Министерство образования и науки Российской Федерации
Марийский Государственный Технический Университет
Кафедра РТ и С
Расчетно - графическая работа
по дисциплине
«Основы теории цепей»
на тему
«Переходные процессы в линейных цепях»
Выполнил: ст.гр. РРТ-21
Проверил: к.т.н.. доцент
Калачев Е.Н.
Йошкар - Ола
2006
Содержание
Содержание 2
Введение 3
1. Классический метод анализа переходных процессов 4
2. Операторный метод анализа переходных процессов 9
Заключение 13
Список используемой литературы 14
ВВЕДЕНИЕ
Любое скачкообразное изменение в цепи, нарушающее установившийся режим, называется коммутацией. Неустановившиеся процессы в цепи, которые имеют место при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными. Для радиотехнических устройств более характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неизменны, а внешнее воздействие на цепь изменяется по произвольному (чаще всего непериодическому) закону.
Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно, перед коммутацией, а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно, перед коммутацией, а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Алгебраическая сумма потокосцеплений индуктивностей в любом замкнутом контуре электрической цепи и алгебраическая сумма зарядов емкостей, подключенных к любому узлу электрической цепи, являются непрерывными функциями времени.
Токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергетического состояния цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации.
Вынужденная составляющая не зависит от режима работы цепи до коммутации и, следовательно, от начальных значений токов и напряжений.
Характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.
В начальный момент времени после коммутации емкость ведет себя подобно источнику напряжения, ЭДС которого равна начальному значению напряжению на емкости. Если начальное значение напряжения на емкости равно нулю, то в начальный момент после коммутации ветвь с емкостью можно считать короткозамкнутой, т.е. сопротивление емкости при t=0+ равна нулю.
1. Классический метод анализа переходных процессов
Провести анализ переходного процесса в цепи с одним энергоемким элементом, схема и величины параметров элементов которой указаны в табл.
Таблица 1
Но-мер вари-анта |
Схема цепи |
Величины параметров элементов |
Иско-мый ток |
|||||
E, B |
C, мкФ |
L, мГн |
R1, Ом |
R2, Ом |
R3, Ом |
|||
6 |
Рис.1 |
120 |
50 |
- |
40 |
40 |
- |
i1(t) |
Определить заданный ток на элементах цепи в переходном режиме.
Построить график заданного тока в интервале времени от нуля до практического завершения переходного процесса.
Рис. 1.1 Схема первого порядка
До коммутации в момент времени t = 0_ в цепи протекает ток i3(0_) = 0А, так как ключ разомкнут. Напряжение на конденсаторе u3(0_) = 0 В. После коммутации в момент времени t = 0+ из второго закона коммутации следует, что ток u3(0_) = u3(0+) = 0 В.
Для того чтобы воспользоваться операторным методом разорвем вторую цепь как показано на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 Преобразованная цепь.
Относительно полученных зажимов определяется входное сопротивление цепи Z.
В операторном методе j заменяется оператором р и входное сопротивление определяется по формуле:
Из данной формулы, учитывая что Z(p)=0 выражается оператор р, который является аргументом свободной составляющей протекаемого по цепи тока:
Свободная составляющая тока i1 принимает вид:
,
где А – коэффициент.
Ток цепи i1 имеет также принужденную составляющую iпр вычисляемую при установившемся режиме после коммутации при t. При этом конденсатор С будет представлять обрыв цепи, а общее сопротивление будет выражаться формулой:
Ом.
Ток iпр выражается по закону Ома:
Ток i1 представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей:
Для определения коэффициента А рассматривается ток i1 в момент времени t = 0
После замыкания ключа ток i1 скачком принимает значение:
Таким образом ток i1 принимает вид:
Временная диаграмма данного тока представлена на рисунке 1.3
Рисунок 1.3 Временная диаграмма тока i1.
Вывод: В данной расчетно-графической работе рассмотрены переходные процессы для цепи первого порядка. В результате вычислен ток в первой ветви. Построена временная диаграмма тока i1 на которой наглядно видно как изменяется ток в первый момент времени при замыкании ключа. В первый момент времени ток i1 скачком возрастает до 3 А, так как конденсатор в первый момент времени представляет собой короткозамкнутый участок. Далее ток начинает постепенно снижается до 1,5 А так как общее сопротивление цепи увеличивается. Это связано с тем, что заряженный конденсатор для постоянного тока представляет собой бесконечное сопротивление и весь ток течет через резисторы R1 и R2.
Получить выражение для заданного тока в переходном режиме при замыкании или размыкании ключа S в цепи с двумя энергоемкими элементами классическим методом. Схема и величина параметров ее элементов приведены в табл. 2.
Найти заданный ток в цепи используя классический метод анализа переходных процессов.
Построить график найденного тока.
Таблица 2
Но-мер варианта |
Схема цепи |
Величины параметров элементов |
Искомый ток |
|||||
I, А |
E, B |
R1, Ом |
R2, Ом |
С, пФ |
L, мкГн |
|||
7 |
Рис.3 |
- |
10 |
10 |
50 |
500 |
200 |
i1(t) |
Рис. 1.4 Схема второго порядка
Анализ цепи до коммутации показывает, что ток через катушку индуктивности равен нулю, также равно нулю напряжение на конденсаторе .
Независимые начальные условия на основании законов коммутации:
.
Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации. Для этого запишем систему уравнений электрического равновесия цепи (рис. 1.4) относительно неизвестных токов и напряжений ее ветвей:
Выберем в качестве независимой переменной напряжение на емкости.
Учитывая, что окончательно получаем
Решение дифференциального уравнения ищется согласно x=xпр+xсв, где xсв и xпр – общее и частное решения, в форме суммы свободной и принужденной составляющих:
Вид зависит от характера приложенного напряжения, а определяется решением однородного дифференциального уравнения второго порядка:
Решение уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения
Корни данного уравнения определяются только параметрами цепи независимо от выбранной переменной:
p1= -38197 p2= -261803
Следовательно напряжение на конденсаторе равно:
где А1 и А2 – постоянные интегрирования. Для определения А1 и А2 запишем еще уравнение для тока в цепи:
Постоянные А1 и А2 можно найти из начальных условий для uC(0_)=E и i(0_ )=0 (при t=0_ ) и законов коммутации.
Следовательно решая эту систему мы получаем значения А1 и А2
В результате получаем уравнение для тока i1:
Построим график функции тока второй ветви, используя программу MathCad Professional.
Рис. 1.5
Как видно из рис. 1.5 колебательный процесс носит постоянный характер и равен току второй ветви.