Лабораторна робота № 3. Алгебра логіки. Закони алгебри логіки. Перемикаючі функції.

Теоретичний матеріал.

Закони алгебри логіки:

Закон	Для АБО	Для І
Переставний	x  y = y  x	xy=yx
Сполучний	x  (y  z) = (x  y)  z	x  (y  z) = (x  y)  z
Розподілювальний	x(yz) = xyxz	x(yz) = (xy)(xy)
Правила де Моргана
Ідемпотенції	xvx = x	xx = x
Поглинання	x (x  y) = x	x  (x  y) = x
Склеювання
Операція змінної з її інверсією
Операція з константами	x  0 = x; x1 =1	x1=x;x0 = 0
Подвійного заперечення

Приклад 1. Спростити формулу (А v В) & (А v С).

Розв’язок:

Відкриємо дужки: (А v В) & (А v С) = A & A v A & C v B & A v B & C;

По закону ідемпотенції A & A =A, відповідно,

A & A v A & C v B & A v B & C = A v A & C v B & A v B & C;

У висловлюваннях А і А & C винесемо за дужки А і використовуючи властивість А + 1= 1, отримаємо

A v A & C v B & A v B & C = A & (1 v C) v B & A v B & C = A vÚ B & A v B & C;

Аналогічно попередньому пункту винесемо за дужки висловлювання А.

A v B & A v B & C = A & (1 v B) v B & C = A v B & C.

Приклад 2.Спростити формули

Розв’язок:

Приклад 3. Задача .

Затримано підозрюваних у злочині Брауна, Джона і Сміта. Один з них говорить правду, інший - напівправду, третій – неправду .Приведемо їх покази

Браун: "Я зробив це, Джон не винен."

Джон: "Браун не винен, злочинець - Сміт."

Сміт: "Я не винен, винен Браун."

Знайти злочинця, якщо відомо, що він один.

Рішення.

Введемо позначення:

B - винен Браун;

C - винен Сміт;

D - винен Джон.

Тоді умова задачі буде виражена двома логічними рівняннями:

Як знак заперечення використаємо апостроф після логічної змінної.

1) BD '+B'C+BC' = 1 (свідчення підозрюваних, один з них істинно);

2) B'C '+B'D'+C'D '= 1 (злочинець єдиний).

M = (BD '+B'C+BC') (B'C '+B'D'+ C'D ') = B'CD'+BC'D '= 1.

BC'D 'відпадає, тому що інакше Браун і Сміт обидва кажуть правду.Значить істинне B'CD ', тобто злочинець - Сміт, він ще й брехун. Джон говорить правду, Браун - напівправду. До речі, відсіяти BC'D ' можна було на першому етапі, оскільки з умов завдання слідує BD '+BC' = 0, тому M = B'C (B'C '+B'D'+C'D ') = B'CD'.

Завдання:

1. Встановіть, які з наступних пропозицій є логічними висловлюваннями, а які - ні (поясніть чому):

"Сонце є супутник Землі";

"2 +3 = 4";

"Сьогодні відмінна погода";

"В романі Л.Н. Толстого" Війна і мир "3432536 слів";

"Санкт-Петербург розташований на Неві";

"Музика Баха занадто складна";

"Перша космічна швидкість дорівнює 7.8 км / сек";

"Залізо - метал";

"Якщо один кут в трикутнику прямий, то трикутник буде тупокутній";

"Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої, то він прямокутний".

2. Вкажіть, які з висловлювань попереднього завдання істинні, які - помилкові, а які відносяться до числа тих, істинність яких важко або неможливо встановити.

3. Складіть таблиці істинності логічних виразів:

А v (¬ B v C).

¬ (А v B) v (A v ¬ B).

(А v B) v (C v B).

4. Складіть логічну функцію f (x, y, z) для заданої таблиці істинності:

x	y	z	f
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	0	1

5. Вираз (¬ (¬ А) v С) v B v (¬ C) рівносильний одному з наступних виразів. Якому?

а) A v (¬ C);

б) (¬ A) v B;

в) A v (¬ C).

6. Знайти функції провідності таких перемикаючих схем:

   Варіант №1
   Варіант №2
   Варіант №3
   Варіант №4

7. Перевірити рівносильність таких перемикаючих схем:

Варіант №5
Варіант №6
Варіант №7
Варіант №8
Варіант №9

8. Побудувати перемикаючі схеми зі заданими функціями провідності:

   Варіант №10
   Варіант №11
   Варіант №12
   Варіант №13

9. Спростити функції провідності і побудувати перемикаючі схеми, що відповідають спрощеним функціям:

   Варіант №14
   Варіант №15
   Варіант №16
   Варіант №17
   Варіант №18
   Варіант №19
   Варіант №20
   Варіант №21
   Варіант №22

10. Спростити такі перемикаючі схеми:

    Варіант №23
    Варіант №24
    Варіант №25
    Варіант №26
    Варіант №27
    Варіант №28
    Варіант №29
    Варіант №30

11. Оформити звіт з лабораторної роботи.

ішення.