin t |
|
|
|||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
t = |
и вычислить y¢¢ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x4 + y4 =1. |
||||||||||||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
cos2 x |
- e-x2 |
. |
|
||||||||||||||
|
x |
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
10.В формуле Лагранжа определить значение c для функции f (x) = 4x3 - 5x2 + x - 2 на отрезке [0; 2].
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
|
||||||
|
|
ln ((2arccos x) / p ) |
; б) lim (x +1) |
|
. |
|
|
|
|
||
|
а) lim |
x+1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x®0 |
ln 1 |
+ x |
) |
x®-1+ |
|
|
|
|
||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = (x - 3) |
|
. |
|
|
||||||
x |
|||||||||||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) |
r = 2sin |
j |
. |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольшую полную поверхность.
5. |
Вычислить y(5) |
функции |
y = e-x × sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
Используя формулу Тейлора 4 - го порядка, вычислить приближенно значение |
|||||||||||||||||||
|
sin100 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую |
|
|
|||||||||||||||||
|
оценку: |
|
r |
|
£ |
1 |
|
æ p ö5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
120 è18 |
ø |
|
|
ì |
t |
cost |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx = e |
|
|
|
|
||
Составить уравнения касательной и нормали к кривой í |
|
в точке |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïy = et sin t |
|
|
|
|
||
|
t = 0 и вычислить y¢¢ |
(x |
). |
î |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: |
|
x2 + y2 |
|
x . |
|||||||||||||||
|
= e |
|||||||||||||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2 - sin 2 |
x - 2cos x |
. |
|
|
||||||||||||||
|
x4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x )=1 - 3x2 на отрезке [-1;1]?
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 4
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
xx -1 |
1/(x-e) |
|
|
а) lim |
|
|
; б) lim (ln x ) |
. |
|
|
|||
x®1 ln x |
x®e |
|
2. Провести исследование и построить график функции: y =
x - 2
x2 +1
3.Построить график функции в полярной системе координат r = 2cos 2j .
4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольший объем.
5. Вычислить y(10) функции y = x × log2 x .
6.Используя формулу Тейлора 3 -го порядка, вычислить приближенно значение e и доказать, что при этом погрешность r допускает
нижеследующую оценку: r £ 1 . 192
ìx = 2t - t2
ï
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке
ïîy = 3t - t3
t0 = 2 и вычислить y¢¢xx (x0 ).
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = x + arctgy .
xex-1 - x2
9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim .
x®1 (x -1)2
10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = arctgx и найти c на [0;1].
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
||||||
|
а) lim |
x arcsin x2 |
; б) lim (1 |
|
) |
xsin x |
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
x®0 x cos x - sin x |
x®+0 |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = 3 |
(x + 2)2 |
- 3 |
(x - 2)2 |
. |
|||||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) |
r = sin 2j . |
4.На прямой l : y = -2x +1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов
расстояний от неё до двух прямых: l1 : x - y - 3 = 0 , и l2 : x + y + 5 = 0 , была наименьшей.
5.Вычислить y(100) функции y = x2 shx .
6.Используя формулу Тейлора 3 -го порядка, вычислить приближенно значение
ln 5 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую
4
|
оценку: |
|
r |
|
£ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
1024 |
|
|
ìx = t - sin t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Составить уравнения касательной и нормали к кривой í |
в точке |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = 2 |
- cos t |
|
|
t = |
p |
и вычислить y¢¢ |
(x ). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ex+y = xy . |
|||||||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2cos x + x sin x - 2 |
. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
x4 |
10.Написать формулу Коши для функций f (x) = x3 и g (x) = x2 , и найти c .
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 6
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
(x +1)ln (1 + x) - x |
|
|
1 |
|
|||||
|
æ sin x ö |
|
|
|||||||
|
x2 |
|||||||||
а) lim |
e |
x |
- x |
-1 |
; б) lim ç |
|
÷ . |
|||
x |
||||||||||
x®0 |
|
x®0 è |
ø |
|
|
x
2. Провести исследование и построить график функции: y = .
3 x2 -1
3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = sin 3j .
4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.
5. Вычислить y |
(3) |
функции |
y = |
x2 |
+ x +1 |
в точке |
x = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
- x +1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
6.Cчитая, что ln10 » 2,30258 и используя формулу Тейлора 3 -го порядка, вычислить приближенно значение ln11 и доказать, что при этом погрешность
r допускает нижеследующую оценку: r £ 0, 25 ×10-4 .
ìx =1 / t
ï
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке
ïîy =1 / (1 + t 2 )
|
t |
= -1 и вычислить y¢¢ |
(x ). |
|
|
|
|
0 |
xx |
0 |
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = tg(x + y) . |
|
||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
ln (1 + x)- sin x + 0,5x2 |
. |
|||
x3 |
||||||
|
|
|
x®0 |
|
10.На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(-1;10) и B (2;-44).
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
||
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
|||||||||||
|
а) lim ( |
ln 1 + x |
) |
/ 1 - x |
)) |
- 2x |
|
lim (-ln x)x . |
|
|
|
||||
|
( |
|
( |
|
; б) |
|
|
|
|||||||
|
x®0 |
|
x - sin x |
|
|
|
|
x®+0 |
x2 |
-1 |
|
||||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = |
. |
|||||||||||||
x2 |
+1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = cos 2j . |
||||||||||||||
4. |
Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной |
||||||||||||||
|
призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких |
||||||||||||||
|
призм наибольший объем. |
|
1 + x2 |
|
|
|
|
||||||||
5. |
Вычислить y |
(7) |
функции y |
= |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
1 - x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно значение функции 1,5 и доказать, что при этом погрешность r допускает
|
нижеследующую оценку: |
|
r |
|
£ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
ïx = t |
|
|
|
|
в точке |
||||||||||
í |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
t -1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïy =1 / |
|
|
|
|||
|
|
= 2 и вычислить y¢¢ |
(x ). |
î |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x3 + y3 = 3xy . |
||||||||||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
x - 2 - ln |
(x -1) |
. |
|||||||||||||
|
(x - 2) |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x )= x4 3 и найти c на [-1;1].
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 8
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
2tg3x - 6tgx |
|
æ 2 |
öx |
|
а) lim |
|
; б) lim |
ç |
|
arctgx ÷ . |
|
|
||||
x®0 3arctgx - arctg3x |
x®+¥ |
è p |
ø |
2.Провести исследование и построить график функции: y = 3x2 e-x .
3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = cos 4j .
4.Найти верхнее основание трапеции наибольшей площади, вписанной в полукруг радиуса R и имеющей нижним основанием диаметр полукруга.
5.Вычислить y(8) функции y = x2e-2 x .
6.Вычислить с помощью формулы Тейлора 3127 с точностью до 10-3 .
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
ìx = sin t |
|
в точке |
|||||
í |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
îy =1 / cost |
|
|
|
|
t = |
p |
и вычислить y¢¢ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
3 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x + y = ex-y . |
||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
xsin (x - 2) - x2 + 2x |
|||||||
|
|
|
|
. |
|||||
|
(x - 2) |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
x®2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x) = ln sin x на отрезке éëp 6 ;5p 6 ùû ?
11.По графику функции построить график ее первой производной
|
|
|
Вариант 9 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
||
|
а) lim |
tgx - x |
; б) lim (1 - x)ln x . |
|
|
||
|
x®0 arcsin x - ln (1 + x) |
x®1- |
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y = x ln x . |
||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат r =1 + sin 2j . |
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
5. |
|
|
|
( |
) |
cos x . |
|
|
|
|
||
Вычислить y(9) функции y = 1 - x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора 4 |
|
с точностью до 10-3 . |
|
||||||||
83 |
|
|||||||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
ìx = 2ln tgt |
в точке |
|||||||||
í |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = tgt + ctgt |
||
|
t = |
p |
и вычислить y¢¢ |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
4 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = 3 - xey . |
|||||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
xsin x - ex2 |
+1 |
. |
||||||||
|
x4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = arcsin x и найти c на [0;1].
11.По графику функции построить график ее первой производной
Вариант 10
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
tgx - x |
1 |
||
а) lim |
; б) lim (ln (x + e)) |
|
||
x3 |
||||
|
||||
x®0 ln3 (1 + x) |
x®0 |
2.Провести исследование и построить график функции: y = (x -1)e-x .
3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = 2sinj + 1.
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.
5. |
Вычислить y(10) функции |
y = |
1 + x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Вычислить с помощью формулы Тейлора 5 |
|
с точностью до 10-3 . |
||||||||||||||
250 |
|||||||||||||||||
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
ìx = t cos t |
в точке |
||||||||||||||
í |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = t sin t |
|
|
||
|
t = |
p |
и вычислить y¢¢ |
(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
2 |
xx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = x - ln y . |
||||||||||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2xex-1 |
- x3 - x |
. |
|||||||||||||
|
(x |
-1) |
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Написать формулу Коши для функций f (x) = sin x и g (x) = cos x , и найти c |
|
|
на é0;p |
ù . |
|
ë |
2û |
11. |
По графику функции построить график ее первой производной |