Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdfРавные векторы называют также свободными.
~Три вектора в пространстве называются комn.1tанарнъ~ми, если
они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли
неарны, то такие векторы компланарны.
5.2. Линейные операции над векторами
liJ Под линейными операциями над векторами понимают операции
сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на
число.
Пусть а и Б - два произвольных вектора. Возьмем произволь
ную точку О и построим вектор ОА = а. От точки А отложим вектор
АВ = Б. Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммоi1 векторов а и Б: ОВ =а+ Б (см. рис. 2).
/~~
О а+Ь В
Рис. 2
Это правило сложения векторов называют правилом треугол:ьника. Сумму двух векторов можно построить также по правu.лу паралле
лограмма (см. рис. 3).
у~
о |
|
,, |
, |
, |
|
|
|||
,, |
, |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис.3
На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, Б и ё.
Б
·~о
Рис. 4
40
Под разностъю векторов а и Б понимается вектор ё = а - Б такой, что Б + ё =а (см. рис. 5).
Б~
оь
Рис. 5
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и
Б, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Б, а
другая - разностью (см. рис. 6).
Б
Рис. 6
Можно вычитать векторы по правилу: а - Б =а+ (-Ь), т. е. вычи
тание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противопо
ложным вектору Б.
~Произведением вектора а на скал.яр (-ч.исJtо) ,\ называется
вектор,\· а (или а· Л), который имеет длину IЛI ·lal, коллинеарен
вектору а, имеет направление вектора а, если ,\ > О и противоположное
направление, если ,\ < О. Например, если дан вектор _lЖ_, то векторы
За и -2а будут иметь вид |
За |
и -2а |
Из определения произведения вектора на число следуют свойства
этого произведения:
1)если Б = ,\ ·а, то Б 11 а. Наоборот, если Б 11 а, (а -:/- О), то при некотором ,\ верно равенство Б = Ла;
2)всегда а = lal ·cfJ, т. е. каждый вектор равен произведению его
модуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свой
ствами:
1. |
а + Б = Б + а, |
4. |
(Л1 + Л2). а= Л1. а+ Л2. а, |
2. |
(а+ Б) + ё = а+ (Б + ё), |
5. |
л · (а+ Б) = л ·а+ л ·Б. |
3. Л1 . (Л2 . а) = Л1 . Л2 . а,
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: ела-
41
гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за
скобки как скалярные, так и векторные общие множители.
5.3. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Пpoeкv,ueiJ, то'ЧКU М на ось l называется основание М1 перпенди
куляра ММ1 , опущенного из точки на ось.
Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей
через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).
111
Рис. 7 |
Рис. 8 |
Если точка М лежит на оси 'l, то проекция точки М на ось совпа дает с М.
Пусть АВ - произвольный вектор (АВ ::/:О). Обозначим через А1
иВ1 проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ
ирассмотрим вектор А1В1.
Пpoeкv,ueiJ, вектора АВ на ось l называется положительное число
IA1B1I, если вектор А1В1 и ось l одинаково направлены и отрицатель ное число -IA1B 11, если вектор А1В1 и ось l противоположно направле
ны (см. рис. 8). Если точки А1 и В1 совпадают (А1В1 =О), то проекция
вектора АВ равна О.
Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр1 АВ. Если
АВ = О или АВ ..l l, то пр1 АВ = О.
Угол r..p между вектором а и осью l (или угол между двумя векто рами) изображен на рисунке 9. Очевидно, О~ r..p ~ 7r.
~ |
||
·dj1 |
-1 |
|
1 |
а |
, |
|
|
1 |
1 |
<р |
1 |
Рис. 9
42
Рассмотрим некоторые основные своi1ства npoeкv,ui1.
Своi1ство 1. Проекция вектора ii на ось l равна произведению мо
дуля вектора ii на косинус угла ер между вектором и осью, т. е. пр1 ii =
= liil . cos ер.
О Если ер = (ii, l) < ~' то пр1 ii =
= +lii1I = liil. cosep.
Если |
ер > ~ |
(ер ~ |
1Г), то пр1 ii = |
|
= -lii1I = |
-liil ·соs(7Г - |
1.р) = liil ·cosep |
.l |
|
(см. рис. 10). |
|
ii=O=lal costp. |
||
Если 1..р= ~' |
то пр1 |
|
||
|
|
|
• |
Рис. 10 |
|
|
|
|
Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицатель
на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю,
если этот угол - прямой.
Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны
между собой.
Своi1ство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту
же ось равна сумме их проекций на эту ось.
О Пусть, например, d = ii+b+c. Имеем пр1 d = +ld1I = +lii1l+lb1l-lc1I,
т. е. ПP1(ii + Б +с) = ПР1 ii + ПР1 Б + ПР1 с (см. рис. 11). •
Своftство 3. При умножении вектора ii на число>. его проекция на
ось также умножается на это число, т. е.
ПР1 (,\ ·ii) = ,\ ·ПР1 ii.
О При>.> О имеем пр1(Л·ii) = IЛiil ·cosep =
|
(свойство 1) |
= |
,\ ·liil ·COS ер = ,\ ·ПР~ ii. |
|
При>.< О: пр1(>. · ii) = IЛiil ·соs(7Г - ер) = |
= |
->. ·liil. (- cosep) = ,\. ii. cosep = ,\. ПР1 ii. |
Свойство справедливо, очевидно, и при >. =
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
- |
а1 • |
• |
Ь1 |
1 ... -- .... • |
----+---- |
|
----- |
|
=0. |
• |
Рис. 11 |
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к со
ответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
43
5.4.Разложение вектора по ортам координатных осеи. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат
Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные век
торы (орты), обозначаемые i, J, k соответственно (см. рис. 12).
z
Мз
у
х
Рис. 12
Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его на
чало с началом координат: а= ОМ.
Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через
конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоско стям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответ ственно через М1 , М2 и М3• Получим прямоугольный: параллелепи пед, одной из диагоналей: которого является вектор 0Nf. Тогда прх а=
= IOM1I, пpyii = IOM2I, прz а= IOMзl· По определению суммы не
скольких векторов находим а = ОМ1 + M 1 N + N М.
А так как M1N = ОЛf2, NM = ОМз, то |
|
а= ОМ1 + ОМ2 + ОМз. |
(5.1) |
Но |
|
ОМ1 = IOM1I · z, ОМ2 = IOM2I · J, ОМз = IOMзl · k. |
(5.2) |
Обозначим проекции вектора а= ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответствен
но через ах, ау и az, т. е. jOM1I =ах, IOM2I =ау, jOMзl = az. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем
J а= ах · z+ ау ·] + az · k. j |
(5.3) |
Эта формула является основной: в векторном исчислении и называ
ется разлансением вектора по ортам координаmнwх oceii..
44
Числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. коор
динаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные
оси.
Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом ви
де: а= (ax;ayiZz).
Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для моду ля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного
параллелепипеда можно написать IOMl2= IOM112+ IOM212+ l0Mзl2 ,
т. е. |
|
|
lal2=а; +а~ +а;. |
(5.4) |
|
Отсюда |
Vа2Х + а2у + а2Z' |
|
liil = |
|
~т. е. моду.ль вектора равен квадратному корню из сумми квадратов его nроекциiL на оси координат.
Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны
а, /З, 'У· По свойству проекции вектора на ось, имеем
ах= lal ·cosa, |
ау= lal ·соs{З, |
az = lal ·COS"f. |
(5.5) |
Или, что то же самое, |
|
|
|
ах |
ау |
az |
|
cosa = lal, |
cosfJ = lal, |
COS"f= lal· |
|
Числа coso:, cosfJ, COS"f называются наnрав.ляющими косtтусами век
тора а.
Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем
lal2 = lal2·cos2а+ liil2 • cos2 fJ + lal2 • cos2'У·
Сократив на liil2=/:-О, получим соотношение
1 cos2 а+ cos2 fЗ+ cos2 'У = 1, 1
~т. е. сумма квадратов наnрав.ляющих косинусов нену.лево го вектора равна единице.
~Легко заметить, что координатами единичного вектора е являются
числа cos а, cos /З, COS"f, т. е. е = (cos а; соs/З; cos 'У)·
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо
дуль и направление, т. е. сам вектор.
5.5. Действия наА векторами, заданными проекциями
Пусть векторы а= (ax;ay;az) и Ь = (Ьх;Ьу;Ьz) заданы своими про
екциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое
а = ах · z+ ау ·] + az · k, Ь = Ьх · z+ Ьу · ] + Ьz · k.
45
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответству
ющим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно
записать:
1. ii ± Ь = (ах± Ьх)z +(ау± Ьу)} + (az ± Ьz)k, или кратко ii ± Ь =
= (ах±Ьх; ау±Ьу; az±Ьz). То есть при слож:ении (вы'Ч,итании) векторов их одноименные координатъ~ складъtваются (въt'Ч,итаются}.
2. Лii = Лах·z+Лау.]+Лаz·k или короче Лii = (Лах; Лау; Лаz). То есть
при умножении вектора на скал.яр координаты вектора умнож:аются
на этот скал.яр.
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который мож
но передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что
два вектора ii и Ь равнъt тогда и только тогда, когда выполняются ра
венства: ах = Ьх, ау= Ьу, az = Ьz, т. е.
Коллинеарность векторов
Выясним условия коллинеарности векторов ii и Ь, заданных своими
координатами.
Так как ii 11 Ь, то можно записать ii = Л·Ь, где Л - некоторое число.
То есть
ах· z+ау· J+ az · k = Л(Ьх · f + Ьу · J+ Ьz · k) = ЛЬх · z+ ЛЬу · J+ ЛЬz · k.
Отсюда |
|
ах = ЛЬх, |
ау= ЛЬу, |
az = ЛЬz, |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
т. е. |
ах |
ау |
л, |
az |
ах |
_ |
ау |
az |
|
Ьх = >..., |
Ьу = |
Ьz = ).. |
или Ьх |
- |
Ьу - |
Ьz . |
liJ Таким образом, проекции коллинеарнъtх векторов проnорционалъ
ны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорцио-
нальные координаты, коллинеарны.
КооРдинаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система ко
ординат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называют
ся координатами то'Ч,ки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки М, обозначается f, т. е. ОМ = f. Следовательно, координаты
точки - это координаты ее радиус-вектора
f = (х; у; z) или f = х ·i +у· J+ z ·k.
Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z).
46
Координаты вектора
Найдем координаты вектора ii = АВ, если известны координаты
точек A(x1;y1;z1) и B(x2;Y2;z2). Имеем (см. рис. 13):
АВ = ОВ - ОА = (х2 · z+ У2 · J+ z2 · k) - (х1 · z+ У1 · J+ z1 · k) =
= (х2 - x1)z + (У2 - Yi)J + (z2 - z1)k.
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответству
ющих координат его конца и на-чала: АВ = (х2 - х1; У2 - У1; z2 - z1).
А
в
х |
....... ----...' |
ь |
Рис. 13 |
Рис. 14 |
|
§б. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ИЕГО СВОЙСТВА
б.1. Определение скалярного произведения
~Скалярным произведением двух ненулевых векторов ii и Б на
зывается 'Чис.11.0, равное произведению длин этих векторов на ко
синус угла между ними.
Обозначается iib, ii ·Б (или (ii, Ь)). Итак, по определению,
(6.1)
где ер= (а, Б).
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как liil cosc.p = пp;;-ii,
(см. рис. 14), а lbl cosc.p = праЬ, то получаем:
\аБ = lal ·пра-Б= !БI ·пр;;-а,1 |
(6.2) |
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из
них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с пер
вым вектором.
47
б.2. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством:
аБ = Ба. |
- |
- |
|
|
|
= |
iБI · liil, |
||
О аБ = liil · IБI ·cos(ii, Б), а Ба= iБI · liil ·соs(Б, а). И так как liil · lbl |
||||
как произведение чисел и cos(ii, Б) |
= соs(Б, ii), то iib = Ба. |
|
• |
|
2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством от |
||||
носительно скалярного множителя: (.\ii) · Б = .\(iib). |
|
|
||
о (.\ii)Б = 1ь1 . ПРь .\ii = ,\. 1ь1 . прь ii = .\(аЬ). |
|
• |
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойст
вом: а(Б + ё) = аБ + iiё.
О |
а(Б+ ё) = liil · пра-(Б+ ё) = liil · (пр" Б + ПРа: ё) = liil пра; Б + ial · пра ё = |
|||
=~+~ |
|
|
• |
|
|
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: ii2 |
= lal 2 . |
||
О а2 = а· а = lal · lal cos о = lal · lal = lal 2 . |
• |
|||
|
-2 |
-2 |
-2 |
|
i |
В частности: i |
= j |
= k = 1. |
|
Если вектор ii |
возвести скалярно в квадрат и затем извлечь ко |
рень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль liil, т. е.
п = liil сп=/:- ii).
Пример 6.1. Найти длину вектора ё = 3а-4Б, если lal = 2, iБi = 3,
(а, Б) = %·
Q Решение:
lёl = # = Jс3и-4Б)2 = Jgи2 - 24аБ+ 16Б2 =
=J9 . 4 - 24 . 2 . з. ~+ 16 . 9 = /108 = б-JЗ. •
5.Если векторы ii и Б (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то
их скалярное произведение равно нулю, т. е. если ii ..l Б, то iib = О.
Справедливо и обратное утверждение: если аБ = О и ii =/:- О =/:- Б, то ii ..l Б.
О Так как ер = (ii, Б) = I' то cos ер = cos I |
= О. Следовательно, |
|
а· Б = lal · IБI ·_о__= о. Если же а· Б = о и lal =/:- о, |
iБI =/:- о, то cos(a, Ь) = О. |
|
Отсюда ер= (а, Ь) = 90°, т. е. ii ..l Б. В частности: |
• |
|
z.J= J. k = k . z= о. |
||
|
48
б.З. Выражение скалярного произведения
через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как мно гочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произве
дения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов l, ],
k:
|
z |
j |
k |
i |
1 |
о |
о |
j |
о |
1 |
о |
k |
о |
о |
1 |
ахЬхU |
+ axbyl] |
+ axbzlk |
+ |
+ aybxJl |
+ аvЬvП |
+ aybz]k |
+ |
+ azbxkl |
+ azbykJ |
+ azbzkk |
|
т. е.
1 а· Ь= ахЬх + ауЬу + azbz.1
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведениti их одноименн'Ых координат.
Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, задан
ного координатами вершин А(-4; -4; 4), В(-3; 2; 2), С(2; 5; 1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны.
Q Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях д;=tн
ного четырехугольника. Имеем: АС= (6; 9; -3) и BD = (6; -4; О). Най
дем скалярное произведение этих векторов:
АС· BD = 36 - 36 - О = О.
Отсюда следует, что АС ..l BD. Диагонали четырехугольника ABCD
взаимно перпендикулярны. |
8 |
49