MU_samostoyatelnoy_rabote
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Кубанский государственный технологический университет»
Кафедра электротехники и электрических машин
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ
Методические указания по самостоятельной работе для студентов очной формы обучения направления
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника
Краснодар
2015
Составители:
канд. техн. наук, доц. И. Н. Автайкин, канд. техн. наук, доц. Я. М. Кашин
Численные методы расчета электрооборудования: методические указания по самостоятельной работе для студентов очной формы обучения направления 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника / Сост.: И.Н. Автайкин, Я.М. Кашин; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. электротехники и электрических машин. - Краснодар: 2015.-42с.
Изложены цели и задачи изучения дисципилны, программа дисциплины, теоретический материал, содержащий пояснени, порядок и методы выполнения самостоятельных работ, примеры задач с примерами решения, вопросы для самоподготовки.
Ил.27, Табл. 11, Библиогр. 5 назв.
Рецензенты: доц. каф. ЭиЭМ, канд. техн. наук, А.М. Квон доц., канд. техн. наук, зам директора ЗАО Спецэнергостроймонтаж" И.В. Лежепѐков
2
Содержание
Введение………………………………………………………………… 4
1.Цели и задачи дисциплины……………………………………………. 5
2.Программа дисциплины……………………………………………….. 5
3. |
Теоретические сведения и примеры решения задач………………… |
6 |
4. |
Вопросы для самоподготовки................................................................ |
41 |
5. |
Список литературы……………………………………………………. |
42 |
3
Введение
Инженерные и научные задачи часто приводят к решению различных уравнений или систем уравнений, описывающих поведение параметров объекта, например, электрический ток через поверхность проводника, магнитные потоки через сечение магнитопровода. Совокупность всех уравнений и дополнительных условий, которым должно удовлетворять решение, называется математической моделью. Найти решение сложных моделей можно только с использованием современных быстродействующих ЭВМ. Решение сложной математической задачи на ЭВМ. Даже для того чтобы воспользоваться стандартной программой, нужно иметь представление о существующих методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования. Все математические задачи классифицированы, в некоторые группы. Для каждой группы задач существует набор стандартных методов.
Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и приближенные. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число операций, однако их можно использовать только для решения уравнений специального вида. В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к точному решению.
Использование ЭВМ выдвигает дополнительные требования к алгоритму нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым, реализуемым и экономичным. При этом надо иметь в виду, что время приближенного решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение.
В изучаемом курсе познакомимся с основными методами, используемыми для решения различных математических задач. Первым рассматриваемым классом задач будут нелинейные алгебраические уравнения. Потом научимся решать системы линейных алгебраических уравнений и обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенно находить производные и интегралы, а также познакомимся с основными понятиями интерполяции (приближения) функций. Каждая тема, кроме теоретического материала, содержит примеры использования методов для решения конкретных задач, описания основных вычислительных алгоритмов, тексты программ реализованы в пакете Mathcad.
4
1. Цели и задачи дисциплины
Курс «Численные методы расчета электрооборудования» ставит своей целью дать будущему специалисту электротехнического направления навыки и умение самостоятельно и эффективно применять методы математического моделирования при описании и исследовании различных электротехнических объектов, подготовить к изучению таких спецкурсов, как «Надежность электрооборудования предприятий и учреждений», «Теория автоматического управления».
Перед студентами, изучающими дисциплину «Численные методы расчета электрооборудования», ставятся следующие задачи:
-изучение основных принципов построения и реализации математических методов и моделей электротехнического оборудования;
-изучение основных принципов анализа и обработки результатов экспериментов;
- изучение методов исследования электротехнического оборудования в переходных режимах с применением вычислительной техники.
2. Программа дисциплины
Дисциплина «Численные методы расчета электрооборудования» изучается в пятом семестре. Дисциплина состоит из семи разделов:
Решение нелинейных уравнений
Основные понятия и методы решения нелинейных уравнений. Условия сходимости решения и ограничения накладываемые на функцию. Литература: [1, c. 4-36].
Интерполирование
Основные методы интерполирования результатов эксперимента. Локальная интерполяция. Глобальная интерполяция.
Литература: [4, c. 10-55], [3, c. 80-105],
Численное интегрирование
Методы прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона).
Литература: [2, c. 36-90], [4, c. 25-53],
Численное дифференцирование
Основные методы численного решения однородных дифференциальных уравнений: Метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера – Коши, Метод Рунге-Кута.
Литература: [1, c. 100-130], [5, c. 22-45].
5
3. Теоретические сведения и примеры решения задач
Решение нелинейных уравнений
Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)
Допустим, что на отрезке [а,b], расположено искомое значение корня х=с, т. е. с ϵ [а,b]. В качестве начального приближения корня с0 принимаем середину этого отрезка:
a + b с = 2
Далее исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [а, со] и [со,b], т.е. в точках а, со, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; Допустим, что нам удалось найти отрезок [а,b], на котором расположено искомое значение корня поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [a1,b1]. Вторую половину отрезка [а,b], на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка
с = a1 + b1 |
|
1 |
2 |
|
|
и т. д. |
|
Таким образом, k-е приближение вычисляется как
сk = |
ak + bk |
|
2 |
||
|
После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k - итераций он сокращается в 2к раз:
b − a bk − ak = 2k
Иллюстрация данного метода приведена на рисунке 1.
Процесс вычислений завершается, когда длина текущего интервала становится меньше заданной величины точности - нахождения корня.
6
Рисунок 1.1 Графическая интерпретация нахождения корней
Пример
Методом половинного деления уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,4; 1с точностью до 0,001.
= 4 + 2 3 − − 1 = 0
Рисунок 3 Зависимость
Последовательно имеем:
x0 =0.4; f(0) = - 1.246; x1 =1; f(1) = 1;
7
|
|
|
= |
|
0 + 1 |
= |
|
0.4 + 1 |
= 0,7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f(0,7) = - 0.774; |
||||||||||
|
|
|
= |
1 + 2 |
|
= |
1 + 0,7 |
= 0,85 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f(0,85) = - 0,1; |
||||||||||
|
|
= |
1 + 3 |
= |
1 + 0,85 |
= 0,925 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f(0,925) = + 0,39; |
||||||||||
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг |
х |
f(x) |
|
|
|
|
|
|
Ошибка ɛ |
|
||||||
1 |
0.4 |
- 1.246 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
-0.6 |
|
|
|
|
|||
3 |
0.7 |
- 0.774 |
|
|
|
|
|
-0,3 |
|
|
|
|
||||
4 |
0.85 |
- 0.1 |
|
|
|
|
|
|
0,075 |
|
|
|
|
|||
5 |
0.925 |
0.39 |
|
|
|
|
|
|
0,0375 |
|
|
|
|
|||
6 |
0.8875 |
0.131 |
|
|
|
|
|
|
-0,0188 |
|
|
|
|
|||
7 |
0.8687 |
0.012 |
|
|
|
|
|
|
0,009325 |
|
|
|
|
|||
8 |
0.859375 |
- 0.044615 |
|
|
0,004625 |
|
|
|
|
|||||||
9 |
0.8640 |
-0.017 |
|
|
|
|
|
-0,0023 |
|
|
|
|
||||
10 |
0.8663 |
-0.0023 |
|
|
|
|
0,00088375 |
|
x = 0.8663
Метод секущих (хорд)
В этом методе кривая f(x) заменяется прямой линией – хордой, стягивающей точки (a, f(a)) и (b, f(b)). В зависимости от знака выражения f(a)*f //(a) метод хорд имеет два варианта, изображенных на рис. 1.2 а, б.
8
а) б)
Рисунок 1.2 Графическая интерпретация метода хорд: а) F(a)F //(a)>0 б)
F(a)F //(a)<0
Пусть f(a)*f//(a)>0 (рис.2а). Тогда x0=b, точка a будет оставаться неподвижной. Следующее приближение x1 находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки (a, f(a)) и (x0, f(x0)) с осью x.
В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2):
= |
+ |
2 |
− 1 |
( − ) |
|
|
|||
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
− 1 |
Таким образом, для f(a)*f//(a)>0 точка пересечения хорды с осью x:
( 0 − )1 = − 0 −
На следующей итерации в качестве x0 надо взять вычисленное значение x1.
( − )+1 = − −
Пусть теперь f(a)f //(a)<0 (рис.2б). Тогда x0=a, точка b неподвижна. Проведем хорду, соединяющую точки (b, f(b)) и (x0, f(x0)):
= |
+ |
− 0 |
( − ) |
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
− 0 |
Вычисляем точку пересечения хорды с осью x: .
1 |
= 0 |
− |
0 |
( − 0) |
|
|
− 0 |
||||
|
|
|
На следующей итерации в качестве x0 надо взять вычисленное значение x1
|
|
|
( − ) |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
||
+1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
Повторять операцию следует до тех пор, |
пока xi-xi-1< не станет меньше |
|||
|
|
9 |
|
|
или равно заданному значению погрешности.
Пример
Методом секущих (хорд) уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,1с точностью до 0,001.
= 4 + 2 3 − − 1 = 0
Решение:
0 = −1; 1 = 1; / = 4 3 + 6 2 − 1 > 0 при 0,1
следовательно, на отрезке 0.4,1 расположен один корень.
Воспользуемся формулой
−= − −
1 |
= − |
− |
|
= 0.4 − |
1 − 0.4 |
= 0.733 |
||
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
1 − (−1.246) |
|||||
|
|
|
|
1 = 0.733 = −0.657
− 12 = 1 − − 1 1 = 0.839
2 = −0.16232
− 23 = 2 − − 2 2 = 0.86148
3 = −0.03201
10