Решеные задания / ЛАБ №3
.docxЗАДАЧА №1
Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
РЕШЕНИЕ
Введем полную группу гипотез:
H1 = (Стрелок принадлежал первой группе),
H 2 = (Стрелок принадлежал второй группе),
H3 = (Стрелок принадлежал третьей группе).
По классическому определению вероятности:
12 2 ( 1) 30 5 P H = = , 8 4 ( 2) 30 15 P H = = , 10 1 ( 3) 30 3 P H = = .
Введем событие A = (Стрелок попал в мишень). Выпишем условные вероятности:
P (A|H1) = 0, 6;
P (A|H2) = 0, 5;
P (A|H3) = 0, 7.
Найдем сначала вероятность события A по формуле полной вероятности:
P (A) = P (A|H1) * P (H1) + P (A|H2) * P (H2) + P (A|H2) * P (H2);
Теперь найдем апостериорные вероятности того, что стрелок принадлежал i -ой группе, если он попал в цель, по формуле Байеса.
Таким образом, вероятнее всего стрелок принадлежал первой группе.
ОТВЕТ
первой группе.
ЗАДАЧА №2
В первой и в третьей группах одинаковое число студентов, а во второй – в 1,5 раза меньше, чем в первой. Количество отличников составляет 9% в первой, 4% во второй и 6% в третьей группе. а) Найти вероятность того, что случайно вызванный студент – отличник. б) Случайно вызванный студент оказался отличником. Найти вероятность того, что студент учится в третьей группе.
РЕШЕНИЕ
Введем полную группу гипотез
H1 = {Студент из первой группы},
H2 = {Студент из второй группы},
H3 = {Студент из третьей группы}.
По классическому определению вероятности, учитывая пропорции поставки приборов, можно найти вероятности:
Введем событие A = {Случайной вызванный студент – отличник}. Выпишем условные вероятности:
P (A|H1) =0, 09;
P (A|H2) =0, 04;
P (A|H3) =0, 06.
Сначала найдем вероятность события A по формуле полной вероятности:
.
Найдем апостериорную вероятность того, что студент учится в третьей группе, если он оказался отличником, по формуле Байеса.
ОТВЕТ:
а) Вероятность того, что случайно вызванный студент - отличник P (A) = 0,06625;
б) Вероятность того, что случайно вызванный студент – отличник и учиться в третьей группе
P (H3|A) =0, 3396.
ЗАДАЧА №3
Проводится модернизация выпуска приборной и программной части информационных систем длительное время, находящихся в эксплуатации. На первом этапе выпускается 10% модернизированных информационных систем. Установлено, что вероятность безотказной работы модернизированных систем за время t равна 0,90. Находящиеся в эксплуатации системы характеризуются вероятностью безотказной работы равной 0,8. Информационная система испытывалась в течение времени t и работала безотказно. Определить вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам.
РЕШЕНИЕ
Возможны две гипотезы.
H1 – Информационная система является модернизированной.
H2 – Информационная система не является модернизированной.
Вероятности гипотез до опыта:
P (H1) = 0,1; P (H2) = 0,9.
Из опыта установлено событие А – информационная система испытывалась в течении времени t и работал безотказно. Условные вероятности этого события при гипотезах H1 и H2 равны:
P(A|H1)= 0,90 и P(A|H2)=0,8.
По формуле Бейеса находим вероятность гипотезы H1 после опыта:
P (H1) = 0,1·0,90/(0,1·0,90+0,8·0,9)=0,111.
ОТВЕТ
вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам равна 0,111.
ЗАДАЧА №4
Определить, как изменяется вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам со следующим увеличением их количества в процентах: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Полученные результаты свести в таблицу и отразить графически.
ЗАДАЧА №5
Определить, как изменяется вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам, если выпускается 40% от общего объема систем, а вероятность безотказной работы модернизированных систем за время t равна 0, 91; 0,93; 0,95; 0,97; 0,99 Полученные результаты свести в таблицу и отразить графически.