2253 ЭИ
.pdf2253
М И Н И С ТЕ Р С Т В О Т Р А Н С П О Р Т А Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц ИИ Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е А Г Е Н Т С Т В О П У Т Е Й С О О Б Щ Е Н И Я
СамГУПС |
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ |
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ |
|
|
|
К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и
Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Е Т Е С Т Ы
Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В З А О Ч Н О Й Ф О Р М Ы О Б У Ч Е Н И Я И Н Ж Е Н Е Р Н О - Т Е Х Н И Ч Е С К И Х
И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С П Е Ц И А Л Ь Н О С Т Е Й ( 1 С Е М Е С Т Р )
z
0
у
x
Cамара
2009
УДК 519.7
Высшая математика : Тренировочные тесты для студентов заочной формы обучения инженерно-технических и экономических специальностей (1 семестр) / А.Д. Бочкарев, Л.В. Кайдалова. − Самара : СамГУПС, 2009. − 40 с.
Утверждены на заседании кафедры, протокол № 4 от 22.12.08.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических и экономических специальностей и охватывают следующие разделы курса высшей математики: абстрактная алгебра, линейная алгебра, аналитическая геометрия, комплексные числа, введение в теорию множеств, математическая логика и введение в математический анализ.
В методических указаниях приведены рабочая программа первого семестра, примеры решения тестовых задач, а также тест для самопроверки.
Рекомендуются студентам инженерно-технических и экономических специальностей заочной формы обучения.
Ил. 17. Табл. 7. Библиогр.: 9 назв.
Составители: |
А.Д. Бочкарев, к. ф.-м. н., доцент, |
|
|
Л.В. Кайдалова, к. ф.-м. н., доцент |
|
Рецензенты: к. т. н., |
доц. СамГТУ |
Егорова Г.Ф., |
к. ф.-м. н., доц. СамГУПС |
Харьковский С.И. |
♥Бочкарев А.Д., 2009 © Кайдалова Л.В., 2009
♥Самарский государственный университет путей сообщения, 2009
2
В В Е Д Е Н И Е
Тесты предназначены для использования в процедурах подготовки и самопроверки студентов заочной формы обучения с целью оценки уровня остаточных знаний по курсу «Математика» за первый семестр.
Уровень сложности заданий и их содержание соответствует требованиям ГОС по математике для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.
Проверочный тест состоит из заданий с выбором одного ответа из пяти предложенных. Классификация уровня сложности заданий – решение типовой задачи (известное сочетание типовых действий).
Алгоритм проверки – за правильный ответ испытуемый получает 1 балл, за неправильный получает – 0,25 балла, за неуказанный ответ – 0 баллов.
Для данного теста установлены следующие критерии перевода тестовых баллов в 4-х балльную шкалу оценок
неудовлетворительно
удовлетворительно
хорошо
отлично
Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А
1 . А Б С Т Р А К Т Н А Я А Л Г Е Б Р А
1.1.Определение и свойства бинарной алгебраической операции.
1.2.Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.
2 . Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
2.1.Определители второго и третьего порядков. Основные свойства определителей, минор и алгебраическое дополнение. Понятие об определителе n-ого порядка и его вычислении.
2.2.Матрицы. Их виды. Алгебра матриц. Обратная матрица.
2.3.Решение систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера и матричным методом.
2.4.Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ методом Га-
усса.
3 . В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А И А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я
3.1.Векторы. Линейные операции над векторами, их свойства. Базис в пространстве, орты, декартова система координат. Направляющие косинусы.
3.2.Скалярное произведение, его свойства, приложения.
3.3.Векторное произведение. Его свойства. Геометрический и механический смысл векторного произведения. Условие коллинеарности векторов.
3
3.4.Смешанное произведение. Его свойства, приложения смешанного произведения.
3.5.Линейные (векторные) пространства. Определения и примеры. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Евклидовы пространства (общие понятия). Норма вектора в евклидовом пространстве; нормирование векторов.
3.6.Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
3.7.Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой. Пересечение прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние от точки до плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых; прямой и плоскости.
3.8.Уравнение линии на плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии.
3.9.Линейные операторы (отображения). Матрица линейного оператора в заданном базисе. Действия с операторами. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.
3.10.Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
3.11.Приведение к каноническому виду кривых второго порядка.
3.12.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Приведение общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду.
3.13.Цилиндрические и сферические координаты.
3.14.Полярная система координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.
4 . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И М Н О Ж Е С Т В
4.1.Понятия множества и подмножества. Операции над множествами.
4.2.Декартово произведение множеств. Мощность множества.
5 . Э Л Е М Е Н Т Ы М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Л О Г И К И
5.1.Понятие о высказывании. Логические операции.
5.2.Булева алгебра высказываний. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Кванторы.
6 . К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А
6.1.Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексного числа на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.
6.2.Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Формула Муавра.
4
7 . В В Е Д Е Н И Е В М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й
АН А Л И З
7.1.Понятие отображения. Числовые функции одной (ФОП) и нескольких переменных (ФНП), вектор-функция скалярного аргумента. Числовая последовательность. Элементы топологии: определение метрического пространства, предел отображения, пределы ФОП и ФНП.
7.2.Функции и графики. Область определения и область значений функции. Способы задания. Основные элементарные функции. Обратные и сложные функции.
7.3.Числовая последовательность. Предел последовательности. Пределы ФОП и ФНП
7.4.Понятие бесконечно малой (БМ) и бесконечно большой (ББ) величин, их свойства. Простейшие свойства пределов. Сравнение БМ и ББ. Свойства эквивалентных БМ и ББ.
7.5.Предельный переход в равенстве и неравенстве. Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Таблица основных эквивалентных БМ.
7.6.Непрерывность отображения. Непрерывность ФОП. Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Непрерывность ФНП.
7.7.Численные методы решения нелинейных уравнений. Отделение корней.
Метод половинного деления, хорд и касательных.
7.8. Интерполяция функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Й Т Е С Т С Р Е Ш Е Н И Я М И П О К У Р С У « М А Т Е М А Т И К А » Д Л Я П Е Р В О Г О С Е М Е С Т Р А 1
№ |
|
З А Д А Н И Е |
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
Множество |
N натуральных |
На множестве N выполнимы только |
|
|
чисел замкнуто относительно |
операции сложения и умножения, так |
||
1. |
операций… |
|
как в результате действия операций вы- |
|
|
1) |
вычитания; 2) сложения; |
читания и деления могут появиться от- |
|
|
3) |
деления; |
4) умножения. |
рицательные и дробные числа. |
|
Бинарная операция сложе- |
|
||
|
ния выполнима и однозначна |
|
||
|
на множестве чисел… |
|
||
2. |
1) |
нечетных натуральных; |
Только для множеств 2) и 4). |
|
|
2) |
натуральных; |
|
|
|
3) |
А= {x : − 1 < x ≤ 3} ; |
|
|
|
4) |
целых. |
|
|
1 Для экономических специальностей в первом семестре дополнительно изучается раздел «Дифференциальное исчисление».
5
№ |
З А Д А Н И Е |
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элемент b M называется симмет- |
||||||||||||
|
Дано множество рациональ- |
ричным элементу a M, если справед- |
||||||||||||||||||||
|
ливо соотношение b o |
a = a o b = e, где |
||||||||||||||||||||
|
ных чисел |
с |
операцией « o» |
е – нейтральный элемент. Во множестве |
||||||||||||||||||
3. |
(умножение) и нейтральным |
Q для бинарной операции умножение |
||||||||||||||||||||
элементом |
1 |
(единица). Эле- |
симметричный элемент а–1 для а ≠ 0 бу- |
|||||||||||||||||||
|
мент, симметричный элементу |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 = 2 |
1 |
= 1 симмет- |
||||||||||
|
1 / 2, равен… |
|
|
|
|
дет |
. Тогда |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ричный элемент равен 2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отношение R называется отношением |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентности, если оно рефлексивно |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(aRa) , симметрично |
(aRb bRa) и |
||||||||||||
|
Свойством |
эквивалентно- |
транзитивно (aRb, bRc aRc) . |
|||||||||||||||||||
|
сти обладает бинарное отно- |
|
В 1) не выполняется условие рефлек- |
|||||||||||||||||||
|
шение… |
|
|
|
|
|
сивности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
В 2) все три условия выполняются. |
|||||||||||||||
4. |
1) иметь разный рост; |
|
||||||||||||||||||||
|
В 3) не выполняются условия рефлек- |
|||||||||||||||||||||
|
2) быть подобным; |
|
||||||||||||||||||||
|
сивности и симметричности. |
|||||||||||||||||||||
|
3) быть отцом; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
В 4) не выполняется условия рефлек- |
|||||||||||||||||
|
4) быть перпендикулярным. |
|
||||||||||||||||||||
|
сивности |
( aRa ) |
и |
|
транзитивности |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( aRb, bRc aRc ). Так что только от- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ношение «быть подобным» есть отно- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шение эквивалентности. |
|||||||||||||
|
Дана матрица |
|
|
|
|
Элемент а21 расположен на пересече- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
нии второй строки и первого столбца, |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
− 1 |
2 |
т.е. а21 = 0. Минор элемента а21 равен |
||||||||||||||||
|
|
|
|
− 1 |
2 |
|
. Тогда алгебраическое допол- |
|||||||||||||||
5. |
А = |
0 |
4 |
3 . |
|
7 |
− 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нение равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
− 2 |
|
|
− 1 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
Алгебраическое дополнение |
|
|
|
|
|
(–1) |
|
, |
|||||||||||||
|
элемента а21 равно… |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
− 2 |
|
||||||||||
|
так как (–1)2 + 1 = –1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Определитель |
|
|
|
|
Разложим определитель по элементам |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
второй строки, |
так |
как в этой строке |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
b2 |
0 |
|
|
только один отличный от нуля элемент |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
c1 |
0 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
№ |
З А Д А Н И Е |
Р Е Ш Е Н И Е |
|
равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
= b2 |
|
3 1 |
|
|
= b (3c − c ) = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 b |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
с1 |
с3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
0 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3b2c3 – b2c1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим определитель разложением |
|||||||||||||||||||
|
Определитель |
|
|
|
|
|
по элементам второго столбца и далее |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
по элементам третьего столбца |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 5 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
|
|
2 3 5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
1 2 0 |
= |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
3 |
5 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
0 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9(1 5 − 3 2) = −9 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Разложение удобно осуще- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствлять по строке (столбцу), содержа- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щей наибольшее количество нулей. |
|
||||||||||||||||||||
|
Если |
|
|
|
−1 |
|
2 |
и |
|
|
Найдем сначала 2А: 2А = |
− 2 |
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 − |
|
|
8. |
|
|
|
|
− 5 |
|
|
Далее вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|||||||||||||
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
B = |
|
|
, то С = 2А + В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
3 |
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С = 2А + В = |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
имеет вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
− 8 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Протранспонируем матрицу А, т. е. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строки заменим столбцами (с теми же |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
номерами) |
T |
|
|
−1 |
2 |
. |
Умножение |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
A |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Если |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
возможно, поскольку число |
столбцов |
||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||||||||||||||||||
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
первой матрицы равно числу строк вто- |
|||||||||||||||||||||||
|
, то AT C равно… |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
C = |
|
|
|
рой; в результате умножения получается |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
матрица порядка 2 × 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 5 1 |
|
− 5 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AT C = |
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 2 |
|
|
5 −1 |
||||||||||||
|
Обратная |
матрица |
A–1 |
для |
|
|
Матрица А имеет обратную, так как |
||||||||||||||||||||||||
|
определитель det A = 2 ≠ 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
10. |
матрицы |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
Найдем |
транспонированную матрицу |
|||||||||||||||||||
|
A = |
|
равна… |
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
AТ |
, а затем союзную, состав- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
№ |
З А Д А Н И Е |
|
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ленную из алгебраических дополнений |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
АТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
1 |
~ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
A |
= |
|
|
|
|
|
|
A = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 − 2 |
|
2 |
|
|
|
−1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2,5 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
3 |
|
|
|
|
− |
|
|
1,5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Из определения ранга матрицы следу- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
а) ранг m × n матрицы А не превосхо- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дит меньшего из ее размеров, т. е. rang A |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
≤ min (m, n); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ранг матрицы |
|
б) rang A = 0 тогда и только тогда, ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
гда |
все элементы матрицы равны 0, т. е. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
6 |
− 5 |
0 |
А = О; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. |
|
в) для квадратной матрицы n-ого по- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
0 |
0 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
рядка rang A = n тогда и только тогда, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
когда матрица А невырожденная (det A ≠ |
||||||||||||||||||||||||||
|
равен... |
|
|
|
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном примере rang A ≤ min (2, 4) = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2. Проверим, существует ли отличный |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
от нуля минор 2 порядка: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
= −3 6 = −18 ≠ 0 |
rang A = 2. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Если (x0, y0) – решение сис- |
По формулам Крамера |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
темы |
линейных |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x + 2 y = −3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(СЛУ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
= |
|
х |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3x + 2 y = 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
то х0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
может определяться по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
формуле… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если (x0, y0) – решение СЛУ |
Найдем решение СЛУ. Для этого из |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + 2 y = −3; |
второго |
уравнения |
|
|
вычтем |
почленно |
||||||||||||||||||||||||
|
|
первое, получим уравнение относитель- |
||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
3x + 2 y = 5, |
но х и решим его: 2x = 8 x = 4 . Под- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ставим полученное значение в первое |
||||||||||||||||||||||||||
|
то x0 + y0 равно… |
|
уравнение |
|
|
системы |
|
|
|
и |
получим: |
8
№ |
З А Д А Н И Е |
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + 2 y = −3 |
y = −3,5 . Таким образом, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 4, у0 = –3,5 |
x0 + y0 = 0,5. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛУ не имеет решений, если |
= 0 , |
|||||||||||||
|
Дана СЛУ |
|
|
|
|
|
x ≠ 0 , |
|
|
у |
≠ 0 . Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 − 5 |
|
= 10 + 5а = 0 а = −2 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x − 5y = 1; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14. |
|
|
|
аx + 5y = −2. |
При этом |
1 − 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Система не имеет решений |
|
x |
= |
|
|
= 5 − 10 = −5 ≠ 0 , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
при а равном… |
|
|
|
|
у |
= |
|
|
2 |
|
1 |
|
= −4 + 2 = −2 ≠ 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим расширенную матрицу |
||||||||||||||
|
В СЛУ |
|
|
|
|
|
|
|
1 − 3 −1 − 2 1 |
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
− 2 |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
0 rang A= |
||||||||||
|
x1 |
− 3x2 |
− x3 |
− 2x4 |
+ x5 = 0, |
|
0 0 |
|
|
2 |
1 − 4 |
|
0 |
|
||||||||||||
|
x |
2 |
+ x |
− 2x |
4 |
+ x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
= 3 каждую из троек переменных |
||||||||||||||||
15. |
2x |
|
+ x |
|
− 4x |
= 0 |
|
|||||||||||||||||||
3 |
4 |
|
можно брать за базисную (соответст- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
базисными |
|
(несвободными) |
вующие им миноры матрицы не равны |
||||||||||||||||||||||
|
|
0) С53 = 10 (х1, х2, х3), (х1, х2, х4), (х1, |
||||||||||||||||||||||||
|
переменными |
|
|
можно счи- |
х2, х5), (х1, |
х3, х4), |
(х1, |
х3, |
|
х5), (х1, |
х4, х5), |
|||||||||||||||
|
тать… |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х2, х3, х4), (х2, х3, х5), (х2, х4, х5), (х3, х4, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система имеет бесчисленное множе- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ство решений, так как |
rang A = rang B = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 < n = 4 (n – число неизвестных). Всего |
||||||||||||||
|
Число |
базисных |
решений |
групп переменных по 2 из четырех |
||||||||||||||||||||||
|
шесть: (х1, х2), (х1, х3), (х1, х4), (х2, х3), (х2, |
|||||||||||||||||||||||||
|
системы |
|
|
|
|
|
|
|
х4), (х3, х4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16. |
x |
|
+ 3x |
+ 2x |
|
+ 3x = −1, |
Только 3 из них (х1, х2), (х2, х3), (х2, х4) |
|||||||||||||||||||
|
|
можно выбирать за базисные (миноры |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
||||||||||||||||||||
|
2x1 + 5x2 + 4x3 + 6x4 = 0 |
матрицы системы при них соответствен- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но не равны нулю). Полагая в общем |
||||||||||||||
|
равно… |
|
|
|
|
|
|
|
решении при каждом выборе базисных |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
переменных равными нулю свободные |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменные, получаем одно базисное |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение. Таким образом, система имеет |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
три базисных решения. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
№ |
З А Д А Н И Е |
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
Базисное решение системы |
Если базисные переменные – х1, х4, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
свободные – х2, х3, х5, тогда, полагая х2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
− x + 2x − x |
+ x |
|
= 1, |
|
|
|
= х3 = х5 = 0, из системы имеем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
|
− x1 + x2 − 4x3 + 2x4 − 2x5 = 3, |
|
|
х |
− х |
4 |
= 1, |
|
|
|
х |
= 5, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
если в качестве базисных пе- |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ременных взять х1 и х4, име- |
|
− х1 + 2х4 = 3 |
|
|
|
х4 = |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ет вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хбаз = (5; 0; 0; 4; 0). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Число линейно независимых |
Однородная СЛУ имеет |
|
ненулевые |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
решений |
в |
фундаментальной |
решения, так как |
rang A = rang B = 2 < n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
системе однородной СЛУ |
= 4 (n – число неизвестных). Число ре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + x |
+ x + x |
− x |
|
= 0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
шений в фундаментальной системе рав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 0 |
но разности между числом неизвестных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
при каждом из выборов базис- |
и рангом матрицы n – rang A = 5 – 2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ных переменных равно… |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Собственные значения |
|
λ |
|
линейного |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора |
~ |
|
, заданного матрицей |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Собственные |
значения соб- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ственных векторов линейного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
преобразования, |
|
|
заданного в |
есть корни характеристического уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
некотором |
базисе |
матрицей |
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
A = |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 − λ |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
, могут быть най- |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 − λ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
дены по формуле… |
|
|
|
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− λ |
2 |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Даны векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a = i − j + k |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= 6i − 2 j + 4k |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
20. |
и b = |
3i − j + 2k . Тогда ли- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
нейная |
комбинация |
|
a − 2 |
|
|
|
|
|
a − 2b = − 5i + j − 3k |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
этих векторов равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Координаты и длина вектора |
|
|
= (− 4, 5, − 3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
A1A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
A1A2 |
, |
если А1(4, 2, 5), |
= (− 4)2 + 52 + (− 3)2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
50 = 5 2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
А2(0, 7, 2), равны… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
Даны вершины треугольни- |
Координаты точки D (середина отрез- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ка |
АВС: |
|
А(3, |
4), |
|
В(–3, 4), |
10