978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus
.pdfИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Данный раздел посвящен одному из основных понятий математики — интегралу, происхождение и развитие которого тесно связано с решением многих практических задач, например, с вычислением площадей пло-
ских фигур, нахождением пути, пройденного телом, определением работы по перемещению груза и т. п.
Если с помощью производной по закону движения можно определить скорость, то операция интегрирования позволит найти закон движения по ее скорости. Точно также, если сила тока является производной заряда по времени, то с помощью интегрирования можно вычислить заряд по данной силе тока и т. п.
Готовимся к изучению темы «Интеграл и его приложения»
Для подготовки к изучению темы можно обратиться к разде- лам 1 и 3, а также использовать материал, приведенный ниже в виде таблиц.
Таблица производных
Таблица 32
y |
с |
xα |
sin x |
cos x |
|
tg x |
|
ctg x |
|
|
ex |
ax |
ln x |
loga x |
|||
y′ |
0 |
αxα-1 |
cos x |
–sinx |
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
ex |
ax ln a |
1 |
|
1 |
|
|
cos2 x |
sin2 x |
x |
|
x ln a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Физический смысл производной |
Таблица 33 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Закон изменения величины |
|
Смысл производной |
|||||||||||||||
|
|
данного закона |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =x(t) —закондвиженияточки, x′(t)= v(t) — зависимость скорос- то есть зависимость координаты ти движения точки от времени точки от времени
v = v(t) — зависимость скорости v′(t)= а(t) — зависимость ускоре- движения точки от времени ния точки от времени
q =q(t) —зависимостьвеличины q′(t)= I(t) — зависимость силы заряда, проходящего через по- тока от времени перечное сечение проводника, от времени
у = f(t) — закон изменения не- f ′(t) — скорость изменения этой которой величины с течением величины времени
Готовимся к изучению темы «Интеграл и его приложения» |
|
203 |
|
|
|||||||||
|
Свойства площадей многоугольников |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 34 |
|||
|
|
Свойство |
|
|
Иллюстрация |
|
|||||||
|
Равные многоугольники имеют равные |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
площади. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если многоугольник составлен из не- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
скольких многоугольников, то его пло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
щадь равна сумме площадей этих мно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
гоугольников. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь квадрата со стороной, равной |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
единице длины, равна единице площа- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ди. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площади плоских фигур |
|
Таблица 35 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Фигура |
|
Иллюстрация |
|
Формула площади |
|
|||||||
|
Треугольник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = 1 b h , S = 1 absin C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
b |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Трапеция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
a + b h |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Круг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = πR2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тест для диагностики готовности к изучению темы «Интеграл и его приложения»
1.Каков закон прямолинейного равномерного движения точки, если ее скорость равна 2, а координата в начальный момент времени t = 0 равна –3?
3 – 2t. Б. х = –2 + 3t. В. х = 2 – 3t. Г. х = –3 + 2t.
Неравномерно относительно переменной t изменяется вели- чина ...
А. I = I0t .
В. ρ = ρ0 (t − t0 ) .
3. Материальная точка движется вдоль координатной прямой по закону х = –2sin t + t, где х — координата точки, t — время (t ≥ 0). Какова скорость точки в момент времени t = p?
А. 0. Б. 3. В. –3. Г. –1.
4. При нагревании тела его температура изменяется по закону |
||||
|
T = 0,5t + 2, где T — температура, K, t — время, с. С какой ско- |
|||
|
ростью нагревается тело? |
|
В. 0,5t K/c. |
|
|
А. 2 K/c. |
Б. 0,5 K/c. |
|
|
|
Г. Определить невозможно. |
|
|
|
5. |
Тело движется вдоль координатной прямой по закону х = |
|||
|
1 |
|
|
|
|
= 2 t2 – 4t + 5. В какой момент времени его скорость равна нулю? |
|||
|
А. t = 2. |
Б. t = 1 . |
В. t = 4. |
Г. t = 1. |
6. |
|
2 |
|
|
На рисунке изображены графики фун- |
||||
|
кций у = f(x) и у = g(x). Какая из функций |
|||
|
имеет большую скорость изменения в точ- |
|||
|
ке х = 2? |
Б. y = g(x). |
|
|
|
А. y = f(x). |
|
|
В. Скорости равны.
Г. Определить невозможно.
Тест для диагностики готовности к изучению темы |
205 |
7.Какая из функций f(x) = 2x или g(x) = х2 имеет большую ско- рость изменения в точке х = 12 ?
А. у = f(x). Б. у = g(x).
Имеют одинаковые скорости. Г. Определить невозможно. Укажите среди приведенных функцию, производная которой равна производной функции у = f(x), если С – произвольное число.
|
А. y = С f(x). |
Б. y = –f(x). |
В. y = f(x) + С. Г. y = |
f (x) |
. |
||||||
|
|
||||||||||
9. |
Сколько функций имеют одну и ту же производную? |
C |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
А. |
Одна. |
Б. Две. |
|
|
|
В. |
Три. |
|
|
|
|
Г. |
Бесконечное множество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Если на некотором промежутке производная тождественно |
||||||||||
|
равна нулю, то ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А. |
функция возрастает на этом промежутке. |
|
|
|||||||
|
Б. функция убывает на этом промежутке. |
|
|
|
|
||||||
|
В. функция постоянна на этом промежутке. |
|
|
|
|
||||||
|
Г. |
о поведении функции ничего определенного сказать нельзя. |
|||||||||
11. |
Функция будет возрастающей, если график ее производной |
||||||||||
|
имеет вид ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
Б. |
В. |
|
|
|
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Производной какой физической величины является скорость движения?
Закона движения. Б. Времени. Ускорения движения.
Величины, отличной от приведенных.
Производной какой физической величины является ускоре- ние движения?
Закона движения. Б. Времени. Скорости движения.
Величины, отличной от приведенных.
Чему равна площадь фигуры, затушеванной на рисунке?
1.Б. 2. В. 3.
Ответ отличен от приведенных.
§9. Первообразная
С помощью производной в предыдущем разделе находили скорость движения тела по закону его движения, угловой коэффициент касательной к кривой по уравнению кривой. Однако нередко приходится решать обратные задачи: по известной скорости находить закон движения тела, по угловому коэффициенту касательной к кривой – уравнение самой кривой и т.п. Решение каждой из сформулированных задач сводится к нахождению функции по ее производной. Данный параграф посвящен рассмотрению этой обобщенной задачи.
1. Первообразная функция и ее основное свойство
Нахождение функции по ее производной называ-
ется интегрированием. Интегрирование — опе- рация, обратная дифференцированию. Рассмотрим одну из задач, решаемых с помощью операции интегрирования.
Допустим, что материальная точка движется прямолинейно вдоль координатной прямой со скоростью v = 3t. Нужно найти за- кон ее движения x = x(t), то есть зависимость ее координаты от времени. Известно, что v(t) = x′(t) . Таким образом, необходимо
найти функцию, производная которой равна 3t. Нетрудно видеть, что такой функцией является, например, функция x(t) = 32t2 , так
как x′(t) = 62t = 3t . Однако задача решена не полностью: любая
функция, имеющая вид x(t) = |
3t2 |
+ C , где С — произвольная по- |
|
2 |
|||
|
|
стоянная, также может быть искомым законом движения (про-
верьте!). Чтобы уточнить ситуацию, следует задать дополнитель- ные условия (их еще называют начальными условиями). Например, указывают координату движущейся точки в какой-то момент времени. Допустим, что в момент времени t = 0 точка име-
Первообразная |
207 |
ла координату 1, то есть х(0) = 1. Тогда для нахождения постоян-
ной С имеем уравнение: x(0) = |
3 0 |
+ C = 1, C = 1. Теперь закон |
|
2 |
|
движения определен однозначно: x(t) = 3t2 + 1 .
2
Следовательно, зная производную x′(t) = v(t) функции x(t), мы
нашли саму функцию. Функцию x = x(t) называют первообраз- ной для функции v = v(t).
Обобщим вышесказанное.
Функция у = F(х) называется первообразной для фун- кции у = f(х) на заданном промежутке, если для всех
х из этого промежутка выполняется равенство
F′(х) = f(х).
Например, функция y = cos x – первообразная для функции
y = −sin x на интервале (–∞; +∞), так как (cos x) = − sin x для всех |
|||||
х из этого интервала. |
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Функция F(x) = x |
– первообразная для функции f (x) = |
|
|
||
2 |
x |
||||
|
|
на интервале(0; + ∞) . Однако она не является первообразной для этой функции на промежутке [0; + ∞) , так как равенство F′(х) =f(х)
не выполняется при х = 0.
Задача, решенная в начале данного пункта, показывает, что функция, имеющая первообразную, на самом деле, имеет их бес- конечное множество. Действительно, если у = F(х) — первообраз- ная для функции у = f(х), то все функции вида у = F(х) + С, где С — произвольная постоянная, также являются первообразными для у = f(х). Это можно проверить, используя определение перво образной функции: ( F(x) + C)′ = F ′(x) + (C)′ = f(x) .
Кроме того, если у = F1(х) и y = F2 (x) — две первообразные для
функции у = f(х), то они отличаются некоторой постоянной. Дейст- вительно, производная функции y = F1 (x) − F2 (x) равна нулю:
(F1 (x) − F2 (x))′ = F1′(x) − F2′(x) = f (x) − f (x) = 0 .
Напомним, что если производная функции равна нулю на неко- тором промежутке, то эта функция является постоянной на этом про- межутке. То есть F1 (x) − F2 (x) = C . Этим доказано основное свой-
ство первообразных, которое сформулируем ниже.
208 |
Раздел 4. Интеграл и его приложения |
Теорема (основное свойство первообразных).
Если у = F(х) — первообразная для функции у = f(х) на
некотором промежутке, то существует бесконечное мно- жество первообразных для функции у = f(х) на этом про-
межутке и все они имеют вид:
у = F (х) + С,
где С — произвольная постоянная.
Основное свойство первообразных имеет про- стой геометрический смысл: графики любых двух первообразных для данной функции мож- но получить друг из друга путем параллельного
переноса вдоль оси ординат (рис. 129).
Мы уже видели, что для выделения из мно- жества первообразных какой-то одной необходи- мо задать начальные условия. Например, задать
координату движущейся прямолинейно точки в некоторый момент времени или координаты точки, через которую должен проходить график искомой первообразной.
Пример 1. Для функции у = cos x найдите первообразную, график которой проходит через точку A 6π ; 1 .
Легко заметить, что первообразными для функцииy = cos x бу дутфункцииF(x)=sinx +C,таккак (sin x + C)′ = (sin x)′ + C′ = cos x.
Среди этих первообразных найдем ту, график которой проходит
через точку А, то есть для которой выполняется условие: F π = 1.
6
Для нахождения постоянной С имеем уравнение: sin 6π + C = 1.
Отсюда 12 + C = 1, C = 12 . Итак, искомая первообразная имеет та-
кой вид: y = sin x + 12 . g
Ответ. y = sin x + 12 .
Для последующей работы целесообразно на основе таблицы производных составить таблицу первообразных для элементар- ных функций в области их определения.
Первообразная |
209 |
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
0 |
1 |
|
|
|
xα, α ≠ –1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = F(x) |
|
C |
|
x + |
C |
|
|
xα+1 |
+ C |
ln |x| |
+ C |
|
|
|
x + C |
|||||||||||
|
|
|
|
α + |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
|
sin x |
|
cos x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
ex |
|
|
|
|
ax |
|
||||
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = F(x) |
–cos x + C |
sin x + C |
|
|
tg x + C |
|
–ctg x + C |
ex + C |
|
|
ax |
|
|
+C |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|||||
Проверим некоторые из приведенных формул. Например, фун- |
||||||||||||||||||||||||||
кция у = tg x – одна из первообразных для функции |
|
1 |
|
, так |
||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
′ |
. Правильность остальных формул для первоо- |
||||||||||||||||||||||||
|
= cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||
как (tgx) |
||||||||||||||||||||||||||
бразных проверьте самостоятельно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятие первообразной имеет широкое примене- ние. Оно используется там, где по скорости изме- нения величины нужно восстановить закон изме- нения самой величины. Например, по скорости
прямолинейного движения точки необходимо установить закон движения, по скорости изменения концентрации вещества – за- кон изменения концентрации, по скорости изменения биомассы популяции — закон изменения биомассы и т. п. Решение этих за- дач сводится к отысканию первообразной, удовлетворяющей на- чальным условиям.
Рассмотрим детальнее применение первообразных в механике. Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно по закону x = x(t) под действием силы F(t), направление действия которой совпадает с направлением движения. Такое движение, как известно, описывается вторым законом Ньютона: ma = F, где
а — ускорение движения: a = dvdt . С помощью производной дан-
ный закон можно записать в таком виде: m dv |
= F(t) или |
dt |
|
dvdt = Fm(t) . Отсюда можно восстановить закон ее движения.
210 Раздел 4. Интеграл и его приложения
1. Закон инерции. Пусть материальная точка массой т дви- жется по прямой и на нее не действует сила, то есть F(t) = 0. По второму закону Ньютона ее движение описывают уравнением
m dvdt = 0 , или dvdt = 0 .
Отсюда находим, что v = const, то есть скорость движения — ве- личина постоянная.
Это и есть закон инерции, который утверждает, что тело, на
которое не действует сила, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
2. Вертикальное движение под действием силы притяже-
ния. Пусть тело массой т брошено вверх или вниз с высоты h0 со
скоростью v0. Найдем зависимость скорости и высоты от времени. Направим ось h вертикально вверх. Как известно, на тело дей-
ствует сила притяжения F = –mg, где g ≈ 9,8 м/с2 — ускорение сво- бодного падения. Тогда, по второму закону Ньютона, уравнение движения имеет вид
m dvdt = −mg , или dvdt = −g .
Отсюда v(t) = −gt + C , где С — некоторая постоянная. Для того,
чтобы найти ее, воспользуемся начальными данными: v(0) = v0 , |
||||||||||||||||||||
то есть v(t) = −gt + v0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Теперь найдем зависимость высоты h(t) , на которой находится |
||||||||||||||||||
тело, от времени. Так как h′(t) = v(t), |
то функция h(t) |
является |
||||||||||||||||||
первообразной для |
|
функции |
v(t) = −gt + v0 . |
Таким |
образом, |
|||||||||||||||
h(t) = − |
gt2 |
|
+ v t + C . |
Для нахождения постоянной С используем |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
начальное условие: h(0) = h0 . Поэтому: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) = − gt2 |
+ v t + h . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим частный случай движе- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния, когда тело бросили вертикально |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вверх с |
поверхности |
земли, |
то есть |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 > 0, h0 |
= 0 . Тогда |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) = − |
gt2 |
+ v t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|