МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.3
Изучение основного закона вращательного движения (маятник обербека)
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определить момент инерции крестообразного маятника без дополнительных грузов.
Проверить основное уравнение динамики вращательного движения .
Изучить зависимость момента инерции крестообразного маятника от положения грузов на стержнях.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:
Маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, набор грузов, вертикальный масштаб.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
Вращательное движение является одним из простейших видов движения твердого тела. Различают 2 вида вращательного движения:
вращательное движение вокруг неподвижной оси;
вращательное движение вокруг неподвижной точки.
Вращательным движением вокруг неподвижной оси называется движение, при котором все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, перпендикулярной плоскости этих окружностей, называемой осью вращения.
Вращательным движением вокруг неподвижной точки называется движение, при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических (замкнутых) сфер с центром в неподвижной точке.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все частицы тела совершают плоское движение, причем линейные скорости и ускорения частиц вообще различны. Угловая скорость вращения для всех частиц тела будет одинакова и определяется выражением
, =рад/с (1)
где - есть первая производная от угла поворота по времени.
Рис. 1 |
, рад/с2 (2)
где - есть первая производная от угловой скорости по времени.
Направление совпадает с направлением , если движение ускоренное, и противоположно, если движение замедленное.
Для заданного вращающегося тела угловое ускорение определяется действием суммы моментов сил. Моментом сил называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора на вектор действующей силы .
|
Рис. 2 |
Нм.
Направление вектора момента сил определяется по правилу векторного произведения (правилу правого винта): вращая винт от первого вектора ко второму , поступательное движение винта указывает на направление вектора .
Модуль вектора определяется как
(4)
и численно равен площади заштрихованной фигуры (рис. 2). Учитывая, что , можно записать
, (5)
где - плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от точки , относительно которой происходит вращение, до линии действия силы .
|
Рис. 3 |
. (6)
Из рис. 3 видно, что момент силы создается лишь силой (силой, параллельной оси ), момент силы равен нулю.
Для нахождения связи между угловым ускорением и моментом сил , действующих на него, рассмотрим движение одной какой-то частицы вращающегося тела (рис.4).
|
Рис. 4 |
Обозначим проекцию суммы внутренних сил, действующих на , на направление, перпендикулярное к , как , а проекцию суммы внешних сил как . Тогда, применяя 2-ой закон Ньютона к каждой точке вращающегося тела, можно записать:
, (7)
где – линейное ускорение точки.
Если умножить выражение (7) на и учесть, что , то получим:
, (8)
где - проекция углового ускорения на ось OZ.
Величина ,численно равная произведению массы на квадрат расстояния от оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси вращения.
Величины и определяют моменты внутренних и внешних сил, действующих на -ю точку.
Уравнения типа (7) и (8) можно записать и для остальных точек тела. Суммируя выражение (8) по всем элементам тела, получим:
, (9)
где - сумма проекций на ось всех внутренних моментов сил ( , т.к. каждая внутренняя сила имеет равную и противоположную себе силу, приложенную к другой частице тела с тем же самым плечом); - сумма проекций на ось всех внешних моментов сил, приложенных к телу; - момент инерции твердого тела относительно оси вращения , равный сумме моментов инерции отдельных элементов тела ( кгм2).
Использовав все обозначения, получим:
, (10)
откуда
(11)
основной закон динамики вращательного движения.
В векторном виде этот закон может быть записан:
. (12)
то есть угловое ускорение пропорционально действующему внешнему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции твердого тела относительно оси вращения.
Этот закон аналогичен закону динамики для поступательного движения:
, (13)
где - линейное ускорение; - сумма всех внешних сил; - сумма всех элементарных масс.
Используя аналогию, можно сделать вывод о том, что момент инерции при вращательном движении играет такую же роль, как и масса при поступательном движении, т.е. момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Проверка основного закона вращательного движения производится на приборе, называемом маятником Обербека (рис. 5).