- •Глава 1. Общие сведения о системах автоматического управления и регулирования
- •1.1.Основные понятия и виды
- •1.2.Виды воздействий в системах автоматического регулирования
- •1. Единичный скачок и ступенчатое воздействие
- •2. Единичный импульс
- •3. Импульсное воздействие
- •5. Синусоидальное воздействие
- •1.3. Классификация систем автоматического
- •4.Понятие о линейных и нелинейных системах
- •5.Классификация сар в зависимости от способов их настройки
- •1.4. Контрольные вопросы для сямопроверки
- •Глава 2. Математическое описание систем автоматического управления
- •2.1.Постановка задачи
- •2.2. Математическое описание линейных сау
- •2.3. Передаточные функции сау
- •2.4.Переходные функции( временные характеристики) элементов сау
- •2.5.Импульсная переходная(весовая)
- •2.6.Частотные характеристики сау
- •2.7. Логарифмические частотные характеристики сау
- •2.8. Контрольные вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Типовые звенья систем
- •3.1.Разделение сау на типовые звенья
- •3.2. Безынерционное звено
- •3.3. Апериодическое звено первого порядки
- •3.4. Колебательное звено
- •5.5. Апериодическое (инерционное) звено второго порядка
- •Временные характеристики звена
- •Частотные характеристики звена
- •5.6. Консервативное звено
- •Переходная функция звеня h(t)
- •Частотные характеристики звена
- •3.7. Интегрирующие звенья
- •3.7.1. Идеальное интегрирующее звено
- •3.7.2. Реальные интегрирующие звенья или интегрирующие звенья с замедлением
- •3.8. Пропорционально-интегральное звено (изодромное)
- •Частотные характеристики звена (рис. 3.31)
- •Логарифмические частотные характеристики
- •3.9. Дифференцирующие звенья
- •3.9.1 Идеальное дифференцирующее звено
- •3.9.2. Реальное дифференцирующее звено
- •3.10.Пропорционально-дифференцирующее звено
- •Частотные характеристики пд-звена
- •3.11. Пропорционально-интегрально-дифференциальное звено (пид-звено)
- •Частотные характеристики
- •3.12.Запаздывающее звено
- •3.13. Особые звенья линейных сау
- •3.13.1. Устойчивые неминимально-фазовые звенья
- •3.13.2. Неустойчивые звенья
- •3.14.Контрольные вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Структурные схемы сар и их преобрабования
- •4.1.Понятия о структурной схеме
- •4.2.Пример составления структурной схемы системы
- •4.3. Получение передаточной функции разомкнутой системы по передаточным функциям звеньев
- •4.3.1.Передаточная функция цепи последовательно соединенных звеньев направленного действия
- •4.3.2. Параллельное соединение звеньев направленного действия (рис. 4.6)
- •4.3.3.Передаточная функция системы, охваченной обратной связью
- •4.4. Преобразование структурных схем
- •4.5. Построение частотных характеристик разомкнутой системы по частотным характеристикам звеньев
- •4.6.Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых сар
- •4.7.Передаточные функции замкнутых сар
- •4.7.1. Передаточные функции замкнутой системы по отношению к задающему и возмущающему воздействиям
- •4.8. Контрольные вопросы для самопроверки
2.2. Математическое описание линейных сау
При исследовании динамических процессов в САУ используются линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения описывают связь между входным и выходным параметрами отдельных элементов и выражают аналитически характер изменения во времени выходного параметра при определенном виде входного параметра.
Предположим, что линейная САУ описывается дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами и это уравнение имеет следующий вид:
, (2.1)
где хвых = у - выходная величина звена (системы);
хвх - входная величина эвена (в отклонениях от состояния равновесия);
a1,a2,….an-1,an,b1,b2,….bn - постоянные коэффициенты, определяющие параметры звена.
При записи дифференциального уравнения члены, содержащие выходную величину и её производные, записывают в левой части уравнений, а все остальные члены - в правой.
В принципе можно решить это уравнение и найти ответ, т.е. реакцию системы y=xвых(t) на входное воздействие u(t)=xвх(t).Уравнение (2.1) описывает не только переходные, но и установившиеся процессы в системе.
Для определения связи между установившимся значением выходной величины xвых и установившимся значением входной величины xвх достаточно
приравнять к нулю все производные входной и выходной величины,
. (2.2)
В этом случае дифференциальное уравнение упростится и даст искомую зависимость между хвых и хвх в установившемся режиме.
(2.3)
Разрешив это уравнение относительно хвых.у1 получим статическую характеристику системы.
. (2.4)
Запись уравнения в форме (2.1) неудобна, особенно, когда возникает необходимость исследовать взаимодействие отдельных звеньев системы при их соединении в различные цепи. Кроме того, решение уравнений с порядком выше третьего значительно усложняется и требует применения вычислительной техники. Поэтому для упрощения решения уравнения (2.1) используют средства описания динамических свойств системы через преобразование Лапласа. Основанием для этого служит то обстоятельство, что такое преобразование существенно облегчает исследование сложных систем, поскольку дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими.
Преобразование Лапласа позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок при вычислении постоянных интегрирования. Преобразование Лапласа преобразует функцию вещественного переменного (в том числе времени) в функцию комплексного переменного.
Если имеется некоторая функция f(t) независимой переменной t, то преобразование Лапласа, производимое над функцией f(t) и обращающее её в функцию F(p), определяется соотношением
, (2.5)
где p=α+ϳ∙ω - произвольная комплексная величина.
Функция f(t) называется оригиналом, а функция F(p) - изображением функции f(t). При применении преобразования Лапласа к функции f(t) рассматриваются значения этой функции лишь при t>0, т.е. после приложения в системе внешних возмущающих воздействий, что характерно техническим задачам САУ.
Основные преобразования Лапласа были рассмотрены в других курсах, поэтому они здесь не рассматриваются.
Наряду с прямым преобразованием (2.5) функции времени f(t) в F(p), т.е. наряду с операцией перехода от функции вещественного переменного t к функции комплексного переменного p, пользуются обратным преобразованием, т.е. преобразованием изображения функции F(p) в оригинал f(t).
. (2.6)
Преобразование Лапласа для типовых математических операций, а также для функций, часто встречающихся в задачах автоматического регулирования, можно найти в учебниках [1].
Пользуясь преобразованием Лапласа, представим дифференциальное уравнение (2.1) в операторном виде.
или
, (2.7)
где - оператор дифференцирования.
Последнее выражение является Лапласовым изображением дифференциального уравнения (2.1) при нулевых начальных условиях. Нулевые начальные условия состоят в том, что в системе n-го порядка при t>0 выходная величина и все ее производные от первого до n-1 равны нулям.