5. Правило статистичного усереднення

Для переходу від закономірностей поводження окремих частинок (координат, проекцій імпульсу, енергії, швидкостей і т.д.) до статистичних закономірностей поводження системи в цілому, необхідно вміти знаходити середні характеристики окремих частинок. Термодинамічні параметри колективу виражаються через усереднені характеристика окремих частинок. Знайдемо правило такого усереднення на прикладі знаходження середньої енергії поступального руху молекул ідеального газу.

Добуток ЕdN(E) = Eg(E)f(E)dE дає енергію всіх частинок в інтервалі енергій від Е до Е+dE. Тоді очевидно, що інтеграл від цього добутку в межах від 0 до ∞ дасть енергію всіх N частинок. Враховуючи умову (2.8) нормування повної статистичної функції розподілу і означення середнього арифметичного, одержуємо

. (2.14)

Після підстановки виразів (2.6) і (2.7) маємо

.

Виконємо заміни Е=kTx, a dE=kTdx . Одержуємо

. Чисельник інтегруємо по частинам,

прийнявши .

.

Перший доданок в чисельнику після підстановки меж інтегрування дає нуль. Після скорочення інтегралів одержуємо відому із молекулярно-кінетичної теорії формулу для середньої енергії

.

Аналогічно правилу (2.14) знаходяться середні значення інших фізичних величин, наприклад середньої квадратичної швидкості

, (2.15)

середнього імпульсу

і т.д. (2.16)

3. Теплові властивості твердих тіл

До теплових властивостей відносяться: теплоємність, теплове розширення, теплопровідність. Розглянемо кожне із цих явищ.

1. Класична теорія теплопровідності твердих тіл. Закон Дюлонга і Пті. Протиріччя класичної теорії теплоємності твердих тіл

Молярною теплоємністю називається кількість теплоти, яку необхідно передати 1 молю речовини, щоб температура збільшилась на 1К. Передану теплоту поглинають молекули і атоми, тобто відбувається зміна внутрішньої енергії U_м за рахунок теплопередачі. Отже молярна теплоємність знаходиться за формулою

, (3.1)

де U_м – внутрішня енергія 1 моля твердого тіла.

В молекулярно-кінетичній теорії було введене поняття степеней вільності і встановлено, що N – атомна молекула має 3 поступальних, 3 обертальних і 3N-6 коливальних степенем вільності. Розглядаючи властивості твердих тіл ми маємо системами з величезною кількістю частинок. Так в 1 см³ металу міститься приблизно 10²² атомів. Тому коливальних степеней вільності 310²²-6 набагато більше, ніж поступальних і обертальних, якими можна знехтувати. Таким чином класична теорія теплоємності розглядає тверде тіло як систему з 3N коливальними степенями вільності, на кожну з яких, згідно з відомим законом про рівномірний розподіл енергії по степеням вільності, припадає енергія kT. Тоді внутрішня енергія 1 моля твердого тіла

, (3.2)

де N_А –число Авогадро, k – стала Больцмана, N_А k = R – газова стала.

Із (3.1) і (3.2) одержуємо

, (3.3)

що молярна теплоємність твердих тіл не залежить від температури і для всіх тіл однакова. Цей закон був на початку 1819 році експериментально встановлений при високих температурах французькими вченими Дюлонгом і Пті. При зменшенні температури, як показали експерименти, теплоємність зменшується до нуля пропорційно Т³ (рис.3.1). Причому це зменшення починалось для різних речовин при різній характерній температурі, яка була названа температурою Дебая в честь німецького фізика П.Дебая (1884-1966), який розробив квантову теорію теплоємності, що не суперечить експериментові. Розглянемо цю теорію в наступних двох параграфах.