Практична № 5
Управління чергами
Якщо заявки на обслуговування поступають в сервісну систему абсолютно довільно, то часові інтервали між сусідніми заявками розміщуються за експоненціальним законом (ф-ла 1).
(1)
де - середня кількість заявок, які поступають за визначений період часу.
Щоб знайти число заявок, що поступають на протязі визначеного періоду Т, необхідно скористатись законом розподілу ймовірностей Пуассона, що описується формулою:
(2)
Розрізняють чотири основні типи задач аналізу черг. При цьому слід пам’ятати, що процес, який аналізується в даний момент є стійким і незмінним.
Модель 1 – міст з однією смугою і платним проїздом; банківський касир, що обслуговує водіїв;
Модель 2 – прогулянковий човен в парку відпочинку;
Модель 3 – стоянка в авторемонтній майстерні;
Модель 4 – поломка і ремонт станка на підприємстві.
Модель 1. (3)
Модель 2 (4)
Модель 3 (5)
Модель 4 (6)
Позначення для безкінечної черги (моделі 1 - 3)
- інтенсивність вхідного потоку;
- інтенсивність обслуговування;
- середній час обслуговування;
- середній час між вхідними заявками;
- співвідношення інтенсивності вхідного потоку до інтенсивності обслуговування (позначене через );
- середня кількість одиниць, що чекає в черзі;
- середня кількість одиниць в системі;
- середній час очікування в черзі;
- середній сумарний час перебування в системі (включаючи час обслуговування);
n – кількість одиниць в системі;
М – кількість ідентичних каналів обслуговування;
Pn – ймовірність знаходження n одиниць в системі;
PW – ймовірність очікування в черзі.
Позначення для кінцевої черги (модель 4)
F – коефіцієнт ефективності очікування в черзі;
Н – середня кількість одиниць, що знаходяться в процесі обслуговування;
(N-n), - J – вихідна генеральна сукупність без числа одиниць, що ввійшли в систему масового обслуговування;
L – середнє число одиниць в черзі;
n – середня кількість одиниць в системі масового обслуговування (включаючи тих, що обслуговуються);
N – кількість одиниць у вихідній генеральній сукупності;
Pn – ймовірність знаходження n одиниць в системі масового обслуговування;
Т – середній час обслуговування;
U – середній час між черговими заявками на обслуговування клієнтів;
W – середній час очікування в черзі;
Х – коефіцієнт обслуговування або доля необхідного часу обслуговування на протязі одного циклу перебування в системі масового обслуговування.
Задача 1.
Промінвестбанк розглядає можливість відкриття пункту обслуговування клієнтів в автомобілях. Управлінський персонал оцінив, що клієнти будуть прибувати з інтенсивністю 15 автомобілів у годину. Черговий, призначений на цю роботу, може обслуговувати їх із швидкістю один автомобіль в кожні три хвилини.
Частина 1. Виходячи із розподілу Пуассона вхідних заявок і експоненціального розподілу часу обслуговування, визначте наступні значення.
Завантаження чергового.
Середня кількість клієнтів в системі.
Середній час очікування в черзі.
Середній час очікування в системі, включаючи час обслуговування.
Розв’язок.
1. Середня завантаження чергового буде:
2. Середня кількість клієнтів, що очікують в черзі
(клієнтів).
3. Середня кількість клієнтів в системі:
(клієнти)
Середній час очікування в черзі:
години або 9 хвилин.
Середній час очікування в системі:
години або 12 хвилин.
Частина 2. Із-за обмеженості площі, стараючись забезпечити прийнятний рівень обслуговування, банківський менеджер хоче досягти 95% гарантії того, що черга в системі не буде перебільшувати 3-х автомобілів. Яка інтенсивність обслуговування відповідає даній межі? Який рівень завантаження черговому потрібно забезпечити і якою повинна бути інтенсивність обслуговування їм, щоб досягти 95% рівня обслуговування?
Розв’язок.
Текучий рівень обслуговування для трьох і менше автомобілів представляє собою ймовірність того, що в системі знаходиться 1,2 або 3 машини. Для моделі 1 вибираємо розрахункову формулу.
, за якою знаходимо:
при n = 0, Р0 = (1-15/20)(15/20)0 = 0,250;
при n = 1, Р1 = (1-15/20)(15/20)1 = 0,188;
при n = 2, Р2 = (1-15/20)(15/20)2 = 0,141;
при n = 3, Р3 = (1-15/20)(15/20)3 = 0,106.
Всього 0,685 або 68,5%.
Отже, ймовірність того, що в системі збереться більше 3-х автомобілів, буде рівна:
1,0 – 0,685 = 31,5 %.
Для 95%-вого рівня обслуговування трьох або менше автомобілів приймаємо, що
P0 + P1 + P2 + P3 = 95%:
0,95 = ;
0,95 = .
Це рівняння можна розв’язати методом підстановок різних значень для . Так, при отримуємо 0,5 (1+ 0,5 + 0,25 + 0,125) = 0,9375, тобто менше заданого значення 0,95.
При отримаємо (1 - 0,45)(1 + 0,45 + 0,203 + 0,091)= 0,96, тобто більше заданого значення 0,95.
При знаходимо (1-0,47)(1+0,47+0,221+0,104)=0,9512, що приблизно дорівнює 0,95.
Таким чином, при загрузці , тобто 47% ймовірність утворення в системі черги, яка буде із 3-х і менше машин, становитиме 95%.
Щоб взнати, яка інтенсивність обслуговування потрібна для досягнення цього 95% рівня обслуговування, потрібно розв’язати рівняння , де =15 – інтенсивність прибування на протязі часу клієнтів. Це дає значення = 32 в годину.
Таким чином, щоб мати 95% переконання в тому, що в системі не буде знаходитися більше 3-х автомобілів, банківський черговий повинен обслуговувати по 32 людини в годину (для цього потрібно 60% підвищення швидкості обслуговування в порівнянні з наявною, рівною всього 20 чоловік в годину).
Обслуговування можна прискорити, змінивши методи надання послуг, добавивши ще одного чергового, або зменшивши кількість банківських операцій, доступних в системі обслуговування водіїв в автомобілях. Необхідно звернути увагу також на те, що при умові 95% переконанні в тому, що в системі не буде збиратись більше 3-х автомобілів, черговий буде простоювати 53% часу.