Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009
.pdfГлава 5. Основи диференційного числення для функції однієї змінної
5.1. Похідна
Похідною функції y=f(x) в точці х називається границя відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, і позначається:
f x lim |
f x x f x |
. |
|
||
x0 |
x |
Поняття похідної широко використовується в багатьох областях. Так, наприклад, якщо функція y=f(x) описує закон руху матеріальної точки, то в цьому випадку похідна визначає миттєву швидкість точки в момент часу x. Якщо функція y=f(x) визначає кількість електрики у, що протікає через поперечний переріз провідника за час x, то f x буде визначати
силу струму, що проходить через поперечний переріз провідника в момент часу x. Теплоємність тіла є похідною від кількості тепла за температурою і т.д.
Найпростіші правила обчислення похідних
Нехай функції u x |
|
|
|
|
|
і v x мають у певній точці похідні u ,v . |
|||||
Тоді функції |
|
|
|
|
|
1). y=cu, (c=const); 2). y=u v; |
3). y=uv; 4). y |
u |
, v 0 |
|
|
v |
|
||||
|
|
|
|
|
також мають похідні в цій точці, які обчислюються за формулами, поданими в табл. 5.1.
Таблиця 5.1 − Правила обчислення похідних
cu cu
u v u v
u v u v uv
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u v uv |
|
, v 0. |
||
|
|
|
|
|
||
|
v2 |
|
||||
v |
|
|
|
З таблиці видно, що:
266
постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто
cu cu ;
похідна від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі
похідних доданків, тобто u v u v ;
похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох добутків: похідної
першої функції на другу та похідної другої функції на першу, тобто
u v u v uv ;
похідна частки дорівнює дробу, знаменник якого є квадратом даного знаменника, а чисельник – різницею добутків: похідної чисельника на
знаменник |
та |
чисельника |
|
на |
похідну |
знаменника, |
|
тобто |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u v uv |
|
, v 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Нехай функція u x має в деякій точці |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x0 похідну ux x0 , а |
|||||||||||||
функція y f u |
має у відповідній точці u0 |
x0 |
|
f |
|
u0 . |
||||||||||
похідну y |
|
|||||||||||||||
Тоді складна функція y f x |
|
в зазначеній точці |
x0 також буде мати |
|||||||||||||
похідну, яка визначається за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y' x |
|
f ' u u' x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
yu |
ux . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Іншими |
|
словами, похідна |
|
складної |
функції |
дорівнює |
добутку |
похідної даної функції за проміжним аргументом та похідної проміжного аргументу за незалежною змінною.
Якщо функція y f (x) |
задовольняє умовам теореми про існування |
|||||
оберненої функції і в точці |
x0 |
має похідну f x0 0 , то для оберненої |
||||
функції x g( y) у відповідній точці |
x0 g( y0 ) також існує похідна, яка |
|||||
визначається за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
x |
y x0 |
||||
|
|
|
|
|||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
yx |
267
Нижче наведена таблиця похідних простіших елементарних функцій |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в припущенні, що аргумент u є деякою функцією від x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Таблиця 5.2 − Таблиця похідних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
cosu u |
|
|
|
|
||||||||||||
|
1) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin u |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
u |
n |
|
nu |
n1 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
10) |
|
cosu sin u u |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
11) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
u |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 u |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
12) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
u |
|
|
|
|||||||||||
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
ctg u |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
u |
|
|
|
|
|||||||
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin u |
|
1 u2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5) |
loga u |
|
u ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) arccosu |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6) |
ln u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u2 |
|
|
|
|||||||||
|
7) |
a |
u |
|
a |
u |
ln a u |
|
|
15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arctg u |
1 |
u2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
8) eu euu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) arcctg u |
|
1 u2 . |
|
|
|
||||||||||||||
Приклад 1. Знайти похідну функції y= |
3x2 |
5 75 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Подамо дану функцію у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 3x 5 1 |
7 x5 |
1 3x 5 1 7 x 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепер, користуючись таблицею, обчислимо похідну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
28 |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y 3 x 5 |
|
|
|
|
7 x |
|
5 |
3 5 |
2 7 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
3 |
|
2 |
|
5 |
|
. |
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
5 |
x |
9 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приклад 2 Знайти похідну функції y=ln sinx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Розв’язання. Позначимо |
u sin x , |
тоді |
|
дана |
функція |
y ln u |
є |
|||||||||||||||||||||||||||||
складною функцією по відношенню до аргументу x , тобто u є проміжним |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аргументом. Використовуючи правило диференціювання складної функції, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x , то y |
|
|
|
1 |
|
cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
маємо: ln u u |
u , |
|
|
u |
|
sin x |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
268 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 3. Знайти похідну функції y tg12 3cos x 4x .
Розв’язання. Дана функція є степеневою функцією, основою якої є складна функція. Знаходження похідної будемо виконувати послідовно, використовуючи правила диференціювання складної функції. Перш за все
обчислимо похідну степеневої функції за формулою un n un1 u , де u tg 3cos x 4x , n 12 .
y 12 tg11 3cos x 4x tg 3cos x 4x .
Надалі знайдемо похідну від тангенса, потім від його аргументу, тобто від
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tg v ( v 3 cos x 4x ), далі |
|
від |
кореня |
|
кубічного |
3 w ( w cos x 4x ) і |
||||||||||||||||||||
нарешті від підкореневого виразу. Таким чином, маємо |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 12 tg11 3 cos x 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos x 4x |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cos2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
12 tg11 3 cos x 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x 4x |
|
|
|
3 |
cos x 4x = |
||||||||||
cos2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x 4x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12 tg11 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
cos x 4x 23 |
sin x 4 . |
||||||||||||||
cos x 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
cos2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x 4x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. На практиці проміжні аргументи u,v, w,... зазвичай не вводяться, при знаходженні похідних необхідно завжди аналізувати аргумент тієї функції, від якої береться похідна.
Приклад 4. Знайти похідну функції
|
|
|
|
5 |
|
|
y arctg 3x 5 3sin |
2 |
2x |
x |
8 |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|||||
|
lg 1 tg x |
Розв’язання. Дана функція є сумою двох доданків. Перший доданок в свою чергу є добутком, а другий – часткою. Тому послідовно використовуємо правила диференціювання суми, добутку, частки, а також складної функції.
3 3sin2 2x
y 1 3x 5 2 arctg 3x 5 3sin2 2x ln 3 2sin 2x cos 2x 2
269
|
|
5 |
x |
3 |
5 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
lg 1 tg x x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
8 |
8 |
|
|
|
||||||||||
|
|
8 |
1 tg x |
cos2 x |
ln10 |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
lg2 |
1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Диференціювання неявних функцій |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Якщо рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x,y)=0 |
(5.1) |
є тотожністю, коли в ньому у замінюється функцією f(x), то говорять, що y=f(x) є неявною функцією, яка визначається даним рівнянням (5.1). Для того щоб знайти похідну y функції y=f(x), яка задана неявно рівнянням
(5.1), треба продиференціювати обидві частини тотожності F(x,y(х)) 0 за змінною x, користуючись правилом диференціювання складної функції. Потім отримане рівняння розв'язати відносно y .
Приклад. Знайти похідну функції y y x , яка задана рівнянням
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y sin x tg y 0 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Диференціюючи за x задане рівняння, |
де |
y вважаємо |
||||||||||||||||||
функцією від x , одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
sin x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
x y cos x tg y sin x |
|
|
0, |
x |
|
y |
|
|
|
cos x tg y, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 y |
|
|
|
cos2 y |
2 |
x |
|||||
звідки знаходимо y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
cos x tg y cos2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
- |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 y sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Логарифмічне диференціювання
Нехай функція y=f(x) має похідну y f x , яку важко обчислити за
допомогою тих правил та формул, що були наведені раніше, але натуральним логарифмом цієї функції ln f(x) є функція, яка диференціюється без зайвих зусиль. Тоді для знаходження похідної застосовується метод логарифмічного диференціювання, який полягає в послідовному логарифмуванні початкової функції ln y=ln f(x), а потім диференціюванні її як функції, що задана неявно. Тоді якщо ln y x , то
після диференціювання одержимо
y x , y
270
звідки знаходимо
|
|
|
|
|
y |
y x |
|||
або |
|
x . |
||
y f x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y x3 5x2 |
|
. |
|
Приклад 1. Знайти похідну функції |
x |
Розв’язання. Формули для диференціювання даної функції в таблиці немає. Скористуємось методом логарифмічного диференціювання. Прологарифмуємо цю функцію:
ln y 1x ln x3 5x2 .
Диференціюючи обидві частини рівності, знаходимо
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3x2 10x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ln x3 |
5x2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
y |
x2 |
x |
x3 5x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3x 10 |
|
|
|
|
|||
|
y x3 5x2 x |
|
ln x3 5x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
x3 5x2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
x x2 1 |
|||
|
|
Приклад 2. Знайти похідну функції |
|
. |
||||||||||||||
|
|
x2 1 2 |
Розв’язання. Безпосереднє обчислення похідної цієї функції є громіздким, в той час як натуральний логарифм y легко диференціюється. Прологарифмуємо цю функцію:
ln y 13 ln x ln x2 1 2ln x2 1 .
Диференціюємо обидві частини тотожності, розглядаючи у як функцію від х, тоді
y |
|
1 |
|
1 |
|
2x |
2 |
2x |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 1 |
x2 1 |
||||||||
y 3 |
x |
|
|
|
|
звідки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
x x2 1 |
|
|
1 |
1 |
|
2x |
2 |
2x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
x2 1 2 |
|
|
x2 1 |
x2 1 |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
271
Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі
Похідна функції в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до неперервної кривої в цій точці. Звідки отримаємо, що рівняння невертикальної дотичної до кривої y=f(x) в точці M0 x0 , y0 має вигляд
y y0 y x0 x x0 .
Рівняння вертикальної дотичної x x0 .
Нормаллю до кривої в точці M0 x0 , y0 називається пряма, яка є перпендикулярною до дотичної, що проведена до кривої в даній точці.
Рівняння негоризонтальної нормалі |
має |
|
вигляд |
y y0 |
|
1 |
|
x x0 . |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y x0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рівняння горизонтальної нормалі y y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приклад. Записати рівняння дотичної і нормалі до кривої |
|
|
|||||||||||||||||
y x3 3x2 2 |
в точці з абсцисою x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. Ордината точки дотику y |
13 3 12 |
2 4 . Кутовий |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x1 3x2 6x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
коефіцієнт дотичної k y |
|
|
|
x1 3 6 3. Рівняння дотичної |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у+4=–3(х-1) або 3х+у+1=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Кутовий |
коефіцієнт нормалі |
k |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
. Рівняння |
|
нормалі |
||||||
нор |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kкас |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y 4 |
1 |
x 1 |
або х – 3у –13 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Диференціал функції
Функція y=f(x) називається диференційованою в даній точці x, якщо приріст y цієї функції в точці x, який відповідає приросту аргументу x, може бути подано у вигляді
y A x x , |
(5.2) |
де A – деяке число, яке не залежить від x, а – функція аргументу x, яка є нескінченно малою при x 0 . Головна частина приросту функції A x , лінійна відносно x , називається диференціалом функції і позначається dy A x .
Теорема. Для того щоб функція y=f(x) була диференційована в точці x, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.
272
При доведенні цієї теореми з’ясовується зміст А, а саме встановлюється, що
A y x .
Враховуючи цю рівність, формулу для диференціала функції можна записати так:
|
(5.3) |
dy y x . |
На основі цієї теореми можна ототожнювати поняття диференційованості функції в даній точці з поняттям існування похідної функції в цій точці. Тому операція знаходження похідної називається диференціюванням.
Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційована в точці x, то вона неперервна в цій точці. Зворотнє твердження не завжди правильне.
Наприклад, функції у= x (рис. 5.1,а), y 3x (рис. 5.1,б) є неперервними в
точці х=0, однак вони не диференційовані в цій точці.
Диференціал незалежної змінної х дорівнює її приросту, dх= x , тому формулу (5.3) можливо записати як
|
(5.4) |
dy y dx . |
Вираз (5.4) ми називатимемо канонічним виразом диференціала функції. З
цієї формули маємо, що y dydx , тобто похідну від функції y за x можна
розглядати як частку від ділення диференціала функції y на диференціал (приріст) незалежної змінної dx.
y |
|
|
|
y |
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
х |
|
|
y 3 |
x |
Рис. 5.1.а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1.б) |
|
Приклад. Знайти диференціал функції |
|
y ln tg |
x . |
||
Розв’язання. dy tg |
dx |
|
|
dx |
x . |
x cos2 |
x 2 x |
x sin 2 |
|||
Диференціювання функцій, які задані параметрично |
|||||
|
|
|
|
x x(t), |
|
Якщо функція задана параметрично, тобто |
|
||||
|
|
|
|
y y(t), |
273
то її похідну за змінною х можна подати таким чином: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dy |
|
yt dt |
|
yt |
, тобто |
|
|
yt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
|
|
xt |
yx |
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx xt dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приклад. Знайти похідну |
|
функції, яку задано параметрично: |
|
|
|||||||||||||||
yx |
|
|
|||||||||||||||||
x a t sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y a 1 cost . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язання. Знайдемо |
похідні |
функцій |
x x t , |
y y t |
відносно |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a 1 cost , |
|
|
|
|
|
|
asin t |
|
|
sin t |
|
|||
аргументу t . |
xt |
yt asin t . Тоді |
yx |
|
|
cost |
|
1 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1 |
|
cost |
||||
|
Геометричний зміст диференціала функції |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З формули (5.3) випливає, що |
||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
y |
|
диференціал |
|
функції |
|
у=f(x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
K |
dy |
|
дорівнює |
|
|
|
dy f x dx . |
||||||
|
|
|
M |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
f x tg |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Враховуючи, |
|
що |
|
||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy tg dx , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 5.2.), отримаємо |
|
||||||||
0 |
|
|
|
x |
|
x+dx |
|
|
x |
тобто |
|
геометричний |
|
зміст |
|||||
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
|
|
|
диференціала полягає в тому, що він |
|||||||||||
дорівнює приросту ординати дотичної, яка проведена до кривої y=f(x) в |
|||||||||||||||||||
точці з абсцисою x, при переході від точки дотику в точку з абсцисою |
|||||||||||||||||||
x x (dy= KN ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Інваріантність формули диференціала I порядку |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Нехай задана функція y=f(x), |
де x= t , тобто y=f( t ) |
є складною |
||||||||||||||||
функцією. Припустимо, що f та – диференційовані функції. Обчислимо dy: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dy yt dt fx xt dt xt dt dx fxdx f x dx . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Таким чином, диференціал функції має один і той самий вираз як у |
||||||||||||||||||
випадку, коли аргумент є незалежною змінною, так і у випадку, коли |
|||||||||||||||||||
аргумент є функцією функції. Цю властивість диференціала називають |
|||||||||||||||||||
інваріантністю формули (або форми) диференціала. Слід звернути увагу |
|||||||||||||||||||
на те, що інваріантна (незмінна) саме форма диференціала, тому що зміст |
|||||||||||||||||||
формули диференціала складної функції суттєво відрізняється від змісту |
|||||||||||||||||||
формули диференціала функції від незалежної змінної. Саме у формулі |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy f x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
274 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx є не тільки диференціалом, але і приростом x аргументу x, якщо x – незалежна змінна. Якщо аргумент x є в свою чергу функцією деякої змінної t, то dx є диференціалом x, який не збігається з x .
Застосування диференціала до наближених обчислень
При достатньо малому x можна замінити приріст функції її диференціалом, тобто f x0 x f x0 f x0 x .
І звідси знайти наближене значення шуканої величини за формулою
|
f x0 |
x f x0 f x0 x . |
|
|
|
(5.5) |
||||
|
Приклад. Обчислити наближено arctg0,97. |
|
|
|
|
|||||
|
Розв’язання. Застосовуючи формулу (5.5), |
одержимо, |
що |
|||||||
arctg x0 x arctg x0 |
arctg x0 x ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
де |
x0 x 0,97; x0 1; x 0,03; arctg x |
|
|
. |
|
|
||||
|
x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Тоді |
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 0,97 arctg1 1 12 4 0,015 0,7554. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
5.3. Похідні та диференціали вищих порядків |
|
|
|
||||||
|
Нехай функція |
y f x |
диференційована на деякому |
проміжку |
||||||
a,b . Значення похідної f x , загалом говорячи, |
залежить від |
x , |
тобто |
|||||||
похідна від f x являє собою також функцію від x . |
Якщо ця функція |
сама є диференційованою в деякій точці x інтервалу a,b , тобто має в цій
точці похідну, то вказана похідна називається другою похідною (або
похідною другого порядку) і позначається як y y f x .
Так само можна ввести поняття третьої похідної, потім четвертої і взагалі похідної n -го порядку.
Для похідної n -го порядку справедливі правила:
1.u v (n) u(n) v(n) ;
2.cu (n) cu(n) , c const ;
3. uv |
(n) |
u |
(n) |
v nu |
(n1) |
|
|
n(n 1) |
u |
(n2) |
|
... uv |
(n) |
. |
(5.6) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
v |
1 2 |
|
v |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (5.6) називається формулою Лейбніца.
275