Електричні коливання
Вільні незгасаючі електричні коливання виникають у коливальному електричному контурі, зображеному на рисунку нижче. Контур складається з конденсатора ємністю С і котушки індуктивністю L.
Якщо зарядити конденсатор до значення заряду , а потім замкнути коло коливального контуру перемикачем, то конденсатор почне розряджатися. У колі з'явиться електричний струм і в котушці індуктивності виникне ЕРС самоіндукції Енергія електричного поля конденсатора буде переходити в енергію магнітного поля котушки, і навпаки.
Будуть таким чином відбуватися незгасаючі коливання заряду, якщо енергія контура не розсіюватиметься.
Щоб дістати диференціальне рівняння електричних коливань, скористаємось узагальненим законом Ома для неоднорідно кола:
звідки
= 0.
Тут враховано, що активний опір кола R = 0.
Різниця потенціалів на обкладках конденсатора
ЕРС самоіндукції
а сила струму
I =
і тоді
Підставивши вирази для різниці потенціалів і ЕРС у закон Ома, дістанемо
Поділивши рівняння на L і ввівши позначення
дістанемо ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВІЛЬНИХ НЕЗГАСАЮЧИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛИВАНЬ
За формою рівняння цілком ідентичне рівнянню вільних незгасаючих механічних коливань:
Видно, що заряд q - аналог зміщення x; індуктивність L - аналог маси m; 1/C - аналог жорсткості k.
Розв'язок диференціального рівняння також має аналогічний вигляд:
q = qm cos(
Період коливань визначиться з умови:
ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ ЗАРЯДУ, яка дорівнює першій похідній від заряду за часом, це СИЛА СТРУМУ:
I =
Сила струму в коливальному контурі виконує гармонічні коливання, частота яких дорівнює власній частоті контура , амплітуда сили струму залежить не тільки від амплітуди коливань заряду, а й від частоти, а фаза коливань струму відрізняється від фази коливань заряду на .
ЕНЕРГІЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ - це енергія зарядженого конденсатора
ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ - це енергія, нагромаджена в котушці:
Оскільки L і С пов'язані через власну частоту:
то:
L =;
а формулу для енергії магнітного поля можна записати так:
=.
Отже, амплітуди коливань електричної і магнітної енергії однакові, а частота коливань вдвічі більша від частоти коливань заряду і струму.
ПОВНА ЕНЕРГІЯ електромагнітних коливань дорівнює сумі електричної і магнітної енергії
Як бачимо, повна енергія не залежить від часу, вона стала. Повна енергія дорівнює максимальному значенню енергії магнітного поля в котушці, або максимальному значенню енергії електричного поля в конденсаторі.
Фізичний і математичний маятники
Фізичним маятником називають будь-яке тіло, підвішене не за центр тяжіння (точка С). При відхиленні від вертикалі на кут α виникає момент сили тяжіння
,
який приводить тіло в обертальний рух відносно точки підвісу О. Запишемо основне рівняння динаміки обертального руху
, або .
Знак (–) враховує, те що момент сили зменшує кут відхилення, тобто напрям відхилення, наприклад, вправо, протилежний дії моменту сили тяжіння, вліво (див. рисунок).
При малих кутах відхилення, коли , рівняння набуває виду
.
Тут - циклічна частота коливань фізичного маятника. Тоді період коливань визначається формулою:
.
Математичний маятник – це матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці. Його можна розглядати як різновидність фізичного маятника з моментом інерції матеріальної точки . Тоді період коливань математичного маятника буде визначатися по формулі
.
Якщо у формулі періоду коливань фізичного маятника позначити , вона набуде виду, аналогічного періоду коливань математичного маятника. Зведеною довжиною фізичного маятника називається така довжина математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань фізичного маятника.
Отже, фізичний і математичний маятники здійснюють гармонічні коливання при малих кутах відхилення .