КП
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
21 1 + 10 2 + 1 3 = 21 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задание 1. { |
10 1 + 1 2 + 21 3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 1 + 21 2 + 10 3 = −20 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Метод Крамера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
∆1 |
|
= |
|
∆2 |
= |
∆3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∆ |
|
2 |
|
|
|
|
∆ |
3 |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
21 |
|
10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆=|10 |
1 |
|
21| = 210 + 210 + 210 − 1 − 9261 − 1000 = −9632 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
21 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
21 |
|
10 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
21 |
1 |
|
|
||||||
∆1= | |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
21| = −13310 |
|
∆2= |10 |
1 |
21| = 7170 |
|||||||||||||||
|
|
−20 |
21 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−20 |
10 |
|
|
||||||||
|
|
21 |
|
|
10 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∆3= |10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
| = 5538 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
21 |
|
|
−20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
= |
−13310 |
= |
|
6655 |
= 1.382 |
2 |
= |
7170 |
|
= − |
3585 |
= −0.744 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−9632 |
4816 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
−9632 |
|
|
|
|
4816 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
= |
5538 |
|
= − |
2769 |
= −0.575 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
−9632 |
4816 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Гаусса.
Нашёл единицу в 1-ом столбце и поменял местами 3-ю и 1-ую строки. Умножил 1-ю строку на 10.
21 |
10 |
1 |
21 |
1 |
21 |
10 −20 |
10 |
210 |
100 −200 |
||
(10 |
1 |
21| 1 ) → (10 |
1 |
21| 1 ) → (10 |
1 |
21 | 1 ) → |
|||||
1 |
21 |
10 −20 |
21 |
10 |
1 |
21 |
21 |
10 |
1 |
21 |
Вычел 1-ую строку из 2-ой строки и восстановил ее. Умножил 1-ую строку на 21.
10 |
210 |
100 −200 |
1 |
21 |
10 |
−20 |
21 |
441 |
210 −420 |
||
→ (10 |
1 |
21 | |
1 ) → ( 0 |
−209 |
−79|201) → ( 0 |
−209 |
−79| 201 ) → |
||||
21 |
10 |
1 |
21 |
21 |
10 |
1 |
21 |
21 |
10 |
1 |
21 |
Вычел 1-ую строку из 3-ей строки и восстановил ее. Получил единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -209. Умножил 2-ую строку на 21.
|
1 |
21 |
10 |
−20 |
1 |
21 |
10 |
|
−20 |
1 |
21 |
10 |
−20 |
||||
|
|
|
79 |
|
201 |
|
|
1659| 4221) → |
|||||||||
→ ( |
0 |
−209 |
−79 |
| |
201 |
) → ( |
1 |
| |
) → ( |
21 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
209 |
|
−209 |
0 |
209 |
−209 |
||||||||
|
0 |
−431 |
−209 441 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
−431 |
−209 |
441 |
0 |
−431 |
−209 |
441 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вычел 2-ую строку из 1-ой строки и восстановил ее. Умножил 2-ую строку на - 431. Вычел 2-ую строку из 3-ей строки и восстановил ее. Получил единицу в 3-ем столбце разделив 3-ю строку на -9632/209. Умножил 3-ю строку на 431/209
|
|
|
|
431 |
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
431 |
|
|
|
41 |
|
1 |
0 |
|
431 |
|
|
41 |
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
209 |
|
209 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
209 |
|
209 |
|
|
|
|
209 |
|
209 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
|
79 |
|
201 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
| 201 |
|
|
|
|
|
|
|
−34049|86631 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 −431 |
|
|
|
209 |
| |
−209 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
209 |
|
|
−209 |
|
|
209 |
|
−209 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9632 5538 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(0 |
−431 −209 |
441 ) |
(0 |
−431 |
|
−209 |
441 ) |
(0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
209 |
|
209 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
431 |
41 |
|
|
|
|
|
|
431 |
|
41 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
431 |
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
209 |
|
|
209 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
209 |
|
|
|
|
|
209 |
|
|
|
209 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
→ |
|
|
|
79 |
|
201 |
|
|
→ |
|
|
209 |
|
201 |
|
|
→ |
|
|
|
|
79 |
|
201 |
|
|
|
|
→ |
||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
209 |
| |
−209 |
|
0 |
1 |
| |
−209 |
|
|
|
|
209 |
| |
|
−209 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
209 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
−9632 5538 |
|
|
0 |
0 |
−2769 |
|
|
|
0 |
0 |
|
431 −1193439 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
209 |
209 ) |
|
|
1 |
|
4816 ) |
|
( |
209 |
|
1006544 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычел 3-ю строку из 1-ой строки и восстановил ее. Умножил 3-ю строку на
79/209.
Вычел 3-ю строку из 2-ой строки и восстановил ее.
|
|
|
6655 |
|
1 |
0 |
0 |
|
6655 |
|
|
|
|
|
6655 |
||
1 |
0 |
0 |
4816 |
|
|
4816 |
|
|
1 |
0 |
0 |
4816 |
|||||
|
|
|
79 |
|
|
|
|||||||||||
→ 0 |
1 |
79 |
|
201 |
|
→ 0 |
1 |
|
|
|
201 |
|
→ |
0 |
1 |
0 |
−3585 |
|
209 |
|
|||||||||||||||
209| −209 |
|
| |
|
−209 |
| 4816 |
||||||||||||
|
|
|
|
79 |
|
|
0 |
0 |
1 |
||||||||
0 |
0 |
1 |
−2769 |
0 |
0 |
|
−218751 |
|
−2769 |
||||||||
209 |
|
|
|||||||||||||||
( |
|
|
4816 ) |
( |
|
|
1006544) |
( |
|
|
|
4816 ) |
66551 = 4816 = 1.382
35852 = − 4816 = −0.744
27693 = − 4816 = −0.575
Метод обратной матрицы.
∆=−9632
21 10 1 А=(10 1 21)
1 21 10
21 В=( 1 ) −20
Х=А-1*В
|
Для вычисления обратной матрицы найдем дополнительные миноры и |
||||||
алгебраические дополнения матрицы А. |
|
|
|||||
А11 |
= | 1 |
21| = −431 |
|
А21 |
= − |10 |
1 | = −79 |
|
|
21 |
10 |
|
|
|
21 |
10 |
А12 |
= − |10 |
21| = −79 |
|
А22 |
= |21 |
1 | = 209 |
|
|
1 |
10 |
|
|
|
1 |
10 |
А13 |
= |10 |
1 | = 209 |
|
А23 |
= − |21 |
10| = −431 |
|
|
1 |
21 |
|
|
|
1 |
21 |
А31 |
= |10 |
1 | = 209 |
|
А32 |
= − |21 |
1 | = −431 |
|
|
1 |
21 |
|
|
|
10 |
21 |
|
|
|
А33 = |21 |
10| = −79 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
|
|
|
Транспонированная союзная матрица: |
|
|
||||
|
−431 |
−79 |
209 |
|
|
|
|
|
С*Т=( −79 |
209 |
−431) |
|
|
|
|
|
|
209 |
−431 |
−79 |
|
|
|
А-1=С∆Т
|
|
|
|
431 |
|
79 |
|
|
|
−209 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9632 |
9632 |
|
|
9632 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
А−1 |
= |
79 |
|
|
−209 |
431 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9632 |
9632 |
|
9632 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
−209 |
431 |
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( |
9632 |
|
9632 |
|
|
9632 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
431 |
|
|
|
79 |
|
|
|
−209 |
|
|
1293 |
|
−79 |
1045 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9632 |
|
9632 |
|
9632 |
|
21 |
|
1376 |
|
9632 |
2408 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
−209 |
431 |
|
|
|
237 |
|
|
209 |
|
2155 |
||||||||||||
Х = А−1 В = |
|
|
|
|
|
|
( 1 |
) = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9632 |
|
9632 |
|
9632 |
|
−20 |
|
1376 |
|
9632 |
2408 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−209 |
431 |
|
|
|
79 |
|
|
|
|
−627 |
431 |
|
395 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(9632 |
|
|
|
|
|
|
|
9632) |
|
|
(1376 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9632 |
|
|
|
|
9632 |
2408) |
||||||||||||||||||||
6655 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4816
=−3585
4816
−2769
( 4816 )
66551 = 4816 = 1.382
35852 = − 4816 = −0.744
27693 = − 4816 = −0.575
Метод LU-разложения.
A=B*C
11 = 21 21 = 10 22 = −3,76 31 = 1 32 = 20.50 33 = 121,9211 = 1 12 = 0,48 13 = 0,05 22 = 1 23 = −5,46 33 = 1
21 |
0 |
|
0 |
|
= (10 |
−3,76 |
0 |
) |
|
1 |
20,52 |
121,92 |
||
1 |
0,48 |
0,05 |
|
|
С = (0 |
1 |
−5,46) |
||
0 |
0 |
|
1 |
|
= |
21 |
= 1 = |
1−10 1 |
= 2,39 |
= |
−21+20,52 2,39 |
= −0,575 |
|
|
|
|||||
1 |
21 |
2 |
−3,76 |
|
3 |
121,92 |
|
|
|
|
|
|
3 = 3 = −0.575 2 = 2,39− (−5,46 (−0,57)) = −0,7441 = 1 − (0,48 (−0,744) + 0,0476 (−0,575)) = 1,382
Блок-схемы:
Метод Крамера.
Метод Гаусса.
using System;
using System.Collections.Generic; using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace ConsoleApp1
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int n; /* количество уравнений */
double[,] A = new double[3, 3]; /* матрица системы */ double[] b = new double[3]; /* вектор правых частей */ double[] x = new double[3]; /* вектор решения */ Console.Write("Введите количество уравнений(<=3) n -> "); n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
if (n > 3 || n <= 1)
{
Console.WriteLine("Ошибка в размерности системы (n=2,3)"); Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++)
{
Console.Write("A{0}{1} -> ", i, j);
A[i, j] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
Console.Write("b{0} -> ", i);
b[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
}
if (SLAU_kramer(n, A, b, x) == 1)
{
Console.WriteLine("Система не имеет решение"); Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
return;
}
else
for (int i = 0; i < n; i++) Console.WriteLine("x" + i + " = " + x[i]);
Console.ReadLine();
}
private
static double det(int n, double[,] B)
{
if (n == 2)
return B[0, 0] * B[1, 1] - B[0, 1] * B[1, 0];
return B[0, 0] * (B[1, 1] * B[2, 2] - B[1, 2] * B[2, 1]) - B[0, 1] * (B[1, 0] * B[2, 2] - B[1, 2] * B[2, 0]) +
B[0, 2] * (B[1, 0] * B[2, 1] - B[1, 1] * B[2, 0]);
}
static void equal(int n, double[,] A, double[,] B)
{
for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++)
A[i, j] = B[i, j];
}
static void change(int n, int N, double[,] A, double[] b)
{
for (int i = 0; i < n; i++) A[i, N] = b[i];
}
public
static int SLAU_kramer(int n, double[,] A, double[] b, double[] x)
{
double[,] An = new double[3, 3]; double det1 = det(n, A);
if (det1 == 0) return 1; for (int i = 0; i < n; i++)
{
equal(n, An, A); change(n, i, An, b); x[i] = det(n, An) / det1;
}
return 0;
}
}
}
Задание 2.
Метод простой иттерации.
Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все-таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.
x1=β1 -α12x2 -α13x3 -...-α1nxn x2=β2 -α21x1 -α23x3 -...-α2nxn
xn=βn -αn1xn -αn3x3 -...-αnn-1xn-1
где βi=bi / aii; αij =aij/aii при i≠j; αii=0
Система (2) в матричной форме имеет вид:
x=β-αx |
|
|
21 |
10 |
1 |
( 1 |
21 |
10) |
10 |
1 |
21 |
Пусть x0=β, тогда: x1=b - a x0
x2=b - a x1
....
xk+1=b - a xk
Приведем к виду: x1=1+0.48x2+0.0476x3 x2=-0.95238+0.0476x1+0.48x3 x3=0.0476+0.48x1+0.0476x2
Вычисления заканчиваются по критерию:
a = 0.47619+0.047619 = 0.5238 |
|
|
|
|
|
|||||
Покажем вычисления на примере нескольких итераций. |
|
|||||||||
N=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1=1 - 0 • 0.47619 - 0 • 0.0476=1 |
|
|
|
|
|
|||||
x2=-0.95238 - 0 • 0.0476 - 0 • 0.47619=-0.95238 |
|
|
||||||||
x3=0.0476 - 0 • 0.47619 - |
0 • 0.0476=0.0476 |
|
|
|||||||
N=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1=1 - (-0.95238) • 0.47619 - 0.0476 |
• 0.0476=1.45125 |
|
|
|||||||
x2=-0.95238 - 1 • 0.0476 - 0.0476 • 0.47619=-1.02268 |
|
|
||||||||
x3=0.0476 - 1 • 0.47619 - (-0.95238) • 0.0476=-0.38322 |
|
|
||||||||
N=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1=1 - (-1.02268) • 0.47619 - (-0.38322) • 0.0476=1.50524 |
|
|||||||||
x2=-0.95238 - 1.45125 • 0.0476 - (-0.38322) • 0.47619=-0.839 |
|
|||||||||
x3=0.0476 - 1.45125 • 0.47619 - (-1.02268) • 0.0476=-0.59475 |
|
|||||||||
Остальные расчеты сведем в таблицу. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
x1 |
x2 |
|
x3 |
|
e1 |
|
e2 |
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
-0.952 |
|
0.0476 |
|
1 |
|
0.952 |
0.0476 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1.451 |
-1.023 |
|
-0.383 |
|
0.451 |
|
0.0703 |
0.336 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1.505 |
-0.839 |
|
-0.595 |
|
0.054 |
|
-0.184 |
0.212 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1.428 |
-0.741 |
|
-0.629 |
|
-0.0774 |
|
-0.0982 |
0.0345 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1.383 |
-0.721 |
|
-0.597 |
|
-0.0451 |
|
-0.0201 |
-0.0322 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1.372 |
-0.734 |
|
-0.577 |
|
-0.0111 |
|
0.0132 |
-0.0205 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1.377 |
-0.743 |
|
-0.571 |
|
0.0053 |
|
0.00924 |
-0.00591 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1.381 |
-0.746 |
|
-0.573 |
|
0.00412 |
|
0.00307 |
0.00208 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1.383 |
-0.745 |
|
-0.574 |
|
0.00156 |
|
-0.000795 |
0.00182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1.382 |
-0.745 |
|
-0.575 |
|
-0.000292 |
|
-0.00079 |
0.000781 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α: |
|
|
||||||||
mах[∑|αij|] = 0.47619+0.047619 = 0.52381<1 |
|
|
||||||||
mах [|x9, x10|] = ρ (x9, x10) = |-0.57527 |
- (-0.57449) | = 0.00079 |
|
||||||||
Вычисляем погрешность: |
|
|
|
|
|
|
|
Метод Зейделя.
Имеем СЛАУ: Аx=b
Предполагая, что ≠ 0 разрешим новое уравнение системы относительно х1,
второе – относительно х2 и т.д. В результате получим:
1 = 1 − 12 2 − 13 3 − − 12 = 2 − 21 1 − 23 3 − − 2
= − 1 − 3 3 − − −1 −1
где 1 = ; = / , при ≠ ; = 0
Известно начальное приближение: x0=(x01,….,x0n). Итерационная схема имеет вид:
+1 |
= |
− ∑ |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
+1 |
= |
− |
+1 − ∑ |
|
|
||
2 |
2 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
+1 |
= |
− ∑ |
+1 |
− ∑ |
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы .
21 |
10 |
1 |
( 1 |
21 |
10) |
10 |
1 |
21 |
Приведем к виду:
x1 = 1 + 0.48x2 + 0.0476x3
x2 = −0.952 + 0.0476x1+ 0.48x3
x3 |
= 0.0476+ 0.48x1 + 0.0476x2 |
|
|
|
|
|||||
Покажем вычисления на примере нескольких итераций. |
|
|||||||||
N = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
= 1 − 0 • 0.476 − 0 • 0.0476 = 1 |
|
|
|
||||||
x2 |
= −0.952 − 1 • 0.0476 − 0 • 0.476 = −1 |
|
|
|
||||||
x3 |
= 0.0476 − 1 • 0.476 − (−1) • 0.0476 = −0.381 |
|
||||||||
N = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
= 1 − (−1) • 0.476 − (−0.381) • 0.0476 = 1.494 |
|
||||||||
x2 |
= −0.952 − 1.494 • 0.0476 − (−0.381) • 0.476 = −0.842 |
|
||||||||
x3 |
= 0.0476 − 1.494 • 0.476 − (−0.842) • 0.0476 = −0.624 |
|
||||||||
N = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
= 1 − (−0.842) • 0.476 − (−0.624) • 0.0476 = 1.431 |
|
||||||||
x2 |
= −0.952 − 1.431 • 0.0476 − (−0.624) • 0.476 = −0.723 |
|
||||||||
x3 |
= 0.0476 − 1.431 • 0.476 − (−0.723) • 0.0476 = −0.599 |
|
||||||||
Остальные расчеты сведем в таблицу. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
e1 |
e2 |
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
-1 |
-0.381 |
|
1 |
1 |
|
0.381 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1.494 |
-0.842 |
-0.624 |
|
0.494 |
-0.158 |
|
0.243 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1.431 |
-0.723 |
-0.599 |
|
-0.0636 |
-0.119 |
|
-0.0246 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1.373 |
-0.732 |
-0.571 |
|
-0.0577 |
0.00898 |
|
-0.0279 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1.376 |
-0.746 |
-0.572 |
|
0.00295 |
0.0134 |
|
0.000765 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1.382 |
-0.746 |
-0.575 |
|
0.00643 |
-5.8E-5 |
|
0.00306 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1.383 |
-0.744 |
-0.575 |
|
0.000118 |
-0.00145 |
|
0.000126 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
1.382 |
-0.744 |
-0.575 |
|
-0.000686 |
-9.2E-5 |
|
-0.000322 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α: mах[∑|αij|] = 0.476+0.0476 = 0.524<1
mах [|x7, x8|] = ρ (x7, x8) = |-0.575 - (-0.575) | = 0.000686
Вычисляем погрешность: