3322
.pdf1
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежская государственная лесотехническая академия»
ЭКОНОМЕТРИКА
Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей 080102 – Мировая экономика, 080109 – Бухгалтерский учет, анализ и аудит
Воронеж 2010
2
ББК 65в631
Глухов, Д. А. Эконометрика [Текст] : методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей 080102 – Мировая экономика, 080109 – Бухгалтерский учет, анализ и аудит / Д. А. Глухов ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». − Воронеж, 2010. – 36 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 1 от 25 сентября 2009 г.)
Рецензент д-р техн. наук, проф. В.Д. Волков
3
Лабораторная работа № 1 Построение и анализ линейной модели парной регрессии
Цель работы: на основе исходных данных построить и провести анализ линейной модели парной регрессии.
Теоретические сведения
Линейная модель парной регрессии представляет собой уравнение вида
yx = a + b x , |
(1.1) |
где y x – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая переменная (признак фактор).
Данное уравнение позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результативного признака y x , подставляя в него фактические значения фактора x .
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу параметры a и b находятся из решения системы линейных уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a n + b ∑xi = ∑yi ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
(1.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
∑xi + b |
∑xi |
2 = ∑xi yi , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|||||||||
где n – число наблюдений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решая систему уравнений (1.2) относительно параметров a и b получим |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a = y − b x , b = |
|
|
|
− y x |
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
(1.3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 − x 2 |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
n |
|
1 |
n |
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
x = |
∑xi , |
y = |
∑yi , |
|
x y |
= |
∑yi |
xi , x2 = |
∑xi |
2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n i=1 |
|
n i=1 |
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy , который можно рассчитать по формуле
rxy =b |
σ x |
, |
(1.4) |
σ y
4
|
1 |
n |
|
|
1 |
n |
|
|
|
где σ x = |
∑(xi − x) 2 = x 2 − x 2 ; σ y = |
∑( yi − y)2 = y 2 − y 2 . |
|||||||
|
|
||||||||
|
n i=1 |
n i=1 |
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: −1 ≤ rxy ≤1. Чем ближе абсолютное значение rxy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при rxy = ±1 имеем строгую функциональную зависимость), чем
ближе к нулю, тем линейная связь слабея.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции rxy 2 , называемый коэффициентом де-
терминации
r 2 |
=1 − |
σост |
2 |
, |
(1.5) |
|
|
|
|||||
xy |
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
где σост |
2 |
= |
∑( yi − yx i )2 . |
|
|
|
|||
|
|
|
n i=1 |
Для качества модели по относительным отклонениям по каждому наблюдению, определяют ошибку аппроксимации
A |
= |
|
yi − y |
xi |
|
100 % . |
(1.6) |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
i |
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F- критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для линейной модели регрессии может быть определено через коэффициент детерминации rxy 2 по следующей формуле
F = |
|
rxy |
2 |
|
(n − 2) . |
(1.7) |
|
− rxy |
2 |
||||
1 |
|
|
Фактическое значение F-критерия Фишера (1.7) сравнивается с табличным значением Fтабл (α; k1 ; k2 ) при уровне значимости α и степенях свободы k1 = m и k2 = n − m −1, где m – число параметров при переменной x в (1.1). При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.
Впарной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения
вцелом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из парамет-
5
ров определяется его стандартная ошибка: mb и ma . Кроме того, стандартная ошибка определяется для линейного коэффициента корреляции mr .
Стандартные ошибки определяется из соответствующих выражений
|
|
mb = |
|
|
Sост |
|
; |
|
|
|
(1.8) |
||
|
|
σx |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Sост |
∑xi |
2 |
|
|
||||||
|
|
ma = |
|
|
|
i=1 |
|
|
; |
(1.9) |
|||
|
|
|
|
σx |
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 − r |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
mr = |
|
|
|
xy |
|
, |
|
|
(1.10) |
||
|
|
|
|
n − 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( yi − yx )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Sост = |
i=1 |
– корень остаточная дисперсия на одну степень сво- |
|||||||||||
n − 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
боды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фактические значения t-критерия Стьюдента для параметров b, a и линей-
ного коэффициента корреляции rxy определяется из выражений |
|
|||||
tb = |
b |
; |
(1.11) |
|||
mb |
||||||
|
|
|
|
|
||
ta = |
a |
|
; |
(1.12) |
||
ma |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
tr = |
|
a |
; |
(1.13) |
||
|
mr |
|||||
|
|
|
|
|
Далее фактические значения t-критериев сравниваются с табличным значением при определенном уровне значимости α и числе степеней свободы (n − 2) . Если фактическое значение t-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость данного параметра уравнения регрессии. Доверительные интервалы для параметров регрессии a и b определяются как
b± tтаблmb и a ± tтаблma .
Впрогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказы-
ваемое yпр значение как точечный прогноз y x , при xпр = x , т.е. путем подста-
новки в уравнение регрессии yx = a + b x соответствующего значения x . По-
6
этому он дополняется расчетом стандартной ошибки yпр , т.е. myпр , и соответст-
венно интервальной оценкой прогнозного значения yпр
yпр − yпр ≤ yпр ≤ yпр + yпр , |
(1.14) |
где yпр = myпрtтабл; myпр – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения
1 |
|
(xпр − x)2 |
|
||
myпр = Sост 1 + n |
+ |
|
|
. |
(1.15) |
n σx |
2 |
Задание к работе
1. Для удобства проводимых в ходе выполнения работы вычислений составить табл. 1.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x |
y |
x y |
x 2 |
y 2 |
y x |
y − y x |
(y − yx )2 |
Ai ,% |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ
σ 2
Примечание: столбцы 7, 8, 9 заполняются после выполнения п.2 задания к работе, столбец 10 после п.3.
2. Построить линейное уравнение парной регрессии y x от x вида (1.1), найдя его параметры a и b из выражений (1.3).
3.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции (1.4), коэффициент детерминации (1.5) и ошибку аппроксимации (1.6).
4.Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на основе F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F- критерия (1.7) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 2).
5.Оценить статистическую значимость параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции на основе t-критерия Стьюдента. Необхо-
7
димо рассчитать фактические значения t-критерия для a , b и rxy (1.11), (1.12) и
(1.13) и сравнить их с табличным значением (см. приложение 2). Далее рассчитать доверительные интервалы параметров регрессии a и b.
6. Выполнить прогноз yпр при прогнозном значении xпр , составляющем
D, % от среднего уровня x . Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза (1.15) и его доверительный интервал (1.14).
7. На одном графике построить исходные данные (зависимость y от x ) и теоретическую прямую (рассчитанную по модели 1.1).
Содержание отчета
•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.
•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.
•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.
•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.
Лабораторная работа № 2 Построение и анализ нелинейной модели парной регрессии
Цель работы: на основе исходных данных построить и провести анализ нелинейных моделей парной регрессии.
Теоретические сведения
Регрессионные модели нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью МНК. Рассмотрим некоторые функции.
Нелинейная логарифмическая функция
yx = a + b ln x |
(2.1) |
приводится к линейному виду с помощью замены |
|
z = ln x . |
(2.2) |
В результате подстановки получается уравнение |
|
8 |
|
yz = a + b z . |
(2.3) |
Оценка параметров полученной линейной модели (2.2) проводится при помощи МНК.
Согласно данному методу параметры a и b находятся из решения системы линейных уравнений
|
n |
|
n |
|
|
a n +b ∑zi = ∑yi ; |
|
||||
|
i=1 |
i=1 |
|
(2.4) |
|
|
n |
n |
|
n |
|
a ∑zi +b |
∑zi |
2 |
= ∑zi yi , |
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
|
где n – число наблюдений.
Решая систему уравнений (2.4) относительно параметров a и b получим
|
|
|
|
a = y −b z , b = |
|
|
|
|
− y z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
z y |
|
, |
(2.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z2 − z 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
1 |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где z = 1 ∑zi , |
y = |
∑yi , |
z y |
= 1 ∑yi zi , |
z2 |
= 1 ∑zi |
2 . |
|
|||||||
|
|
||||||||||||||
n i=1 |
|
n i=1 |
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
Нелинейная степенная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
yx = a xb |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
|
приводится к линейному виду логарифмированием |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ln yx = ln(a xb ); ln yx |
= ln a + b ln x . |
(2.7) |
||||||||||
Делая следующие подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Y =ln y ; |
X =ln x ; |
A =ln a , |
(2.8) |
||||||||
получаем линейное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Yx |
= A + b X . |
|
|
(2.9) |
Параметры модели (2.9) оцениваются на основе МНК, путем решения системы уравнений аналогичной (2.4).
Параметр b модели (2.9) соответствует одноименному параметру модели
искомой модели (2.6), а её параметр a находится из выражений (2.8) |
|
a = AA . |
(2.10) |
Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции
9
где
σост
σy 2 = 1 ∑n ( yi −
n i=1
2= 1 ∑n ( yi − yxi
n i =1
ρxy = |
1 − |
σ |
ост |
2 |
, |
(2.11) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y)2 – общая |
дисперсия |
результативного признака y, |
|||||
)2 – остаточная дисперсия. |
|
Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака
ρxy |
2 =1 − |
σост |
2 |
= |
σобъясн |
2 |
, |
(2.12) |
||
|
|
σ |
2 |
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
где σобъясн |
2 |
= |
∑( yxi |
− y)2 . |
|
|
|
|
n i=1 |
|
Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом нелинейного уравнения регрессии по F-критерию Фишера
F = |
|
ρxy |
2 |
|
|
n − m −1 |
. |
(2.13) |
|
|
− ρxy |
2 |
m |
|
|||||
1 |
|
|
|
где ρxy2 – индекс детерминации, n – число наблюдений, m – число параметров
при переменной x. Фактическое значение F-критерия (2.13) сравнивается с табличным при уровне значимости α и числе степеней свободы k1 = m (для факторной суммы квадратов) и k2 = n − m −1 (для остаточной суммы квадратов).
Задание к работе
1. Построить и провести анализ нелинейной логарифмической функции yx = a + b ln x .
1.1.Для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).
1.2.Построить нелинейное логарифмическое уравнение парной регрессии yx от x вида (2.1), найдя его параметры a и b из выражений (2.5), предвари-
тельно сделав замену (2.2).
10
Таблица 2.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x |
z |
y |
z y |
z2 |
y 2 |
y x |
y − y x |
(y − yx )2 |
Ai ,% |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ
σ 2
Примечание: столбцы 8, 9, 10 заполняются после выполнения п.1.2 задания к работе, столбец
11 после п.1.3.
1.3.Рассчитать индекс корреляции (2.11), индекс детерминации (2.12) и ошибку аппроксимации (1.6).
1.4.Оценить статистическую значимость полученного уравнения регрессии в целом на основе F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F-критерия (2.13) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 2).
1.5.Построить на графике исходные данные (зависимость y от x ) и тео-
ретическую кривую (рассчитанную по модели 2.1).
2. Аналогично с п. 1 построить и провести анализ нелинейной функции с квадратным корнем вида yx = a + b x , при этом для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.1.
Таблица 2.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
X |
Y |
X Y |
X 2 |
Y 2 |
yx |
y − y x |
(y − y x )2 |
Ai ,% |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ
σ2