КИС_ЛР#1_01

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 ТЕМА: ОБЪЕМНО-КАЛЕНДАРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ (ОКП)

Целью планирования является получение минимальных суммарных издержек при полном (возможно построение моделей и при частичном) удовлетворении спроса в каждом отрезке планового периода и соблюдении ряда ограничений: по ресурсам, технологических ограничений и уравнений материального баланса для смежных отрезков (подробнее об этих уравнениях ниже).

В качестве целевой функции в задачах ОКП могут использоваться либо сумма издержек за весь плановый горизонт, либо сумма прибыли от реализации продукции, произведенной в соответствии с полученным планом. Будем считать, что издержки складываются из издержек на собственно производство и на хранение продукции.

Сначала рассмотрим вариант, когда целевая функция – это суммарные издержки. Введем обозначения:

– объем выпуска на -м отрезке планового горизонта;– уровень запасов в конце отрезка ;

Ct(xt,st) – зависимость общих издержек (на производство и хранение продукции) от объема производства и уровня запасов на отрезке t.

Наличие индекса t у функции С предполагает возможность того, что эти функции могут быть различными для различных отрезков, например из-за возможных изменений конъюнктуры на рынках используемых ресурсов (сырье, комплектующие, энергия и т. п.). Чаще всего эта функция представляется суммой затрат на производство и на хранение:

Ct(xt,st) = Ct(xt) + ft(st),

где Сt(xt) – производственные затраты, ft (st) – затраты на хранение.

В простейшем случае затраты на хранение пропорциональны уровню запасов в каждом отрезке:

ft(s t) = h s t ,

где h – коэффициент пропорциональности, то есть затраты на хранение единицы продукции в течение одного отрезка.

Критерий оптимальности плана F (целевая функция) формулируется очевидным образом:

F(x1,x2,…xN,s1,s2,…sN) = C1(x1,s1) + C2(x2,s2) +…+CN(xN,sN) ,

где N – число отрезков (недель, декад или месяцев) в плановом горизонте.

Если в качестве критерия оптимальности принять суммарную прибыль, то целевая функция примет иной вид:

где v1 , v2, ...vN - объемы продаж;

P , P ,...P - цены продажи.

1 2 N

Специфическими для задач ОКП являются ограничения, связывающие объемы выпуска, объемы продаж и уровни запасов. Вид этих ограничений зависит от принятых соглашений о формах удовлетворения спроса. Приведем вид этих ограничений для некоторых основных форм.

1. Спрос удовлетворяется полностью в каждом отрезке планового горизонта.

Переменные, определяющие объемы выпуска и запасы на смежных отрезках, являются взаимозависимыми, так как связаны следующими соотношениями материального баланса:

st = st – 1 + xt - dt , t = 1, 2, … N ,

где dt – спрос на t-м отрезке;

st - уровень запасов в конце отрезка;

xt - объем выпуска на t-м отрезке планового горизонта.

Они имеют следующий простой смысл: запас в конце любого отрезка равен запасу, перешедшему с предыдущего отрезка, плюс выпуск и минус спрос на этом отрезке.

2. Спрос в каждом отрезке может удовлетворяться не полностью, неудовлетворенная часть спроса теряется:

st = st – 1 + xt -vt , t = 1, 2, … N ,

где v1 , v2, ...vN - объемы продаж, для которых должны выполняться неравенства:

21

vt <= dt, t = 1, 2, …N

- объем продаж в каждом отрезке не может превышать спроса.

Эти ограничения могут быть дополнены ограничениями на объем продаж снизу.

Спрос в каждом отрезке может удовлетворяться не полностью, неудовлетворенная часть спроса (дефицит) должна удовлетворяться в последующих отрезках планового горизонта.

В этом выражении si,t представляет уровень запасов компонента i , а si,t - уровень дефицита в

отрезке t. Обе переменные имеют только неотрицательные значения, и в целевой функции издержки содержания запасов и за счет дефицита имеют вид:

Wi - штраф за задержку одной единицы продукта i в течение одного отрезка.

Многопродуктовые модели ОКП

Главной особенностью многопродуктовых моделей ОКП является запись уравнений баланса запасов для многостадийных производств. Эти уравнения должны быть записаны для каждого продукта и каждого полуфабриката. Если полуфабрикат не имеет внешнего спроса, то есть не продается отдельно, то спросом на него является потребность со стороны следующей стадии производства, куда этот полуфабрикат передается для последующей обработки. Тогда уравнения баланса запасов для двух смежных стадий имеют следующий вид:

s1,t = s1,t-1 + x1,t – x2,t+LT

s2,t = s2,t-1 + x2,t – d2,t , t = 1, 2, … N

где s1,t – запас полуфабриката (на предыдущей стадии) в отрезке t; s2,t - запас продукта на следующей стадии;

x1,t - объем выпуска полуфабриката на t-м отрезке планового горизонта; x2,t – объем выпуска продукта на t-м отрезке планового горизонта;

d2,t – спрос на продукт в t-м отрезке; LT – время изготовления продукта.

В этих равенствах спросом на полуфабрикат в отрезке t является объем выпуска продукта в отрезке t+LT. Это связано с тем, что к моменту начала производства продукта должны быть в наличии все компоненты, входящие в продукт. В данном случае предполагалось, что на одну единицу продукта требуется одна единица полуфабриката. Если это не так, в качестве спроса на полуфабрикат берется объем выпуска продукта, умноженный на соответствующий коэффициент.

Применение метода динамического программирования для задач ОКП

Рассмотрим задачу ОКП одного вида продукции на N временных отрезках. Затраты на единицу продукции зависят от объема выпуска в каждом отрезке. Запланированная производственная программа должна обеспечивать удовлетворение спроса на всех отрезках и минимизировать сумму затрат на производство и хранение продукции на всех отрезках. Введем обозначения:

xt - выпуск продукции на отрезке t;

st – уровень запасов на конец отрезка t;

Dt – спрос на отрезке t, все Dt >= 0 и заданы;

Ct (xt , st ) – затраты на выпуск и хранение продукции на отрезке t.

Чтобы избежать усложнений, связанных с интерполяцией, будем считать переменные s, x, и D целочисленными. Будем также считать, что значения s для t=1 и t=N заданы.

В задаче о маршрутах использовалась нумерация этапов «от конца» – введем ее и здесь.

dn – спрос на отрезке, отстоящем на n отрезков от конца, включая и рассматриваемый; например, если N=4, то d4 – это спрос в январе, а d1 – в апреле;

cn(x, s) – затраты на том же отрезке на выпуск x единиц продукции и хранение запасов, равных s на конец отрезка.

Как и в задаче о маршрутах, введем функцию fn, равную суммарным затратам на n оставшихся отрезках, при условии применения на них оптимальной стратегии. Очевидно, она будет зависеть от

22

состояния системы, которое в данной задаче – это уровень запасов на начало отрезка n. В то же время функция затрат cn, как указывалось ранее, зависит от уровня запасов на конец отрезка – предполагается, что весь объем продукции производится в начале отрезка, и в этот же момент удовлетворяется спрос. Остаток хранится в течение всего отрезка. Переход от запасов на начало отрезка к запасам на конец отрезка прост:

sn = s + x – dn

где

sn – уровень запасов на конец отрезка n,

s – уровень запасов на начало этого же отрезка, x – объем выпуска на этом отрезке.

Рассуждая аналогично примеру с выбором маршрута, можно утверждать, что согласно принципу оптимальности минимальное значение целевой функции за n отрезков до конца мы получим, если выберем такое значение объема выпуска x на n-ом отрезке, которое обеспечивает минимум суммы затрат на n-ом отрезке и минимальных затрат на остающихся n-1 отрезках:

fn (s) = min {cn(x, s + x – dn ) + fn-1(s + x – dn )},

x

где fn(s) – суммарные затраты на n отрезках при использовании оптимальной стратегии как функция уровня запасов на начало отрезка n. Во втором аргументе функции затрат cn стоит уровень запасов на конец отрезка n по причине, объясненной выше. Это же значение стоит во втором слагаемом правой части, так как оно же является уровнем запаса на начало отрезка n-1.

Алгоритм решения в общем аналогичен предыдущему примеру: выбор оптимальных значений x проводится последовательно для n=1, n=2, ….N. На каждом шаге определяются оптимальные значения f и x для всех возможных значений s, и все они запоминаются для использования на следующих шагах. Значения функции f нужно хранить только в течение одного следующего шага (это fn-1 в правой части функционального уравнения), а оптимальные значения x как функции s необходимо запоминать для всех шагов алгоритма. При обратном ходе алгоритма сначала в таблице запомненных значений x находится оптимальное значение х для заданного значения s на начало планового периода, то есть для первого отрезка, считая теперь с начала. Затем по уравнениям материального баланса находится уровень запасов на конец рассматриваемого отрезка при найденном значении объема выпуска x. По полученному значению s в таблице ранее запомненных значений x для этого шага находится оптимальный объем выпуска на втором отрезке от начала. Снова пересчитывается уровень запасов на конец отрезка. Эта процедура повторяется для всех шагов

идает оптимальную последовательность объемов выпуска для заданного начального уровня запасов.

Вэтой части алгоритм мало отличается от предыдущего примера, и, казалось бы, является фактически стандартным. На самом же деле основной частью таких алгоритмов является нахождение (на каждом шаге) экстремума функции при наличии ограничений. Вид функции затрат и ограничений индивидуален для каждой задачи. Так, в данной задаче могут быть в явном виде заданы ограничения на объем выпуска и уровень запасов на каждом отрезке. Но неявно ограничения на эти переменные задаются еще и условием удовлетворения спроса на каждом отрезке и значением запаса на конец последнего отрезка планового периода. Исходя из этих двух условий, можно установить, что x для последнего отрезка однозначно определяется без оптимизации следующим условием:

sN = s + x – DN ,

где

sN - запасы в конце последнего отрезка, s – запасы в его начале,

DN – спрос на последнем отрезке.

Отсюда следует, что x = sN – s + DN . Так как выпуск не может быть отрицательным, то получаем ограничение на уровень запасов в начале последнего отрезка:

s <= sN + DN

На предпоследнем отрезке аналогичными рассуждениями получим:

x >= DN-1 – s,

это следует из s + x – DN-1>=0 (запас в конце предпоследнего отрезка не может быть отрицательным), и

x <= DN + DN-1 + sN – s .

23

Оно означает, что выпуск на предпоследнем отрезке плюс запас в его начале не должен превышать суммарный спрос на двух отрезках плюс планируемый запас на конец периода. В противном случае, даже при нулевом выпуске на последнем отрезке, запас в конце превысит планируемое значение. Отсюда же следует, что, так как оптимальный выпуск может быть равен и 0, то запас в начале отрезка не должен превышать суммарного спроса на последующих плюс запас на конец планового периода. Точно так же могут быть получены ограничения на объем выпуска и запасы для произвольного отрезка. (Сделайте это самостоятельно).

Упражнения

Упражнение 3.1

Требуется построить модель планирования для одного продукта и рассчитать оптимальную производственную программу на четыре отрезка. Начальный запас составляет 5 штук. Учитываются только издержки хранения. равные $1 за штуку на один период, и производственные издержки, которые приведены в таблице. Потребность в каждом периоде должна удовлетворяться полностью.

Таблица 15 –

А) Получите оптимальный план производства.

В) Решите задачу 3.1 допуская отложенный спрос во всех периодах, кроме последнего. Штраф за дефицит принять равным $2.2 за штуку за один период задержки.

С) Добавьте требование минимальной загрузки в основное время – не мене 90% от производительности.

Упражнение 3.2

А) Решите задачу оптимального планирования для одного продукта по минимуму суммы издержек производства и хранения. Данные приведены в таблице.

Таблица 16 –

Дефицит не допускается. Стоимость хранения одной единицы продукции в течение одного периода равна $1.75. Начальный запас равен 20.

В) Решите эту задачу при условии, что запас в конце каждого периода должен быть не менее 100 единиц.

C) Введите в модель возможность задержки в удовлетворении спроса в каждом периоде со штрафом $0.8 за задержку одной единицы на один период. В последнем периоде дефицит не должен превышать 20 единиц.

Упражнение 3.3

Постройте модель оптимального планирования для следующих данных:

24

Число периодов – 4; Спрос по периодам: 45, 80, 60, 20;

Начальная производительность в основное время – 45 единиц за период; Производительность в сверхурочном режиме – 25% от основного режима; Затраты на производство одной единицы в основное время - $800, в сверхурочное - $1000; Затраты на хранение - $12 на единицу за один период.

В любом периоде производительность может быть уменьшена или увеличена. Затраты на увеличение производительности на одну единицу - $240; Затраты на уменьшение производительности не единицу - $100; Дефицит не допускается.

А) Получите оптимальный план. Объясните, почему в оптимальном решении оказалось нецелесообразным уменьшать производительность?

В) Введите затраты на эксплуатацию производственных мощностей, пропорциональные производительности и равные $80 на одну единицу производительности за период.

С) Сравните решения А) и В), объясните причины различий.

Упражнение 3.4

Производство, имеющее сезонный характер спроса, должно принимать решения об объемах выпуска, численности рабочей силы, уровнях запасов и величинах отложенного спроса в каждом периоде. Постройте модель оптимального планирования на 6 недель, используя следующие данные.

Спрос: 650, 700, 800, 900, 800, 700.

Производительность зависит только от численности рабочей силы. Каждый рабочий работает 40 часов в неделю в основное время, и до 8 часов в сверхурочное, если необходимо. Начальная численность рабочих - 90. Заработная плата равна $5 в час в основное время, и $7.5 в сверхурочное. Трудоемкость продукции равна 6 человеко-часам на одну единицу продукции. Все остальные затраты на единицу продукции, кроме заработной платы равны $50.

Заработная плата за основное время выплачивается за 40 часов в неделю независимо от количества произведенной продукции, в сверхурочное время – только за время, затраченное на производство продукции.

Затраты на хранение составляют $0,4 на единицу за период.

Задержка в удовлетворении спроса допускается со штрафом в $1,0 за единицу в неделю, однако величина задержки не должна превышать две недели.

Стоимость найма и обучения одного рабочего равна $240, затраты на увольнение - $180. Считать, что каждый вновь принятый рабочий работает со 100% эффективностью, начиная с периода, в котором он был нанят.

Начальный запас равен 50 единицам. А) Рассчитать оптимальный план.

В) Добавить условие: принятый рабочий проходит обучение в течение двух недель и только после этого приступает к работе. Заработная плата выплачивается с момента приема.

С) Считать, что рабочий, принятый в неделю t, приступает к работе в неделю t+1, но в течение этой недели работает с 50% эффективностью; начиная с недели t+2 он работает со 100% эффективностью.

Упражнение 3.5

Предприятие закупает товар для последующей перепродажи. Спрос и цены даны в таблице:

Таблица 17 –

Начальный запас равен 1100, запас в конце отрезка 6 тоже должен быть равен 1100. Склад вмещает 6000 единиц товара. Цена хранения – 0.5 на единицу за период. Спрос в каждом отрезке может удовлетворяться не полностью. Неудовлетворенная часть спроса теряется.

25

А) Найдите оптимальное решение, максимизирующее прибыль.

В) Задайте стоимость хранения равной нулю. Сравните полученное решение с предыдущим и объясните его структуру.

С) Задайте стоимость хранения равной 1.4. Получите решение и опишите зависимость решения от стоимости хранения.

D) Добавьте условие – товар, закупленный в период t, может быть продан не ранее периода t+1.

Упражнение 3.6

Издержки в каждом отрезке планового горизонта состоят из трех составляющих: А - постоянные (издержки на запуск производства); С – переменные (издержки производства одной единицы продукции);

I – издержки хранения (затраты на содержание одной единицы продукции в запасах в течение одного отрезка).

Значения их приведены в таблице.

Таблица 18 –

Допускается дефицит (отложенный спрос) не более 2 единиц в каждом периоде со штрафом 1.5 за задержку одной единицы продукции на один период.

Запас в начале и в конце планового горизонта равен нулю. Максимальный темп производства – 3 единицы за отрезок. Максимальный уровень запасов в каждом отрезке – 2 единицы. А) Получите оптимальный план производства.

В) Получите оптимальный план, объявив все переменные целыми.

С) Добавьте условие - если в начале отрезка имеются запасы, то производство в этом отрезке равно нулю.

D) Сравните полученные решения.

Упражнение 3.7

В цехе имеется два участка, которые производят два вида продукции – продукт А и продукт В. Спрос на эти продукты задан в таблице:

Таблица 19 –

Периоды

Дефицит не допускается.

Доступное количество часов в каждом периоде равно: Участок 1 – 60; Участок2 – 75.

Заданы производственные издержки на единицу продукции и производительности участков на каждом из продуктов:

Таблица 20 –

26

Издержки хранения равны 1 денежной единице на одну единицу продукта А за один период, и 2 – для продукта В.

А) Построить модель иполучить оптимальный план.

В) Определить узкие места и резервы времени для каждого участка в каждом отрезке. С) Проанализируйте влияние «расширения» узких мест на целевую функцию.

Упражнение 3.8

В условия предыдущего упражнения добавьте возможность запланированной задержки в удовлетворении спроса со штрафом в 0.5 за задержку одной единицы продукта А на один период, и в 0.7 – для продукта В. В последнем периоде дефицит не допускается.

А). Получите оптимальный план для этой ситуации. В). Сравните этот план с полученным в 3.7.

С) Проанализируйте влияние величины штрафа на целевую функцию.

Упражнение 3.9

В условия предыдущего упражнения добавьте следующее: продукт А используется в производстве продукта В в количестве 1 единица продукта А на 1 единицу продукта В.

Получите оптимальный план.

Упражнение 3.10

Производство продукта состоит из двух стадий. На первой стадии производится полуфабрикат, на второй – конечный продукт. Время задержки в производстве для полуфабриката составляет 1 период, для конечного продукта – 0. Это значит, что полуфабрикат, запущенный в производство в периоде t, поступает на склад (может быть использован) в периоде t+1. Конечный продукт может использоваться в том же периоде, в каком он был запущен в производство.

Цена продажи равна 25. Первая стадия имеет только один процесс (источник продукции) вторая - два – это основной и сверхурочный режимы. Затраты на единицу конечного продукта в основном режиме составляют 10, в сверхурочном – 12. В эти затраты уже включены затраты на производство полуфабриката.

Кроме этих затрат производство несет затраты на оплату простоев (только в основное время) и на хранение запасов. Простои оплачиваются в размере 1 за один человеко-час. Максимальное количество человеко-часов в каждом периоде равно:

1000 – в основном режиме;

200 – в сверхурочном.

При этом следует считать, что и на первой и на второй стадиях работают одни и те же рабочие. Трудоемкость единицы продукции:

4 человеко-часа для полуфабриката;

6 человеко-часов для готовой продукции.

Затраты на содержание запасов равны 0,5 на единицу за период для конечного продукта и 0,35 для полуфабриката.

Вся продукция обоих стадий проходит через один и тот же рабочий центр, являющийся узким местом. Максимальное время работы этого рабочего центра равно 170 часов за период в основном режиме и 50 часов в сверхурочном. Затраты времени этого рабочего центра на единицу:

1 час для полуфабриката;

0,7 часа для готового продукта.

Задан спрос на конечный продукт на 4 периода: 90, 110, 160, 140. Допускается потеря части спроса в любом периоде.

Заданы начальные и конечные значения запасов:

начальный запас конечного продукта равен 70, полуфабриката – 0; конечный запас конечного продукта 70, полуфабриката 50.

На отрезке, предшествующем началу планового горизонта, запущенно в производство 30 единиц полуфабриката.

Построить модель оптимального планирования по критерию максимума прибыли и получить решение.

27

Упражнение 3.11

Цех производит два продукта – А и В. Дано:

Таблица 21 –

В каждом периоде возможны сверхурочные работы. Продукт А можно закупать у субподрядчика до 1000 штук за период по цене 10 за штуку. Максимальное количество рабочих часов и производственные издержки приведены в таблице:

Таблица 22 –

Издержки хранения равны 1,5 за штуку за период для А и 0,85 для В. Дефицит на допускается. А) Используя в качестве критерия суммарные издержки, найдите оптимальный план .

В) Добавьте условия:

цена продажи продукта А равна 25, В – 15; потребность в каждом периоде известна с погрешностью и найдите оптимальный план.

Упражнение 3.12

Цех производит два продукта – А и В. Дано:

Таблица 23 –

Таблица 24 –

А) Используя в качестве критерия суммарные издержки, найдите оптимальный план . В) Добавьте условия:

цена продажи продукта А равна 60, В – 150; потребность в каждом периоде известна с погрешностью и найдите оптимальный план.

Упражнение 3.13

Производство выпускает один конечный продукт и состоит из трех последовательных стадий. Затраты, производительность и спрос приведены в таблице.

Таблица 25 –

28

Затраты на хранение продукции на каждой стадии равны 5, 6, и 8 за одну единицу за период. На стадиях 1 и 2 дефицит не допускается. На стадии 3 допускается планирование дефицита с затратами 12 за задержку в поставке каждой единицы продукта на одну неделю. Величина дефицита ни в одном из периодов не должна превышать 100, а в последнем периоде дефицит не допускается.

Продукция стадии 2 может использоваться на стадии 3 только с задержкой в один период. Начальные запасы на всех стадиях, кроме второй, равны нулю, на второй они равны 250. В периоде с номером 0 на стадии 2 было запущено в производство 200 единиц продукции.

Получите оптимальный план, минимизирующий издержки.

Упражнение 3.14

Производство выпускает один конечный продукт и состоит из трех последовательных стадий. Затраты и спрос приведены в таблице.

Таблица 26 –

На стадиях 1 и 2 дефицит не допускается. На стадии 3 допускается планирование дефицита с затратами 1.5 за задержку в поставке каждой единицы продукта на одну неделю. Запасы на стадии 1 не должны превышать 100, на стадии 2 – 50, на стадии 3 – 80.

А) Рассчитайте оптимальный план.

В) Продукция стадии 1 может использоваться на стадии 2 только с задержкой в два периода. За два периода до начала планового горизонта на стадии 1 в производство было запущено 100 единиц продукции. Начальные запасы на всех стадиях равны нулю. Дополните модель и сравните полученные планы.

Упражнение 3.15

Три производственных участка выпускают один конечный продукт. Участок 1 производит полуфабрикат Х, участок 2 – полуфабрикат Y, и участок 3 из этих полуфабрикатов собирает конечный продукт. На одну единицу конечного продукта требуется 2 единицы полуфабриката Х и 3 единицы полуфабриката Y. Дефицит не допускается. Продукция участков 1 и 2 доступна для использования третьим участком в том же месяце, в котором она была запущена в производство. Исходные данные приведены в таблицах.

Таблица 27 –

А) Найдите оптимальный план производства.

В) Определите узкие места и количества ресурсов, оставшихся неиспользованными.

29

Таблица 28 –

Упражнение 3.16

Решите упражнение 3.15, используя в качестве критерия максимум прибыли. Цена продажи конечного продукта равна 160, приведенный в таблице спрос содержит погрешность 25%.

30