- •Построим для первой выборки график эмпирической функции, гистограмму и сглаженную гистограмму.
- •Построим оценки параметров для нормального распределения по методу наибольшего правдоподобия (мнп).
- •8. Проверим гипотезу о параметрах нормального распределения
- •10. Проверка гипотезы о равенстве средних.
Министерство образования
Тверской Государственный Университет
Факультет Прикладной Математики и Кибернетики
Кафедра Информатики
Рассчётно–графическая работа
по Теории Вероятностей и Математической Статистики
Студент 36 группы
Бесараб Андрей Олегович
Руководитель:
Захарова Ирина Владимировна
Тверь, 2011
Начальные данные:
a |
-1.5 |
2 |
0,25 |
|
0,95 |
|
0, 1 |
a0 |
1 |
02 |
0,16 |
Сгенерируем две повторных выборки с нормальным распределением. Известно, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами a = -1,5, =0,25.
Упорядочиваем данные для упрощения работы.
Выборки (№1) |
||||
|
Повторная выборка X=(X1,…,X100) |
|
Повторная выборка 2 Y=(Y1,…,Y100) |
|
|
|
|
||
|
-1,105 |
|
-0,93993 |
|
|
-1,11174 |
|
-1,00814 |
|
|
-1,18777 |
|
-1,01476 |
|
|
-1,1878 |
|
-1,02236 |
|
|
-1,23798 |
|
-1,09299 |
|
|
-1,2626 |
|
-1,11323 |
|
|
-1,26843 |
|
-1,13402 |
|
|
-1,27042 |
|
-1,14077 |
|
|
-1,28311 |
|
-1,16093 |
|
|
-1,2947 |
|
-1,16316 |
|
|
-1,29617 |
|
-1,16661 |
|
|
-1,29687 |
|
-1,21449 |
|
|
-1,29923 |
|
-1,23389 |
|
|
-1,30484 |
|
-1,23847 |
|
|
-1,31737 |
|
-1,24784 |
|
|
-1,32524 |
|
-1,25046 |
|
|
-1,333 |
|
-1,26422 |
|
|
-1,34287 |
|
-1,26787 |
|
|
-1,34516 |
|
-1,27063 |
|
|
-1,35504 |
|
-1,27283 |
|
|
-1,35643 |
|
-1,27319 |
|
|
-1,36924 |
|
-1,28696 |
|
|
-1,36967 |
|
-1,29122 |
|
|
-1,37335 |
|
-1,30873 |
|
|
-1,38311 |
|
-1,31527 |
|
|
-1,3874 |
|
-1,33002 |
|
|
-1,38819 |
|
-1,33005 |
|
|
-1,39999 |
|
-1,33074 |
|
|
-1,41506 |
|
-1,35365 |
|
|
-1,42491 |
|
-1,36596 |
|
|
-1,42694 |
|
-1,39441 |
|
|
-1,43109 |
|
-1,40200 |
|
|
-1,43175 |
|
-1,40352 |
|
|
-1,43802 |
|
-1,41294 |
|
|
-1,45216 |
|
-1,41924 |
|
|
-1,45336 |
|
-1,42081 |
|
|
-1,46463 |
|
-1,42861 |
|
|
-1,46845 |
|
-1,42958 |
|
|
-1,47196 |
|
-1,44064 |
|
|
-1,47201 |
|
-1,45071 |
|
|
-1,47275 |
|
-1,45439 |
|
|
-1,47843 |
|
-1,45585 |
|
|
-1,48264 |
|
-1,46414 |
|
|
-1,48486 |
|
-1,47143 |
|
|
-1,49114 |
|
-1,47253 |
|
|
-1,49237 |
|
-1,47874 |
|
|
-1,49303 |
|
-1,47924 |
|
|
-1,49493 |
|
-1,48181 |
|
|
-1,49814 |
|
-1,48288 |
|
|
-1,50266 |
|
-1,48884 |
|
|
-1,50774 |
|
-1,49405 |
|
|
-1,51023 |
|
-1,50759 |
|
|
-1,51692 |
|
-1,51124 |
|
|
-1,51824 |
|
-1,52420 |
|
|
-1,52297 |
|
-1,52578 |
|
|
-1,52931 |
|
-1,54495 |
|
|
-1,52993 |
|
-1,55526 |
|
|
-1,53833 |
|
-1,56168 |
|
|
-1,54031 |
|
-1,57041 |
|
|
-1,54675 |
|
-1,57295 |
|
|
-1,56241 |
|
-1,57938 |
|
|
-1,56878 |
|
-1,59888 |
|
|
-1,57011 |
|
-1,60765 |
|
|
-1,57019 |
|
-1,60881 |
|
|
-1,57061 |
|
-1,61199 |
|
|
-1,57107 |
|
-1,61309 |
|
|
-1,57924 |
|
-1,61891 |
|
|
-1,58529 |
|
-1,61933 |
|
|
-1,59248 |
|
-1,62380 |
|
|
-1,59514 |
|
-1,62812 |
|
|
-1,60848 |
|
-1,63377 |
|
|
-1,61758 |
|
-1,65362 |
|
|
-1,62735 |
|
-1,65664 |
|
|
-1,63674 |
|
-1,66086 |
|
|
-1,64245 |
|
-1,66799 |
|
|
-1,64354 |
|
-1,67536 |
|
|
-1,6472 |
|
-1,69579 |
|
|
-1,65076 |
|
-1,70101 |
|
|
-1,69571 |
|
-1,70519 |
|
|
-1,70495 |
|
-1,70934 |
|
|
-1,71763 |
|
-1,72770 |
|
|
-1,72474 |
|
-1,72884 |
|
|
-1,72759 |
|
-1,72987 |
|
|
-1,73151 |
|
-1,74564 |
|
|
-1,73965 |
|
-1,76599 |
|
|
-1,74173 |
|
-1,76699 |
|
|
-1,74195 |
|
-1,79095 |
|
|
-1,74614 |
|
-1,79411 |
|
|
-1,75611 |
|
-1,82608 |
|
|
-1,77006 |
|
-1,82841 |
|
|
-1,79764 |
|
-1,83231 |
|
|
-1,81385 |
|
-1,84625 |
|
|
-1,8306 |
|
-1,88414 |
|
|
-1,89272 |
|
-1,91007 |
|
|
-1,89751 |
|
-1,92625 |
|
|
-1,91426 |
|
-1,95746 |
|
|
-1,91503 |
|
-2,00496 |
|
|
-1,96376 |
|
-2,02530 |
|
|
-1,98977 |
|
-2,10972 |
|
|
-2,05107 |
|
-2,11051 |
|
|
|
|
|
|
Найдём для первой выборки:
Найти выборочное среднее и дисперсию, экстремальные значения, размах, выборочную медиану.
Выборочным средним является число .
Выборочной дисперсией – .
Основные сведения (№2) |
||
|
Выборочное среднее (X|) |
|
|
|
|
|
-1,5265814 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выборочная дисперсия (S^2) |
|
|
|
|
|
0,038175466 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Экстремальные значения (X1, X100) |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,05107 |
|
|
-1,105 |
|
|
|
|
|
Размах выборки |
|
|
|
|
|
0,94607 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Медиана |
|
|
|
|
|
-1,5052 |
|
|
|
|
|
|
|
Построим для первой выборки график эмпирической функции, гистограмму и сглаженную гистограмму.
число элементов выборки Х меньших y, N=100.
Интервалы |
||||||||||
a0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
-2,0511 |
-1,9565 |
-1,8619 |
-1,7672 |
-1,6726 |
-1,5780 |
-1,4834 |
-1,3888 |
-1,2942 |
-1,1996 |
-1,1050 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица для построения гистограммы и эмпирической плотности |
||||||||||
|
a0 : a1 |
a1 : a2 |
a2 : a3 |
a3 : a4 |
a4 : a5 |
a5 : a6 |
a6 : a7 |
a7 : a8 |
a8 : a9 |
a9 : a10 |
n |
3 |
4 |
4 |
11 |
12 |
23 |
16 |
18 |
5 |
4 |
h |
0,3171 |
0,4228 |
0,4228 |
1,1627 |
1,2684 |
2,4311 |
1,6912 |
1,9026 |
0,5285 |
0,4228 |
y |
-2,0038 |
-1,9092 |
-1,8146 |
-1,7199 |
-1,6253 |
-1,5307 |
-1,4361 |
-1,3415 |
-1,2469 |
-1,1523 |
y* |
-2,4423 |
-1,9581 |
-1,4739 |
-0,9897 |
-0,5054 |
-0,0212 |
0,4630 |
0,9472 |
1,4314 |
1,9156 |
Ф(y* |
0,0202 |
0,0587 |
0,1347 |
0,2445 |
0,3511 |
0,3989 |
0,3584 |
0,2547 |
0,1432 |
0,0637 |
|
0,1035 |
0,3002 |
0,6892 |
1,2512 |
1,7970 |
2,0414 |
1,8343 |
1,3038 |
0,7330 |
0,3260 |
Построим оценки параметров для нормального распределения по методу наибольшего правдоподобия (мнп).
- Неизвестные параметры, - повторная выборка,
,
,
Выполняем построение доверительных интервалов.
Перейдем от нормального распределения к стандартному нормальному распределению и найдем Сj из P(y<Cj)=
|
Исправленная выборочная дисперсия (S1^2) |
|
Величина C1() |
|
||
|
|
|
||||
|
|
73,3611 |
|
|||
|
0,0386 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Величина C2() |
|
|
|
Функция t(N-1)() |
|
|
|||
|
|
128,4220 |
|
|||
|
1,9842 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Доверительный интервал для дисперсии (^2) |
|
|
|
Доверительный интервал для мат.ожидания (а) |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
0,0297 |
0,0520 |
|
||
|
-1,5655 |
-1,4876 |
|
|
Проверим гипотезу о согласии нормального распределения с имеющимися эмпирическими данными (критерий согласия).
Н0: F(y) = F0(y)
pk = F0(ak+1) – F0(ak)
Интервалы |
||||||||||
a0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
-2,051 |
-1,956 |
-1,862 |
-1,767 |
-1,673 |
-1,578 |
-1,483 |
-1,389 |
-1,294 |
-1,200 |
-1,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица для построения статистики для проверки ^2-критерия Пирсена (критерия согласия) |
||||||||||
|
a0 : a1 |
a1 : a2 |
a2 : a3 |
a3 : a4 |
a4 : a5 |
a5 : a6 |
a6 : a7 |
a7 : a8 |
a8 : a9 |
a9 : a10 |
p |
0,045 |
0,054 |
0,062 |
0,068 |
0,073 |
0,075 |
0,075 |
0,072 |
0,066 |
0,059 |
n |
3,000 |
4,000 |
4,000 |
11,000 |
12,000 |
23,000 |
16,000 |
18,000 |
5,000 |
4,000 |
(n-... |
0,525 |
0,362 |
0,773 |
2,523 |
3,018 |
31,840 |
9,718 |
16,363 |
0,402 |
0,624 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построенная статистика ^2(N) |
|
Величина ^2(r)() |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
66,1487 |
|
15,9872 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Так как 2(N) >2(r)()то гипотеза Н0 не верна.
7. Проверим выполнение критерия однородности для объединения двух выборок. Н0 : F1(z) = F2(z)
Интервалы |
|
||||||||||
b0 |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
b5 |
b6 |
b7 |
b8 |
b9 |
b10 |
|
-2,1105 |
-1,9935 |
-1,8764 |
-1,7593 |
-1,6423 |
-1,5252 |
-1,4082 |
-1,2911 |
-1,1740 |
-1,0570 |
-0,9399 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица числа попаданий элементов выборок в интервалы |
|||||||||||
|
b0 : b1 |
b1 : b2 |
b2 : b3 |
b3 : b4 |
b4 : b5 |
b5 : b6 |
b6 : b7 |
b7 : b8 |
b8 : b9 |
b9 : b10 |
n.j |
n1 |
1 |
6 |
4 |
15 |
19 |
27 |
19 |
7 |
2 |
0 |
100 |
n2 |
4 |
4 |
8 |
13 |
17 |
21 |
11 |
11 |
7 |
3 |
99 |
ni. |
5 |
10 |
12 |
28 |
36 |
48 |
30 |
18 |
9 |
3 |
199 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица элементов статистики для проверки гипотезы об однородности |
|
||||||||||
j i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
0,0045 |
0,0010 |
0,0033 |
0,0004 |
0,0003 |
0,0019 |
0,0053 |
0,0022 |
0,0069 |
0,0075 |
|
2 |
0,0044 |
0,0009 |
0,0036 |
0,0003 |
0,0002 |
0,0016 |
0,0050 |
0,0025 |
0,0073 |
0,0077 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построенная статистика χ^2(2N) |
|
Величина ^2(r-1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0,00067 |
|
14,68366 |
|
|
|
Так как 2(2N)<2(r-1)то гипотеза Н0 верна