3167
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИКА
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания к практическим занятиям для студентов
по специальности
15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов, специализация «Проектирование технологических машин лесного комплекса»
Воронеж 2017
УДК 517.9
Веневитина, С.С. Математика. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : методические указания к практическим занятиям для студентов по специальности 15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов, специализация «Проектирование технологических машин лесного комплекса» / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов, В.В. Зенина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2017. – 18 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22.04.2016)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного университета С.П. Зубова
Оглавление
1.Теоретическая часть………………………………………………………. 4
1.1.Основные понятия………………………………………………………. 4
1.2.Дифференциальные уравнения первого порядка………………........... 4
1.2.1.Уравнения с разделяющимися переменными………………………. 5
1.2.2.Однородные дифференциальные уравнения…………………........... 6
1.2.3.Линейные уравнения…………………………………………………. 6
1.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………… 7
2.Практическая часть……………………………………………………….. 10
3.Индивидуальные задания………………………………………………… 15
4.Вопросы для самоконтроля и проверки………………………………… 17 Библиографический список…………………………………………………. 18
Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решение практических примеров, которые помогут студентам подготовиться практическим занятиям, выполнить самостоятельную работу, индивидуальные задания по такому разделу математики как дифференциальные уравнения.
При подготовке методического указания авторы стремились к доступному изложению материала (за счет определенного снижения строгости), чтобы его с малыми затратами труда и времени могли освоить бакалавры, обучающиеся как в очной так и в заочной форме.
Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта по соответствующей специальности.
1. Теоретическая часть
1.1. Основные понятия
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются дифференциальными уравнениями (ДУ) (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения y f ( x ) является функция y F( x ) – первообразная для функции f ( x ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В
данном учебном пособии будут рассматриваться только обыкновенные ДУ. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком
этого уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, уравнение |
y 3y 2 y 0 – |
обыкновенное ДУ третьего |
|||||||
порядка, а уравнение x |
2 |
y |
|
5xy y |
2 |
|
|
|
– ДУ в |
|
|
|
– первого порядка; yzx |
xzy |
частных производных первого порядка.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а
график решения ДУ – интегральной кривой.
1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно
записать в виде |
|
F( x; y; y ) 0. |
(1) |
Если уравнение (1) можно разрешить относительно y , то его записывают |
|
в виде |
|
y f ( x; y ) |
(2) |
и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.
ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
P( x; y )dx Q( x; y )dy 0 ,
где P( x; y ) и Q( x; y ) – известные функции.
Общим решением ДУ первого порядка называется функция y ( x;c ), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1)Функция ( x;c ) является решением ДУ при каждом фиксированном значении c .
2)каково бы ни было начальное условие y y0 при x x0
|
y( x0 ) y0 |
|
y0 ), можно найти такое |
(записывается в виде |
или y |
||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
значение постоянной |
c c0 , что |
функция |
y ( x;c0 ) удовлетворяет |
данному начальному условию.
Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y ( x;c0 ) , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной c c0 .
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения Ф( x; y;c ) 0, то такое решение называется общим интегралом ДУ.
Уравнение Ф( x; y;c0 ) 0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.
Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего
заданному начальному условию, называется задачей Коши. |
|
|||
1.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными |
|
|||
ДУ с разделяющимися переменными имеют вид |
|
|||
P( x ) Q ( y ) dx P ( x ) Q ( y ) dy 0 . |
(3) |
|||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
Особенность уравнения (3) в том, |
что коэффициенты при |
dx и dy |
представляют собой произведения функций, одна из которых зависит только от
|
x , другая – только от y . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Почленно разделив это уравнение на Q1( y ) P2( x ) , получаем уравнение |
||||||||||
с разделенными переменными |
|
|
|
||||||||||
|
P( x ) |
dx |
|
Q ( y ) |
dy 0 , |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
проинтегрировав |
которое, |
находим |
||||||
|
P2 ( x ) |
|
Q1( y ) |
||||||||||
|
|
|
P( x ) |
dx |
|
Q ( y ) |
dy c – общий интеграл. |
|
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
P ( x ) |
Q ( y ) |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Замечание. Уравнение |
y f1( x ) f2( y ) также сводится к уравнению |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с разделенными переменными. Для |
этого достаточно |
положить y |
dx |
и |
||||||||||
|
||||||||||||||
разделить переменные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция |
f ( x; y )называется |
однородной |
функцией |
n -го |
|
порядка |
||||||||
(измерения), если выполняется равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f ( x; y ) n f ( x; y ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Например, |
функция |
f ( x; y ) x2 |
2xy |
есть |
однородная |
функция |
||||||||
второго порядка, поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ( x; y ) ( x )2 2( x )( y ) 2( x2 2xy ) 2 f ( x; y ) . |
|
|||||||||||||
Дифференциальное уравнение |
y f ( x; y ) называется |
однородным, |
||||||||||||
если функция f ( x; y ) есть однородная функция нулевого порядка. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Однородное ДУ можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f |
|
. |
|
|
|
|
(4) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однородное уравнение (4) преобразуется в уравнение с разделяющимися
переменными при помощи подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
u |
или, что то же самое, |
y ux . |
|||||||
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, подставив y ux и |
y |
|
|
|
в уравнение (4), |
|||||||
|
u x u |
|||||||||||
|
u |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx f ( u ) u , |
|
|||||||||
получаем u x |
f ( |
uили) |
т.е. уравнение с |
разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий
интеграл), следует заменить в нем u на |
y |
. Получим общее решение |
|
x |
|||
|
|
||
(интеграл) исходного уравнения. |
|
|
1.2.3. Линейные уравнения
Дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно
записать в виде |
|
y p( x )y g( x ) , |
(5) |
где p( x ) |
и g( x ) – заданные функции или постоянные. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Особенность линейного ДУ: |
искомая функция y |
и ее производная y |
|||||||||||||||||||||||||
входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение |
уравнения |
(5) ищется в |
виде |
|
произведения двух функций |
||||||||||||||||||||||
y u , |
где |
u u( x ) |
и |
|
( x ) – неизвестные функции от x , причем |
||||||||||||||||||||||
одна из них произвольна. Тогда y |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Подставляя выражения y и y |
|
|||||||||||||||||
|
u u |
|
|
||||||||||||||||||||||||
в уравнение (5), |
получаем |
|
|
|
|
p( x )u g( x ) |
или |
|
|||||||||||||||||||
u u |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p( x ) g( x ) . |
(6) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
||||||||||||||||||
Подберем функцию ( x ) так, чтобы выражение в скобках было |
|||||||||||||||||||||||||||
равно нулю, т.е. решим ДУ с разделяющимися переменными |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p( x ) 0 dx p( x ) |
p( x )dx . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Интегрируя, получаем |
|
ln |
|
|
|
p( x )dx c . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ввиду свободы выбора функции ( x ) , можно принять c 0. Тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e p( x )dx . |
|
|
|
||||||||||
Подставляя найденную функцию |
в уравнение (6), получаем ДУ с |
||||||||||||||||||||||||||
разделяющимися переменными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
p( x )dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
p( x )dx |
|
|
||||
|
|
|
e |
|
|
|
g( x ) dx e |
|
|
|
|
g( x ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
du g( x ) e p( x )dxdx |
|
|
|
|
|
u g( x )e p( x )dxdx c .
Возвращаясь к переменной y , получаем решение исходного ДУ (5)
|
g( x )e |
p( x )dx |
|
e |
p( x )dx |
|
y u |
|
dx c |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
1.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
спостоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) второго порядка с
постоянными коэффициентами имеет вид |
|
y py qy f ( x ) , |
(7) |
где p и q – действительные числа, f ( x ) – некоторая функция. |
|
|
Если |
f ( x ) 0 , то уравнение |
|
|
y py qy 0 |
(8) |
называется |
однородным; в противном случае при f ( x ) 0 уравнение |
(7) |
называется неоднородным.
Структура общего решения ЛДУ второго порядка определяется
следующей теоремой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема |
1. |
Общее |
|
решение |
неоднородного уравнения |
(7) |
||||||||||||||
представляется как сумма какого-нибудь частного |
решения |
yчн |
|
этого |
||||||||||||||||
уравнения и общего решения |
yоо |
|
соответствующего однородного уравнения |
|||||||||||||||||
(.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yон yоо yчн . |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||
Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения (8) с |
||||||||||||||||||||
постоянными коэффициентами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Составим |
для линейного |
|
однородного |
ДУ |
характеристическое |
|||||||||||||||
уравнение (для этого достаточно в уравнении (8) заменить |
|
|
и |
y |
||||||||||||||||
y , y |
|
|||||||||||||||||||
соответственно на |
k 2 , k и 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k 2 pk q 0 . |
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||||
При решении характеристического уравнения возможны следующие три |
||||||||||||||||||||
случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай 1. |
|
Корни характеристического уравнения действительные и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||
различные: D p2 |
4q 0 , |
k k |
2 |
, |
k |
|
|
D |
. Тогда общее решение |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1,2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (8) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
c ek1x |
c ek2 x . |
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||
|
|
|
|
oo |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и |
||||||||||||||||||||
равные: D p2 |
4q 0 , |
k |
k |
|
|
p |
. Тогда общее решение уравнения (8) |
|||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
c ek1x |
c xek1x |
ek1x c c x . |
|
|
(12) |
||||||||||||
|
|
oo |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Случай 3. |
Корни |
характеристического |
уравнения |
комплексные: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D p2 4q 0 , |
k |
i |
p |
i |
q |
p2 |
|
. Тогда |
общее решение |
|
|
|
|||||||||
|
1,2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнения (8) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
e x c cos x c |
sin x . |
(13) |
|||||
|
|
oo |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (8) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (10) и использованию формул (11) – (13) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).
Перейдем теперь к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами (7).
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов,
состоит в следующем: по виду правой части f ( x ) уравнения (7) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (7) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
|
Случай 1. |
Правая часть уравнения имеет вид f ( x ) P ( x ) e x , |
где |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
, |
Pn ( x ) – многочлен степени n . Уравнение (7) запишется в виде |
|
||||||
|
|
|
y py qy Pn ( x ) e x . |
|
|
|||
|
В этом случае частное решение ЛНДУ yчн ищем в виде |
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
Q ( x ) xr e x , |
|
(14) |
|
|
|
|
чн |
|
n |
|
|
|
где |
Q ( x ) A xn A xn 1 |
A |
– многочлен степени n , |
записанный с |
||||
|
n |
0 |
1 |
|
n |
|
|
|
неопределенными коэффициентами Ai , а r – число совпадений |
с корнями |
|||||||
k1,2 |
характеристического уравнения (10). |
|
|
|||||
|
Случай 2. |
Правая часть уравнения имеет вид |
|
|
||||
|
|
|
f ( x ) e x P ( x )cos x Q ( x ) sin x , |
|
||||
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
где |
Pn ( x ) и Qm ( x ) – многочлены степени n и m соответственно, и – |
|||||||
действительные числа. Уравнение (7) запишется в виде |
|
|
||||||
|
|
y py qy e x Pn ( x )cos x Qm( x ) sin x . |
(15) |
В этом случае частное решение следует искать в виде
|
|
y e x xr M ( x )cos x N ( x ) sin x , |
(16) |
|||
|
|
чн |
|
|
|
|
где r – |
число |
совпадений |
i с корнями k1,2 |
характеристического |
||
уравнения |
(10), |
M ( x ) |
и |
N ( x ) – многочлены степени |
с |
|
неопределенными |
коэффициентами, |
– наивысшая |
степень многочленов |
Pn ( x ) и Qm ( x ), т.е. max( n,m ) .
Замечание 1. После подстановки функции (16) в уравнение (15)
приравнивают |
многочлены, |
стоящие |
перед |
одноименными |
|||||
тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения. |
|||||||||
Замечание 2. Форма (16) сохраняется и в тех случаях, когда Pn ( x ) 0 |
|||||||||
или Qm ( x ) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Практическая часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка |
|||||||||
|
|
|
|
6 y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2x |
1 , |
y(1) 4. |
|
||||
|
|
|
|||||||
Решение. |
Данное уравнение является дифференциальным уравнением с |
разделяющимися переменными, то есть уравнением вида y |
f1( x ) f2( y ) |
||||||||||||||
(здесь f ( x ) |
6 |
|
, f |
|
( x ) y ). |
Запишем его в виде |
|
dy |
|
6 y |
. |
||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
1 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2x 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Разделив обе части уравнения на y |
( y 0 ) и умножив на dx , получаем ДУ с |
||||||||||||||
разделенными переменными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
6dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
в левой части которого отсутствуют члены, содержащие x , и в правой части которого отсутствуют члены, содержащие y . Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем
|
|
|
dy |
|
|
|
6dx |
|
c , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
2x |
1 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
или |
ln |
y |
3ln |
2x 1 |
ln |
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(здесь символ обозначает какую-либо одну первообразную, произвольная
постоянная c0 взята в логарифмическом виде для удобства).