Правило треугольника

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

16) Свойства определителей

1.   (определитель не меняется при транспонировании вокруг главной диагонали).

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, определитель равен нулю.

3. От перестановки двух строк определитель меняет лишь знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на число  , определитель умножится на  .

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы  -й строки определителя представлены в виде суммы  , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме  -й, такие же, как в исходном определителе, а  -я строка в одном определителе состоит из  , а в другом - из  .

Определение 3.  -я строка определителя называется линейной комбинацией остальных его строк, если   такие, что, умножая  -ю строку на  , а затем складывая все строки, кроме  -й, получаем  -ю строку.

8. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных его строк, определитель равен нулю.

9. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число.

17) Минором некоторого элемента a_ij называется определитель , полученный из данного, путем вычеркивания i строки и j столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

; ; и т.д.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется его минор, взятый со знаком +, если сумма i+j - число четное; и со знаком – если сумма нечетная.

1 8) Определителем n-го порядка называют выражение вида

n-строк

m-столбцов

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример:

Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке.

19) Матрицей называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Элементом матрицы называется содержимое ее клетки.

Элементы матрицы обычно обозначают малыми буквами латинского алфавита с двумя индексами, где первый индекс – номер строки, а второй – номер столбца, где элемент расположен, например  – элемент, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их элементы, стоящие на одинаковых местах, равны.

20) Виды матриц

1. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n, а в противном случае прямоугольной.

2.  Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

3. Диагональная матрица, у которой все элементы равны единице, называется единичной

4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

5. Матрица, содержащая в себе лишь один столбец (строку) называется вектор столбцом (вектор строкой)

6. Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, расположенные по одну сторону диагонали, равны нулю.

21) Основные операции над матрицами и их свойства. (сумма, разность, произведение матрицы на число).

1. Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности mxn называется матрица C=A+B т ой же размерности m_xn, элементы которой сij = aij + bij, для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n (т.е. матрицы складываются поэлементно)

Свойства операции сложения матриц.

Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:

1) А + В = В + А (коммутативность),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С ( ассоциативность)

3) Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А+О=А.

4)Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица (–А), их суммой является нулевая матрица: А+(-А)=О.

2. Разность двух матриц одинаковой размерности определяется через следующие операции: A – B = A + (1)*B

3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число , называется матрица B A , элементы которой bij aij для i=1, 2, …, m; j= 1,2,…, n.

Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Свойства операции произведение матрицы на число

1) (Дистрибутивность умножения относительно сложения)

2) (дистрибутивность)

3) (ассоциативность)

4) Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть,  .

22) Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В 

Пример:

.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: