- •И.Д. Долгий
- •1.2. Функции алгебры логики (фал) одного
- •Константа 0
- •Фал конъюнкция
- •Фал дизъюнкция
- •2. Преобразование функций алгебры логики
- •2.1. Тождества алгебры логики
- •2.2. Законы алгебры логики
- •2.3. Теорема разложения в ряд функции алгебры
- •2.4. Функционально-полные системы функций
- •2.5. Стандартные формы функций алгебры логики
- •3. Минимизация функций алгебры логики
- •3.1. Некоторые понятия и определения
- •3.2. Аналитический метод минимизации фал
- •3.3. Табличные методы минимизации функций
- •4. Синтез дискретных автоматов
- •4.1. Техническая реализация функций алгебры
- •4.2. Основные сведения о дискретных автоматах
- •4.3. Синтез комбинационных автоматов
И.Д. Долгий
СИНТЕЗ И АНАЛИЗ
ДИСКРЕТНЫХ УСТРОЙСТВ
Ростов-на-Дону
2005
1. Функции алгебры логики
1.1. Основные понятия и определения
В алгебре логики принято сложные высказывания отождествлять с функциями алгебры логики, а простые высказывания с аргументами этих функций. Все высказывания как сложные так и простые могут быть истинными или ложными. Истинные высказывания в числовом выражении равны единице, а ложные нулю.
Таким образом, функцией алгебры логики является такая функция, которая как и ее аргументы, может принимать только два значения 0 или 1.
Все функции алгебры логики определяются на наборах аргументов, число которых равно 2n, где n – количество аргументов от которых зависит функция алгебры логики. Под набором аргументов понимается комбинация различных значений аргументов. Если n=1, то количество наборов N будет равно N=21=2, т.е. один набор 1 а второй 0. Если n=2, то N=22=4. Наборы аргументов будут следующие: 00, 01, 10, 11.
На каждом из наборов аргументов функция алгебры логики может принимать значение 0 или 1. Отсюда получается зависимость количества функций М от числа наборов аргументов N
или (от числа аргументов) .
Таким образом, количество функций одного аргумента будет равно , количество функций двух аргументови т.д.
В настоящее время хорошо изучены и широко используются в теории дискретных устройств только функции одного и двух аргументов.
1.2. Функции алгебры логики (фал) одного
аргумента
Известно, что количество ФАЛ одного аргумента равно четырем. Эти функции представляются следующей таблицей 1.1.
Таблица 1.1.
Нумерация ФАЛ |
Наборы аргумента х |
Обозначение ФАЛ |
Название ФАЛ | |
0 |
1 | |||
f0 |
0 |
0 |
0 |
Константа 0 |
f1 |
0 |
1 |
x |
Аргумент х |
f2 |
1 |
0 |
Отрицание аргумента х | |
f3 |
1 |
1 |
1 |
Константа 1 |
Из таблицы 1.1. следует, что две функции алгебры логики не зависят от значения аргумента. Функция константа 0 всегда равна 0, а функция константа 1 всегда равна единице при любом значении аргумента х. Функция аргумент х повторяет значение аргумента, функция отрицание аргумента принимает значение противоположное аргументу, т.е. (читается «не икс»).
Все функции алгебры логики могут быть представлены таблицами истинности. Таблица истинности включает в себя все наборы аргументов от которых она зависит и значение функции на каждом наборе. Представим функции одного аргумента таблицами истинности.
Таблица 1.2.
Константа 0
Наборы аргумента | |
0 |
0 |
1 |
0 |
Таблица 1.4.
Отрицание аргумента
Наборы аргумента | |
0 |
1 |
1 |
0 |
Таблица 1.3.
Аргумент х
Наборы аргумента | |
0 |
0 |
1 |
1 |
Таблица 1.5.
Константа 1
Наборы аргумента | |
0 |
1 |
1 |
1 |
1.3. Функции алгебры логики двух аргументов
Количество функций двух аргументов равно эти функции представлены в следующей таблице.
Таблица 1.6.
Функции двух аргументов
Аргументы |
Наборы аргументов |
Аналитическая запись функции |
Название функции |
Представление ФАЛ двух аргументов в СДНФ |
х1 х2 |
0 0 1 1 0 1 0 1 | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
f0 |
0 0 0 0 |
0 |
Константа нуля |
– |
f1 |
0 0 0 1 |
Конъюнкция (логическое произведение) | ||
f2 |
0 0 1 0 |
Отрицание импликации от х1 к х2 | ||
f3 |
0 0 1 1 |
Повторение аргумента х1 | ||
f4 |
0 1 0 0 |
Отрицание импликации от х2 к х1 | ||
f5 |
0 1 0 1 |
Повторение аргумента | ||
f6 |
0 1 1 0 |
Неравнозначность | ||
f7 |
0 1 1 1 |
Дизъюнкция | ||
f8 |
1 0 0 0 |
Отрицание дизъюнкции | ||
f9 |
1 0 0 1 |
~ |
Равнозначность | |
f10 |
1 0 1 0 |
Отрицание аргумента х2 | ||
f11 |
1 0 1 1 |
Импликация от х2 к х1 | ||
f12 |
1 1 0 0 |
Отрицание аргумента х1 | ||
f13 |
1 1 0 1 |
Импликация от х1 к х2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
f14 |
1 1 1 0 |
Отрицание конъюнкции | ||
f15 |
1 1 1 1 |
1 |
Константа единицы |
– |
Из 16-ти функций двух аргументов необходимо глубоко разобраться и усвоить те функции, на базе которых построены и широко используются логические элементы «И», «ИЛИ», «НЕ», «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ».
Логический элемент «И» представляет собой техническую реализацию функции алгебры логики двух аргументов, которая называется конъюнкцией или логическим произведением двух аргументов. Таблица истинности данной функции имеет вид
Таблица 1.7.