Кристаллография и основы кристаллохимии Лекция №11.
1. Обозначения групп симметрии по А. Шенфлису
2. Международные обозначения классов симметрии (символика Германа-Могена)
Кристаллография
и основы кристаллохимии Лекция №11.
Кроме символики Браве, удобной в качестве учебной на первых этапах изучения симметрии кристаллов, но достаточно громоздкой (поскольку в строчку выписываются все элементы симметрии данного класса) и тем не менее не учитывающей всех операций симметрии группы, широко используется символика, предложенная немецким математиком А. Шенфлисом. Символика Шенфлиса позволяет одной буквой с соответствующим нижним индексом не только охарактеризовать весь набор элементов симметрии конкретной точечной группы, но и объединить родственные группы в отдельные семейства.
Переход от учебной символики Браве к символам Шенфлиса и обратно предполагает знание правил взаимодействия элементов симметрии.
Кристаллография
и основы кристаллохимии Лекция №11.
Циклические группы (Ln) – группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии. Их Шенфлис предложил обозначать
буквой Сn с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси (например, С4=L4, С1=L1). Следует иметь в виду, что буквой С обозначается группа, а не элемент симметрии. Например, С2 – это класс с единственной осью 2-го порядка. Поэтому можно записать 3L2 но нельзя 3С2, так как С2 – это не ось, а класс симметрии.
Группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i, например, С3i=Li3, Сi=Li.
Кристаллография и основы кристаллохимии
Лекция №11.
Группы симметрии с побочными (горизонтальными) перпендикулярными главному направлению осями 2-го порядка обозначаются Dn, где нижний индекс n
соответствует не только порядку главной поворотной оси, но и количеству побочных осей 2-го порядка (например, D3=L33L2, D2=3L2, в последней группе любая из осей L2
может играть роль главной, две другие, перпендикулярные ей, при этом окажутся побочными).
Для обозначения плоскостей симметрии Шенфлис ввел дополнительные подстрочные буквенные индексы:
1)v – для плоскостей, расположенных вдоль единственной или главной оси симметрии, которые всегда представляются вертикальными (L33P=С3v);
2)h – для плоскости, перпендикулярной к главной оси симметрии (L2PC=С2h);
3)s – для плоскости неопределенной ориентации, т.е. не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии (Сs=Р(=Рv=Рh));
4)d – для вертикальных плоскостей симметрии, делящих пополам угол между побочными осями 2-го порядка (D3d=L33L23PC).
Кристаллография
и основы кристаллохимии Лекция №11.
Если же вертикальные плоскости симметрии проходят через побочные (горизонтальные) оси 2-го порядка, неизбежно возникает четко фиксированная по отношению к главной оси горизонтальная плоскость h, которой и отдается предпочтение в символике Шенфлиса (D3h=L33L23PvPh).
Индекс v в группах Dn оказывается неоднозначным.
Кристаллография
и основы кристаллохимии Лекция №11.
Группы симметрии с несколькими осями высшего порядка – группы кубической сингонии – обозначаются буквой О в том случае, если они содержат полный набор осей симметрии (3L44L36L2 – осевой комплекс октаэдра или куба), или буквой Т, если в группе отсутствуют диагональные оси симметрии (4L33L2 – поворотные составляющие осевого комплекса тетраэдра).
Наличие в группе координатных или диагональных плоскостей симметрии фиксируется в символике Шенфлиса соответственно буквами h (среди координатных плоскостей всегда присутствует горизонтальная h) или d. Если в группе имеются оба типа плоскостей, то в символе указываются лишь координатные h (4L33L23PhС=Th, 3L44L36L23Ph6PdC=Оh).
Кристаллография
и основы кристаллохимии Лекция №11.
Международный символ классов симметрии (символ Германа-Могена) также достаточно компактен, но в отличие от символов Браве и Шенфлиса четко указывает на ориентацию кристалла относительно выбранных координатных осей.
Международный символ состоит в общем случае из трех позиций, на которых регистрируются неэквивалентные особые направления – оси симметрии (поворотные или инверсионные).
Существует понятие об особых направлениях в кристаллах. Особыми направлениями называют направления, совпадающие с осями симметрии или с нормалями к плоскостям симметрии.
Эквивалентные особые направления связаны между собой элементами симметрии и характеризуются одинаковым расположением структурных единиц. Неэквивалентные особые направления не связаны между собой элементами симметрии и расположение структурных единиц вдоль них разное.
Кристаллография и основы кристаллохимии
Лекция №11.
Поворотные оси симметрии обозначают арабскими цифрами, соответствующими их порядку – 1, 2, 3, 4, 6. Из сложных осей в международных символах используют только инверсионные, обозначая их также цифрой, но с черточкой над ней –
Плоскость симметрии P обозначают буквой m. Центр симметрии С обозначается его инверсионным аналогом – инверсионной осью 1-го порядка – (читается «один с чертой»).
Если ось симметрии (n) совпадает с нормалью к плоскости (m), то их записывают в виде дроби (): в числителе – ось, в знаменателе – нормаль к плоскости (например, L2РС= ).
Однако, если ось является порожденной другими элементами симметрии, уже зарегистрированными в символе, ее обозначение, как правило, опускают, оставляя лишь символ плоскости m (например, 3L23PC = = mmm, L44L25PC== ). Нельзя опускать лишь
обозначение оси, если она главная в средней категории или если, не записав ее в символе, мы ее потеряем (например, L2РС = ).
Кристаллография и основы кристаллохимии
Лекция №11.
Группы ромбической сингонии характеризуются тремя неэквивалентными особыми направлениями (a≠b≠с), по которым выбираются координатные оси X, Y и Z. Каждое из этих направлений регистрируется на определенной позиции международного символа: на I месте – особое направление по оси X; на II месте – особое направление по оси Y; на III месте – особое направление по оси Z.
Хотя ось 2-го порядка в группе L22P является порожденной, ее в символе оставляют,
так как она указывает на ориентацию кристалла в выбранной системе координат: символ mm2 указывает на то, что поворотная ось 2-го порядка ориентирована вдоль вертикальной координатной оси Z.
В международном символе класса 3L2=222 записываются все три оси 2-го порядка, поскольку они неэквивалентны между собой, несмотря на то, что каждая из трех осей L2 является порожденной двумя остальными.
Кристаллография и основы кристаллохимии
Лекция №10.
Классы моноклинной сингонии характеризуются одним особым направлением. Поэтому, чтобы показать, с какой из координатных осей совмещено это особое направление, на незанятые позиции символа вводят единицы (оси 1-го порядка). Например, L2РС = = 11 (кристаллографическая установка, β ≠ 90°). На этом примере
хорошо видно, что международный символ показывает ориентацию кристалла относительно координатного репера, в то время как ни символ Браве, ни символ Шенфлиса не отражают его установки.
В классах триклинной сингонии особых направлений нет. Поэтому в символе заполняется лишь одна позиция, на которой регистрируется ось 1-го порядка: поворотная L1=1 или инверсионная Li1=С=.