Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4631 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный университет Одесская морская академия (бывш. ОНМА)
Предмет:
Высшая математика
Файл:
Лекція № 6. Матем. аналіз (2).pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
06.01.2021
Размер:
845.53 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

2. Похідна за напрямком і градієнт.

Як відомо похідна функції однієї змінної відображає швидкість

зростання цієї функції. Відповідно частинні похідні функції багатьох змінних вказують швидкість зміни значення функції, якщо рух відбувається вздовж відповідної координатної осі. Виникає питання: яка буде швидкість зміни значення функції, якщо рух на площині чи в просторі буде довільним? Відповідь на це питання дає так звана похідна за напрямком.

Нехай задана

диференційована

функція

u f x, y, z . Оберемо

довільний одиничний вектор e ex ,ey ,ez

і скаляр t

0 .

 

 

Означення. Похідною за напрямком вектора

e функції

u f x, y, z

у

точці M називається границя

 

 

 

 

 

u

lim

f x tex , y tey , z tez f

x, y, z

(6.32)

 

e

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

за умови, що ця границя існує та скінчена.

 

 

 

 

 

Зазначена формула для обчислення похідної за напрямком не є зручною

для використання на практиці, тому отримаємо більш зручну формулу для

обчислення похідної за напрямком, яка не буде містити границі функції.

Нехай у просторі зафіксована точка M x, y, z . Паралельним переносом

розмістимо у цій точці початок вектора e

і систему координат xyz . На векторі e

оберемо довільну точку M1 і позначимо

 

MM1

 

t . Тоді точка M1 матиме такі

 

 

координати x tex , y tey , z tez . Оскільки

 

функція u є диференційованою,

тоді отримаємо:

 

 

 

 

 

 

u f M1 f M

u

x

u

y

u

z .

 

x

 

y

 

z

 

у якій

Поділимо останню рівність на

 

 

u

 

f M

f

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

x

cos ,

y

cos ,

z

 

t

t

t

 

 

 

 

t та отримаємо рівність:

 

 

M

 

u x

 

u y

 

u z

,

 

x t

y t

z

t

 

 

 

 

 

cos .

Переходячи в останній рівності до

границі коли t 0 і підставляючи напрямні косинуси, отримаємо формулу для обчислення похідної за напрямком:

u

 

u

cos

u

cos

u

cos .

(6.33)

e

x

y

z

 

 

 

 

 

Можна довести, що з усіх можливих напрямків існує єдиний, у напрямку якого значення функції зростає найшвидше. Цей напрямок називають градієнтом.

Означення. Градієнтом функції u f x, y, z називається вектор, який має наступний вигляд:

10

grad u

u i

u

j

u k .

(6.34)

 

x

y

 

z

 

Оскільки для одиничного косинусами цього вектора, тобто

вектора його

e cos cos

координати є напрямними cos , то між похідною за

напрямком і градієнтом встановлюється наступний зв’язок:

u

grad u e .

(6.35)

e

 

 

Отже похідна за напрямком представляє собою скалярний добуток градієнта функції на одиничний вектор напрямку, вздовж якого знаходиться похідна.

Зауваження 1. Формули (6.33) і (6.35) можна узагальнити для будь-якого

ненульового вектора

a :

 

 

 

 

u

 

u

cos

u

cos

u

cos ,

(6.36)

 

 

 

 

a

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

grad u a0

,

 

 

(6.37)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де a0

 

a

– орт вектора

a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

кут між векторами

a

і

grad

u

. Згідно означення скалярного

добутку, оскільки

a0

1

, з (6.37) маємо:

u

grad

a

 

u cos

.

(6.38)

Зауваження 2. Формули (6.33), (6.34), (6.36) легко переносяться на двовимірний випадок, для цього достатньо в усіх формулах виключити похідну

за змінною

z .

Зауваження 3. З формули (6.38) випливає, що похідна за напрямком приймає своє максимальне значення у напрямку, який співпадає з напрямком градієнта функції, причому це максимальне значення дорівнює модулю градієнта функції:

u

grad u .

 

(6.39)

a max

 

 

 

 

Приклад. Знайти похідну функції u ln x2 3y2

 

за напрямком вектора

a 3;4 у точці M 1;1 і градієнт у точці M .

Розв’язання.

Знайдемо частинні похідні заданої функції у точці M :

11

u

 

2x

u

 

6y

 

 

 

 

u

M

2

 

 

 

 

 

,

y

 

 

,

 

 

 

 

x

x2 3y2

x2 3y2

x

 

4

Далі визначимо напрямні косинуси вектора a

:

 

 

 

a

3

2

4

2

5,

cos

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

За формулами (6.36) і

 

(6.34),

 

у

яких

u

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

u

M

6

 

3

.

 

, y

 

 

 

2

4

2

cos

4

.

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ,

 

знайдемо

похідну за

напрямком і градієнт функції у точці M

:

 

 

 

 

 

 

u

M

1

 

 

3

 

 

3

a

2

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

grad u M

1

i

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

3

2

15

 

10

 

j .

 

3 2

,

3. Екстремум функції двох змінних.

Наведемо основні означення та теореми, які приймемо без доведення. Нехай задана диференційована в деякій області функція u f x, y .

Означення. Точка

M0 x0 , y0 називається точкою локального максимуму

(мінімуму) функції u f

x, y , якщо для будь-якої точки M з достатньо малого

околу точки

M 0

виконується нерівність u M u M0

(u M0 u M ).

Точки, в яких функція має максимум або мінімум, називають точками екстремума цієї функції, а значення функції в них – екстремумами.

Теорема 1 (необхідна умова екстремуму).

 

 

Якщо у точці M0 x0 , y0 функція u f

x, y

має екстремум, то у цій

точці її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують.

 

 

Означення. Точки, в яких усі частинні похідні функції

u

дорівнюють

нулю, називають стаціонарними.

 

 

Означення. Точки, в яких усі частинні похідні функції

u

дорівнюють

нулю або не існують, називають критичними.

 

 

Теорема 2 (достатня умова екстремуму).

 

 

Нехай

функція

u f x, y неперервна разом зі своїми

частинними

похідними до

другого

порядку включно в околі стаціонарної

точки M 0 і

2u

 

2u

 

2u

 

 

 

M0 A ,

 

2 M 0 B ,

 

 

M0 C . Позначимо

x

2

y

 

x y

 

 

 

 

 

якщо:

 

 

 

 

 

 

 

а) 0 , то у точці M

0 екстремум є, причому, при

мінімуму, а при A 0 маємо точку максимуму;

 

 

б) 0 , то у точці M 0

екстремуму не має.

AB

A 0

C

2

. Тоді

 

маємо точку

12

Зауваження. При

0

для перевірки існування екстремуму в точці

потрібні додаткові дослідження.

M

0

 

Приклад. Дослідити функцію

екстремум.

Розв’язання.

u x

2

2xy 4 y

2

5x 4 y 5

 

 

на

Задана функція є визначеною і диференційованою для всіх

x,

y

, тому

її екстремум може бути тільки у стаціонарних точках. Визначимо стаціонарні точки заданої функції, тобто точки, підозрілі на екстремум. Для цього знайдемо частинні похідні першого порядку та прирівняємо їх до нуля. Усі розв’язки отриманої системи будуть шуканими стаціонарним точками.

2x2x

Таким чином,

u

2x 2 y 5,

u

2x 8y 4 .

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y 5 0

 

 

 

 

x

5

y

 

 

x 4

,

 

 

 

,

 

 

3 .

8 y 4 0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2 y 8 y 4 0

 

y

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка

 

4,

 

3

 

є стаціонарною

точкою для заданої

M0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

функції. Визначимо, значення частинних

чи має функція в цій точці екстремум. Для цього знайдемо похідних другого порядку функції u у цій точці.

 

u

 

 

u

 

2

 

 

 

2

 

 

 

x

2

2,

y

2

8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

2

 

x y

2

.

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

M

 

2,

 

A

x

2

0

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки

2 8 2

2

12

 

 

екстремум, причому мінімум ( A 2

0

 

u

 

2

 

 

y

 

2

 

, то

0 ).

 

M

0

8,

 

 

у

 

точці

C

M

0

 

 

u

 

 

2

 

M

 

x y

0

 

 

 

задана

2 .

функція має

13

Соседние файлы в предмете Высшая математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности