- •1. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры.
- •2. Функция распределения и плотность вероятности 2-мерной случайной величины, их свойства, примеры.
- •3.Числовые характеристики 2-мерной случайной величины и свойства этих характеристик. Примеры.
- •4. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •5. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •6. Генеральная совокупность. Выборки и способы их получения. Репрезентативная выборка.
- •7. Точечные статистические оценки неизвестных параметров генеральной совокупности и их свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •8. Метод наибольшего (максимального) правдоподобия, алгоритм нахождения точечной оценки с его помощью.
- •9. Выборочная средняя как точечная оценка генеральной средней, ее несмещенность и состоятельность.
- •10. Выборочная дисперсия как точечная оценка генеральной дисперсии, ее смещенность и состоятельность. Несмещенная оценка генеральной дисперсии.
- •12. Интервальная оценка мат. Ожидания нормально распределенного признака при известном среднем квадратическом отклонении.
- •13. Определение необходимого объёма повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней.
- •14. Статистическая проверка статистических гипотез. Виды гипотез, ошибки первого и второго рода. Критическая область и область принятия гипотезы, определения, примеры.
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •16. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормальной совокупности (распределение «хи-квадрат»).
- •17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.
- •18. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •19. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессий. Выборочная ковариация.
- •20. Оценка тесноты связи. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
1. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры.
Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения.
Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х1 – температура, Х2 – давление, Х3 – влажность воздуха, Х4 – скорость ветра. Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости .
Пример 1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы
Y X |
2 |
5 |
7 |
-1 |
0,11 |
0,13 |
0,23 |
3 |
0,1 |
0,12 |
0,09 |
4 |
0,11 |
0,08 |
0,03 |
Решение. Так как
-1 |
3 |
4 |
0,47 |
0,31 |
0,22 |
Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y:
2 |
5 |
7 |
0,32 |
0,33 |
0,35 |
Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y.
Пример 2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл., найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что .
Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам
, .
Тогда
а) , ,
.
Условный закон распределения Х при условии имеет вид
-1 |
3 |
4 |
0,394 |
0,364 |
0,242 |
Контроль: .
б) Аналогично находим условный закон Y при условии .
2 |
5 |
7 |
0,5 |
0,364 |
0,136 |
Контроль: .
2. Функция распределения и плотность вероятности 2-мерной случайной величины, их свойства, примеры.
Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.
где
X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:
где вероятность суммируется для всех xi < x и yi < y.
Свойства функции распределения двумерной случайной величины.
1.Функция 0 ≤ F(x,y) ≤ 1, т.е. величина неотрицательная меньше 1.
2.Функция F(x,y) есть возрастающая функция по каждому из аргументов.
3.Функция распределения F(x,y) = 0, если хотя бы один из аргументов x или y стремится к минус бесконечности.
4.Функция F(x,y) равна функции от одного аргумента F(x) (F(y)), если y (x) стремится к бесконечности.
5. Функция F(x,y) равна 1, если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности.