12.2.Решение узловых уравнений баланса мощности

Запишем уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей для k-го узла в следующем виде [3]

. (12.18)

В этом выражении для удобства записи слагаемое внесено под знак , причем балансирующему узлу присвоен номер n+1. Функция соответствует небалансу мощности в k-м узле. Для того чтобы оперировать с вещественными величинами, выделим уравнении (12.18) действительные и мнимые части.

Принимаем:

, (12.19)

где , - вектор-столбцы действительных и мнимых составляющих напряжений;

- соответственно небалансы активных и реактивных мощностей в узле k.

В качестве переменных при решении уравнений установившегося режима могут использоваться: модули и фазы напряжений в узлах U и ; вещественные и мнимые составляющие напряжений и .

Таким образом, если во всех узлах заданы активные и реактивные мощности, то получена система, состоящая из 2n уравнений с 2n неизвестными, где n - число независимых узлов системы. Матрицу производных при использовании переменных и можно разбить на матрицы-клетки:

, (12.20)

где

(12.21)

- матрицы-клетки частных производных небалансов активной и реактивной мощностей по активным и реактивным напряжениям узлов.

Все матрицы-клетки производных в уравнении (12.20) квадратные, и порядок их равен n. Если для узла заданы активная мощность P_k и модуль напряжения этого узла U_kj, то в системе уравнений узловых напряжений вместо баланса (12.18) будет уравнение:

, (12.23)

Число уравнений узловых напряжений (12.23) в этом случае тоже равно 2n. Все матрицы-клетки, входящие в матрицу Якоби , квадратные и порядок их n. Для узлов с заданными P_k и U_k в матрицу Якоби вместо производных реактивных небалансов по активным и реактивным напряжениям узлов будут входить производные (12.23) по и , то есть вместо

будут входить соответственно 2 и 2.

В качестве переменных в расчетах установившегося режима на ЭВМ обычно выбирают модули и фазы напряжений узлов U_k и . В этом случае

. (12.24)

то есть элементы матрицы Якоби - это частные производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов. Если активные и реактивные мощности заданы во всех узлах, то число уравнений узловых напряжений баланса мощности и число переменных U_k и равны 2n. Все матрицы-клетки в (12.24) квадратные, и порядок их n. Если в узле k заданы P_k и U_k, то уравнение баланса реактивной мощности k-го узла не входит в систему уравнений узловых напряжений (12.18), a Q_k — в число зависимых переменных, определяемых при решении уравнений узловых напряжений. Для узлов, балансирующих по Q, в матрицу Якоби (12.20) не входят производные . В этом случае матрица-клетка - квадратная, порядок ее меньше n на число узлов, балансирующих по Q. Матрица клетка - прямоугольная в ней n столбцов, а количество строк меньше n на число узлов, балансирующих по Q.