II семестр
Механические колебания и волны
Общая черта колебательных процессов – высокая степень повторяемости процесса.
Колебания подразделяются:
-
по природе: механические, электромагнитные;
-
по степени повторяемости: периодические, непериодические;
-
по свойствам: гармонические, ангармонические;
-
по способу возникновения: свободные, вынужденные.
Механические колебания
Колебательные системы
Колебания – физические процессы, которые происходят с определённой повторяемостью во времени.
Периодические колебания – колебания, при которых значения характерных параметров системы повторяются через равные промежутки времени.
Полное колебание – процесс, проходящие в системе за период.
Период – минимальный период времени, через который все параметры системы повторяются.
Частота – число полных колебаний, происходящих в единицу времени.
Циклическая частота – число полных колебаний за единиц времени.
Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону изменения гармонических функций.
Линейные колебания – колебания, возникающие в линейных системах.
Линейная система – система, реакция которой линейно зависит от воздействия.
Свободные (собственные) колебания – колебания, которые происходят в отсутствие внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы из состояния её устойчивого равновесия под действием внутренних сил системы.
Вынужденные колебания – колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Равновесие в механических системах и возникновение колебаний
Условие равновесия точечного тела: , протяжённого тела: , .
Характерным свойством колебательной системы является наличие возвращающей (квазиупругой) силы.
, ; . Необходимое условие колебательной системы: . Достаточность: .
Свободные незатухающие колебания
у
Пружинный маятник: , , , , где .
Математический маятник: . , . , , , , , , где .
Физический маятник: , , , , , , , где.
Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника, .
Центр качания – математическая точка, отстоящая от точки подвеса на приведённую длину и лежащая на маятнике.
Если физический и математический маятники с приведённой длиной колеблются около одной оси, то материальная точка математического и центр качания физического маятника движутся синхронно, если вначале их отклонили на одинаковый угол и одновременно отпустили.
Точка подвеса и центр качания обратимы (можно подвесить за любую из них, период колебаний будет одинаков).
Уравнение колебаний
Все системы описываются уравнением , где (пружинный), (математический), (физический).
Переменная колебаний – параметр, характеризующий отклонение системы от положения равновесия. (x).
Решение уравнения колебаний.
.
Линейный гармонический осциллятор – любая колебательная система, в которой возникают малые линейные гармонические колебания.
Основные характеристики гармонических колебаний
Амплитуда – максимальное значение переменной колебания (максимальное отклонение системы от положения равновесия). Амплитуда всегда положительна. , A – амплитуда.
Фаза – параметр, характеризующий относительное значения отклонения системы от положения равновесия ().
Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени ().
Период: , частота , - циклическая частота.
Свойства гармонических колебаний:
-
Частота и период гармонических колебаний определяются свойствами самой системы.
-
Амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний.
-
Период и частота не зависят от амплитуды.
Скорость и ускорение при колебаниях:
Пусть . Тогда , .
Начальные условие – задание смещение и скорости в начальный момент времени.
-
, , - колебания отсутствуют.
-
, , .
-
, , .
-
, , .
Задание начальных условий определяет амплитуду и начальную фазу.
Кинетическая и потенциальная энергия системы:
. Для пружинного маятника - закон сохранения энергии при свободных незатухающих колебаниях.
., .
Энергия и вычисление периода колебаний:
-
. .
-
Пружинный маятник: .
-
Математический маятник: /
Представление колебаний с помощью векторных диаграмм и комплексных чисел.
Пусть , где . Возьмём , . Тогда , а уравнение описывает движение проекций конца вектора по соответствующим осям. Пусть теперь xy – комплексная плоскость. Тогда .
Фазовая плоскость (пространство) – геометрический образ, представимый множеством состояний системы или .
Фазовая точка – точка фазовой плоскости, определяемая скоростью и координатой и соответствующая определённому состоянию системы.
Фазовая траектория – линия, которую описывает точка на фазовой плоскости при изменении состояния системы.
Фазовый портрет маятника – фазовая траектория маятника: или ( или ).
Фазовый портрет для гармонических колебаний: .