Черник, О. В. Контрольная тетрадь по теории вероятностей и математической статистике
.pdfВарианты 17–20
Среди 700 предприятий, занимающихся ремонтом радиотехнической аппаратуры в некотором регионе, по схеме бесповторной выборки отобрано 60. Получены следующие результаты по числу заказов в неделю:
Число заказов |
60- |
80- |
100- |
120- |
140- |
160- |
180- |
|
|
80 |
100 |
120 |
140 |
160 |
180 |
200 |
|
Количество |
6 |
14 |
8 |
11 |
8 |
7 |
6 |
|
предприятий |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти: 1. Найти числовые характеристики x и s2 вариационного ряда исследуемого признака и построить его гистограмму.
2. Определить: а) границы, в которых с вероятностью γ1 заключено среднее
количество заказов в неделю для указанных предприятий данного региона; б) вероятность того, что доля предприятий в регионе, у которых число заказов в неделю больше m , отличается от выборочной доли таких предприятий не более чем на ∆ (по абсолютной величине); в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа заказов можно гарантировать с вероятностью γ2 .
Вариант |
17 |
18 |
19 |
20 |
γ1 |
0,9 |
0,9729 |
0,9651 |
0,9606 |
m |
140 |
120 |
160 |
100 |
∆ |
0,05 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
γ2 |
0,95 |
0,94 |
0,92 |
0,98 |
43
Вариант 00 Образцы решения типовых задач контрольной работы
I. Из десяти билетов выигрышными являются два. Одновременно приобретаются любые 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них: а) один выигрышный; б) хотя бы один выигрышный билет.
Решение.
Опыт: выбирают 5 из 10 билетов (без повторений).
Так как при выборе порядок, в котором размещаются в выборке выигрышные и невыигрышные билеты неважен, то число элементарных исходов опыта находим как число сочетаний из 10 по 5 (см. формулы на с. 6):
n = C5 |
= |
10! |
|
= |
6 7 8 9 10 |
= 252 . |
|
|
|
||||
10 |
|
5!(10 −5)! |
|
1 2 3 4 5 |
||
|
|
|
а) A– один из 5 билетов выигрышный.
Благоприятствующими событию A будут выборки, содержащие один выигрышный билет и 4 невыигрышных. Их число находят по правилу произведения (см. с. 14),
m =C21 C84 = 1!21!! 4!8!4! =140 . P( A) = 140252 ≈0,556.
б) B – хотя бы один из 5 билетов выигрышный, т.е. один или два. Благоприятствующими событию B будут выборки, содержащие один выигрышный билет и 4 невыигрышных или 2 выигрышных билета и 3 невыигрышных. Их число находят по правилу суммы (см. с.14),
m =C21 C84 +C22 C83 = 1!21!! 4!8!4! + 2!2!0! 3!8!5! =140 +56 =196 . P(B) = 196252 ≈ 0,778 .
II. На сборку поступают детали из трех цехов в пропорции 1: 3: 6. При этом вероятности брака в каждом из этих цехов соответственно равны 0,05, 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что: 1) взятая наудачу деталь окажется бракованной; 2) оказавшаяся бракованной деталь изготовлена во втором цехе.
Решение.
A – взятая наудачу деталь оказалась бракованной.
Так как вероятность события A зависит от того, каким цехом произведена деталь, то в качестве гипотез выбираем следующие события:
Hi – деталь изготовлена i -ым цехом (i =1,2,3).
Находим вероятности событий Hi , используя классическое определение вероятности (см. с.13):
44
P(H1 ) = |
|
|
1 |
|
= 0,1; |
P(H |
2 ) = |
|
3 |
= |
0,3; |
P(H3 ) = |
|
|
6 |
|
= 0,6. |
||||||
1 |
+3 +6 |
1+3 +6 |
1 |
+3 +6 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Сумма полученных вероятностей должна быть равна 1: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑P(Hi ) =0,1+0,3+0,6=1–верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
i −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||
Выписываем |
|
условные |
|
вероятности |
|
события |
при |
|
условии |
||||||||||||||
наступления каждой гипотезы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
PH1 ( A) = 0,05; |
PH 2 ( A) = 0,02; |
PH 3 ( A) = 0,08. |
|
|
|||||||||||||||
Тогда для ответа на первый вопрос используем формулу полной |
|||||||||||||||||||||||
вероятности (см. с.18): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P( A) = P(H1 ) PH1 ( A) + P(H2 ) PH 2 ( A) + P(H3 ) PH 3 ( A) = |
|
|
|||||||||||||||||||||
= 0,1 0,05 +0,3 0,02 +0,6 0,08 = 0,059; |
|
|
|
|
|
|
|
|
PA (H2 ) , |
||||||||||||||
Чтобы ответить на второй вопрос, нужно найти вероятность |
|||||||||||||||||||||||
которая является переоценкой вероятности гипотезы H2 |
после наступления |
||||||||||||||||||||||
события A . Находим эту вероятность по формуле Байеса (см. с.19). |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
PA (H2 ) = |
|
P(H2 ) |
PH 2 ( A) |
= |
|
0,3 0,02 |
≈ 0,102 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P( A) |
0,059 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. В регионе 80% его жителей имеют заработную плату свыше 15000 рублей. Найти вероятность того, что;
1)из 9 жителей региона заработную плату свыше 15000 руб. имеют трое;
2)из 400 жителей региона заработную плату свыше 15000 руб. имеют: а) 300 жителей; б) не менее 300 и не более 360 жителей.
Решение.
1) Так как отдельно взятое испытание состоит в выяснении размера заработной платы у каждого из 9 жителей региона, то количество испытаний будет равно 9:
n = 9 .
Событие, ожидаемое в результате каждого испытания, состоит в следующем:
A– житель региона имеет заработную плату свыше 15000 рублей. Тогда по условию задачи
p = P( A) = 80% = 0,8; q =1−0,8 = 0,2.
Так как количество испытаний n = 9 – мало, то вероятность P9 (3) находим по формуле Бернулли (см. с.19).
P (3) = C3 |
0,83 0,29−3 |
= |
9! |
|
0.512 0,000064 ≈ 0,003. |
|
|
|
|||||
9 |
9 |
|
|
3!(9 −3)! |
|
|
|
|
|
|
|
45
2) Так как отдельно взятое испытание состоит в выяснении размера заработной платы у каждого из 400 жителей региона, то количество испытаний будет равно 400:
n = 400 .
Событие, ожидаемое в результате каждого испытания, состоит в следующем:
A – житель региона имеет заработную плату свыше 15000 рублей. Тогда по условию задачи
|
|
|
|
|
|
p = P( A) = 80% = 0,8; |
|||
|
|
|
|
|
|
q =1−0,8 = 0,2. |
|||
|
|
Так как n – |
велико, |
p – |
велико, |
то искомые вероятности P400 (300) и |
|||
P400 (300;360) находим, используя формулы Лапласа (см. с.20-21): |
|||||||||
а) |
x = |
300 −400 0,8 |
= − 20 |
= −2,5 |
|
|
|||
|
|
|
400 0,8 0.2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
(300) ≈ |
ϕ(−2,5) |
= ϕ(2,5) = 0,1753 ≈ 0,02; |
||||
|
400 |
400 0,8 0,2 |
8 |
|
8 |
||||
|
|
|
|
||||||
б) |
x |
= 300 − 400 0,8 |
= − 20 = −2,5; x |
2 |
= 360 − 400 0,8 = 40 = 5 |
||||
|
1 |
|
400 0,8 |
0.2 |
8 |
|
|
400 0,8 0.2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P400 (300;360) ≈Ф(5) −Ф(−2,5) ≈ 0,5 +Ф(2,5) = 0,5 +0,49379 ≈ 0,994. |
||||||||
IV. Монета брошена 4 раза. Требуется: а) составить закон распределения |
|||||||||
случайной величины X , |
выражающей число выпадений «герба» при 4 |
бросаниях монеты; б) определить вид закона распределения случайной величины X ; в) построить многоугольник распределения; г) составить функцию распределения вероятностей случайной величины и построить ее график; д) найти числовые характеристики.
Решение.
а) X – число выпадений «герба» при 4 бросаниях.
Пусть А – выпал «герб», p = P( A) = 0,5, q = P( A) =1−0,5 = 0,5. Тогда X
имеет биномиальный закон распределения, т.к. выражает число появлений события А в 4 независимых испытаниях (см. с.23). Её закон распределения будет иметь вид:
pi = P( X = xi ) =C4xi 0,5xi 0,54−xi , где xi =0; 1; 2; 3; 4.
Составим ряд распределения X.
p1 = P( X = 0) = C40 0,500,54−0 = 0,0625 p2 = P( X =1) =C41 0,510,54−1 = 0,25 p3 = P( X = 2) = C42 0,520,54−2 = 0,375
p4 = P( X = 3) =C43 0,530,54−3 = 0,25 p5 = P( X = 4) = C44 0,540,54−4 = 0,0625
46
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
. |
pi |
0,0625 |
0,25 |
0,375 |
0,25 |
0,0625 |
|
в) Многоугольник распределения случайной величины X изображен на рисунке 3.
y
1 |
|
|
|
0,375 |
• |
• |
|
0,25 |
• |
|
|
0,0625• |
1 |
• |
x |
|
2 3 4 |
||
|
Рисунок 3 |
|
|
г) Найдем |
значение |
F(x) для всех x , не больших наименьшего |
возможного значения, т.е. для всех x ≤ 0. Так как для всех таких x функция распределения примет одно и то же значение, то достаточно найти значение F(x) для какого-нибудь x , удовлетворяющего неравенству x ≤ 0. По определению, F(0) = P( X < 0) . Событие ( X < 0) невозможное, так как значений, меньших 0, X не принимает. Значит, F(0) = P( X < 0) = 0 .
Аналогично,
если 0 < x ≤1, то F(x) = F(1) = P(x <1) = P( X = 0) = 0,0625
если1 < x ≤ 2, тоF(x) = F(2) = P(x < 2) = P( X = 0) + P( X =1) =
= 0,0625 +0,25 = 0,3125;
если 2 < x ≤ 3, тоF(x) = F(3) = P(x < 3) = P( X = 0) + P( X =1) + P( X = 2) = = 0,0625 +0,25 +0,375 = 0,6875;
если3 < x ≤ 4, тоF(x) = F(4) = P(x < 4) = P( X = 0) + P( X =1) + P( X = 2) +
+ P( X = 3) = 0,0625 +0,25 +0,375 +0,25 = 0,9375; если x > 4, то F(x) = F(5) = P(x < 5) = P( X = 0) + P( X =1) + P( X = 2) +
+ P( X = 3) + P( X = 4) = 0,0625 +0,25 +0,375 +0,25 +0,0625 =1.
Таким образом,
0, при x ≤ 0 |
|
|
F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< x ≤1 |
1 |
|
|
|
0,0625, при0 |
0,9375 |
|
|
||
0,3125, при1 |
< x ≤ 2 |
0,6875 |
|
|
|
F(x) = |
< x ≤ 3 |
|
|
||
0,6875, при 2 |
0,3125 |
|
|
||
0,9375, при3 |
< x ≤ 4 |
|
|
||
0,0625 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, при x > 4 |
|
1 2 3 4 |
x |
47 |
Рисунок 4 |
|
д) Для нахождения числовых характеристик случайной величины, выражающей число выпадений «герба» в четырех подбрасываниях монеты, можно использовать общие формулы числовых характеристик дискретной случайной величины (см. с. 23). Получаем
M ( X ) = 0 0,0625 +1 0,25 +2 0,375 +3 0,25 +4 0,0625 = 2
D( X ) = 02 0,0625 +12 0,25 +22 0,375 +32 0,25 +42 0,0625 −22 =1
σ(X ) = 1 =1
|
Но так как |
X имеет биномиальный закон распределения с параметрами |
||||||||
n=4, p=P(A)=0,5 и |
q= P( |
|
) =1–0,5=0,5, |
проще воспользоваться |
||||||
A |
||||||||||
специальными формулами, а именно, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M ( X ) = np = 4 0,5 = 2 , |
|
|
|
|
|||
|
|
D( X ) = npq = 4 0,5 0,5 =1. |
|
|
||||||
|
|
|
σ(X ) = |
1 =1. |
|
|
|
|
||
V |
(для вариантов 1-10). Непрерывная случайная |
величина |
X задана |
|||||||
|
|
|
0, при x ≤ 0 |
|
|
|
|
|||
функцией распределения |
|
|
Требуется: 1) |
составить |
||||||
F(x) = x2 , при0 < x ≤1. |
||||||||||
|
|
|
1, при x >1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
плотность вероятности этой случайной величины; 2) |
построить графики |
|||||||||
F(x) и f (x) ; |
3) найти |
числовые |
характеристики |
данной |
случайной |
|||||
величины; 4) найти P( X < 0,5) , P(−1 < X < 0,5) , P( X > |
1 |
) . |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
0, при x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
′ |
|
< x ≤1. |
|
|
|
|
|
||
f (x) = F (x) = 2x, при0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, при x >1 |
|
|
|
|
|
|||
2) |
F(x) |
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
1 |
x |
Рисунок 5 |
|
|
Рисунок 6 |
3) Для выполнения данного задания будем применять формулы числовых характеристик непрерывной случайной величины (см. с.26). Так как плотность вероятности f (x) данной случайной величины отлична от нуля на
48
промежутке (0;1], то при нахождении M ( X ) и D( X ) интегрировать будем по отрезку [0;1].
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
x3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M ( X ) = ∫x(2x)dx = 2∫x |
|
dx = 2 |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
4 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
D( X ) = ∫x |
|
(2x)dx − |
|
= 2 |
∫x |
|
dx − |
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
− |
|
= |
|
. |
|||||||
|
|
|
9 |
4 |
|
|
|
9 |
2 |
9 |
9 |
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(X ) = 19 = 13 .
4)Для нахождения указанных вероятностей используем формулы, приведенные на с.24-25:
P( X < 0,5) = F(0,5) = 0,52 = 0,25
P(−1 < X < 0,5) = F(0,5) − F(−1) = 0,52 −0 = 0,25 ;
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
8 |
|
P( X > |
|
) =1− F |
|
|
=1− |
|
|
=1− |
|
= |
|
. |
3 |
|
|
9 |
9 |
||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
V (для вариантов 11-20). Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а == 500 и σ=2. Требуется: а) составить функцию распределения вероятностей F(x) и плотности вероятностей f (x),
построить |
график |
f (x); б) найти вероятность попадания |
случайной |
величины |
X в интервал (502;510); в) вычислить вероятность |
того, что |
|
случайная величина |
X отклонится от своего математического ожидания не |
больше чем на 3; г) с помощью правила «3σ» определить диапазон изменения
значений случайной величины X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 500 и σ = 2 в формулы для |
|||||
а) Поставляем данные значения параметров |
||||||||||||||||
функции F(x) и f (x) |
нормального |
закона распределения |
(см. с. 26). |
|||||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
( x−500)2 |
|
1 |
|
− |
( x−500)2 |
|
|
1 |
x −500 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = |
|
e |
|
2 4 |
= |
|
e |
|
|
8 ; |
F(x) = |
|
+Ф |
|
|
|
2 2π |
|
2 2π |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
f(x)
1
22π
1
2 2πe
498 500 502 |
x |
Рисунок 7
49
б) Пользуемся формулой |
|
β −a |
|
α −a |
, где |
α = 502 , |
||
P(α < X < β) =Ф |
σ |
|
−Ф |
σ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
β =510 , a = 500, σ = 2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
510 |
−500 |
502 −500 |
|
||||
P(502 ≤ X ≤ 510) = |
P(502 < X < 510) =Ф |
|
|
|
|
−Ф |
|
= |
||||||||
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=Ф(5) −Ф(1) ≈0,5 −0,34134 ≈0,16; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) Применяем формулу |
|
|
|
|
|
|
δ |
|
a = 500, σ = 2 , δ = 3. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
P( |
|
X −a |
|
<δ) = 2Ф σ при |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P( |
X −500 |
< 3) = 2Ф |
|
= 2Ф(1,5) = 2 |
0,43319 ≈ 0,86 . |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) Так как диапазон – это промежуток (a −3σ;a +3σ), то при a = 500 и σ = 2 |
||||||||||||||||
получаем |
|
(500 −3 2; 500 +3 2)= (496; 506). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
VI. Менеджер компании, занимающийся прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, по схеме бесповторной выборки отобрано 60. Результаты представлены в таблице:
Пробег(км) |
0-1000 |
1000- |
2000- |
3000- |
4000- |
5000- |
6000- |
|
|
2000 |
3000 |
4000 |
5000 |
6000 |
7000 |
Количество |
3 |
5 |
9 |
16 |
13 |
8 |
6 |
автомобилей |
|
|
|
|
|
|
|
Найти: 1. Найти числовые характеристики x и s2 вариационного ряда исследуемого признака и построить его гистограмму.
2. Определить: а) вероятность того, что средний пробег автомобиля в месяц отличается от среднего выборочного пробега не более чем на 400км (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых менее 3000 км; в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для указанной доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение.
1. Рассматривается признак X – величина пробега автомобиля в течение месяца. Данная таблица представляет собой его вариационный ряд. Чтобы
найти x и s2 , используем формулы (см. с. 30)
|
|
k |
|
|
k |
|
|||
|
|
∑xini |
|
s2 = |
∑(xi − |
x |
)2 ni |
|
|
|
= |
i =1 |
, |
i =1 |
. |
||||
x |
|||||||||
n |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
50
Так как вариационный ряд интервальный, то в качестве xi берем середины частичных интервалов. Получаем
|
|
= |
500 3 +1500 5 + 2500 9 +3500 16 + 4500 13 +5500 8 +6500 6 |
≈ 3816,7(км) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 = (500 −3816,7)2 3 +(1500 −3816,7)2 5 +(2500 −3816,7)2 9 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
(3500 −3816,7)2 16 + |
(4500 −3816,7)2 13 +(5500 −3816,7)2 8 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
(6500 −3816,7)2 6 ≈ 2483055,5(км2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы построить гистограмму (см. с.29-30), необходимо для каждого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частичного |
интервала |
вариационного |
ряда |
|
найти |
величину, |
|
равную |
|
ni |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n5 |
|
|
|
|
h |
|||
Получаем |
|
= |
|
3 |
|
, |
|
= |
|
5 |
|
, |
|
= |
|
9 |
, |
= |
|
16 |
|
, |
|
|
= |
|
|
13 |
, |
|||||||||||||||||
|
1000 |
h |
1000 |
|
|
1000 |
|
1000 |
|
|
h |
1000 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n6 |
= |
|
8 |
, |
n7 |
|
= |
|
6 |
|
. Гистограмма частот изображена на рисунке 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1000 |
h |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni
h
0,016
0,013
0,009
0,008
0,006
0,005
0,003
1000 |
2000 3000 4000 5000 6000 7000 |
xi |
Рисунок 8
2. а) Эта задача II-го типа. Алгоритм ее решения изложен на с.32. Применим его.
Даны. ∆ = 400км, n = 60 , x = 3816,7км.
Найти. Надежность оценки γ .
51
Решение. 1) Так как в задаче речь идет о бесповторной выборке, то вычисляем среднюю квадратичную ошибку σx по формуле
σ |
|
|
s2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1− |
. |
Подставляем |
|
|
в |
|
|
нее |
следующие |
данные |
||||||||
x |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 ≈ 2483055,5(км2 ) , n = 60 , N = 280 . Получаем |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ |
|
|
2483055,5 |
|
|
|
|
60 |
|
≈180,36 ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
60 |
280 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) находим параметр t |
по формуле |
t = |
|
|
∆ |
: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
|
|
|
≈ 2,22 ; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
180,36 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)определяем по таблице значение функции Φ(2,22) = 0,48679 ,
γ= 2 0,48679 = 0,97358 .
б) Эта задача I-го типа. Алгоритм ее решения изложен на с.32. Применим его.
Даны. γ = 0,95, n = 60 .
Найти. Границы доверительного интервала (ω − ∆;ω + ∆).
Решение. Так как точечная оценка ω не дана в условии задачи, находим ее
по |
формуле ω = |
ni |
, |
где n = 3 +5 +9 =17 – число автомобилей, |
пробег |
||||
|
|||||||||
|
|
n |
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
которых менее 3000 км. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ω = |
17 |
≈ 0.29 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Φ(t) = 0,95 = 0,475 , |
60 |
|
|
|
|
|||
1) |
применяя таблицу значений интегральной функции |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лапласа (см. приложение 2), находим аргумент t =1,96 . |
|
|
|
||||||
2) |
Поскольку в задаче речь идет о бесповторной выборке, то вычисляем |
||||||||
среднюю квадратичную ошибку σω |
по формуле σω = |
ω(1−ω) |
|
n |
|||||
n |
1− |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
Подставляем в нее следующие данные ω ≈ 0.29 , n = 60 , N = 280 . Получаем
σω = |
0,29(1 |
− |
0,29) |
− |
60 |
|
≈ 0,052 . |
60 |
1 |
280 |
|
||||
|
|
|
|
|
3)Находим точность оценки по формуле ∆ = tσω ,
∆=1,96 0,052 ≈ 0,1.
4)Определяем доверительные границы: (0,29 −0,1; 0,29 +0,1)= (0,19; 0,39).
52