4574

Решение.

Проведем исследование функции

y

5x2

по следующей схеме:

x2

25

1.

Область определения функции.

В область определения исследуемой функции не входят лишь те значения x ,

для

которых

x2 25 0 ,

то

есть

x 5

и

x 5.

Поэтому

D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) .

y(x)

5x2

y( x)

5( x)2

5x2

y(x)

5x2

,

,

.

x2 25

( x)2 25

x2 25

x2 25

Видим, что y( x) y(x) для любого x из

области определения функции.

y 0,

5x2

y

.

x

2

25

Отсюда получаем, что x 0 ,

y 0. Следовательно, точка (0;0) является точкой

пересечения графика функции с осью Ox .

Для нахождения точки пересечения

графика функции с осью Oy решим

систему уравнений

x 0,

5x2

y

.

x

2

25

2

2

2

2

2

2

2

5x

(5x

(x

25) 5x

(x

10x (x

25)

5x

2x

)

25)

y

2

2

2

2

2

25

(x

25)

(x

25)

x

10x (x

2 25 x2 )

250x

.

(x2 25)2

(x2

25)2

y 0 при x 0 ,

y

не существует при x 5 и

x 5.

Точки

x1 5 ,

x2 0 ,

x3 5 разбивают область определения функции на четыре интервала

( ; 5) ,

( 5;0) ,

(0;5) , (5; ) . Определим знак производной

y на каждом из них.

Возьмем любое

число

из

интервала

( ; 5) ,

например

6 .

Так

как

250 ( 6)

1500

y ( 6)

12,4 0 ,

поэтому

на всем интервале ( ; 5)

(36 25)2

121

производная y 0

и,

следовательно,

функция монотонно возрастает. Аналогично

определяем знак производной y

на трех других интервалах:

250 ( 1)

250

y ( 1)

0,4 0

,

(1 25)2

576

250 2

500

y (2)

1,1 0 ,

(4 25)2

441

250 7

1750

y (7)

3,1

0 .

(49 25)2

576

Результаты исследования занесем в таблицу:

x

( ; 5)

( 5;0)

0

(0;5)

(5; )

y

+

+

0

−

−

y

0

y

функция

функция

max

функция

функция

возрастает

возрастает

убывает

убывает

Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) , ( 5;0) и убывает

на интервалах (0;5) , (5; ) . В точке

x 0 производная меняет знак с «+» на «−»,

следовательно, x 0 −

точка максимума функции. Значение функции в этой точке

равно:

ymax(0) 0 .

5. Исследование функции по второй производной (выпуклость, вогнутость,

точки перегиба графика).

Найдем вторую производную функции:

2

250x

(x

2

25)

2

x ((x

2

25)

(x)

)

y

250

( y )

2

2

4

25)

2

(x

25)

(x

250

1 (x2 25)2

2x (x2 25) 2x

250

(x2 25) (x2

25 4x2 )

(x2

25)4

(x2 25)4

14

5 22

20

5 72

245

y(2)

0,9

,

y(7)

10,2 .

22

25

21

72 25

24

1.

y

1

.

2.

y

1 x3

.

x2

4x 3

x2

3.

y

x3

.

4.

y

x2

2x

.

2x2

x 1

6

16

5.

y

x2

x 4

.

6.

y

x 2

.

2x

x3

7.

y

1

.

8.

y

x3

4

.

x2

3x2

2x

9.

y

x2

.

10. y

x3

.

x2 1

x2 1

z

4 y2 x .

Функция z

4 y2

x определена во всех точках, координаты x и y

которых

удовлетворяют

неравенству

4 y2 x 0

или x 4 y2 . Уравнение

x 4 y2

задаѐт параболу, а

неравенству x 4 y2

удовлетворяют координаты точек

плоскости, расположенных левее этой параболы:

а) При нахождении частной производной

z

переменная y рассматривается

x

как постоянная:

17

z

9x8 y2 4 .

x

При нахождении частной производной

z

переменная

x рассматривается как

y

постоянная:

z 2x9 y 2 .

y

Найдѐм частные производные второго порядка:

2 z

z

9x

8

2

4

7

2

y

72x

y

,

x

2

x

x

x

2 z

z

9x

8

y

2

4 18x

8

y

,

y x

y

x

y

2 z

z

2x9 y 2 2x9 ,

y

2

y

y

y

2 z

z

2x9 y 2 18x8 y .

x y

x

y

x

z

2x ln y ,

z

x2

.

y

x

y

Найдѐм частные производные второго порядка:

2 z

z

2x ln y

2ln y ,

2

x

x

x

x

2 z

z

2x ln y

2x

,

y x

y

x

y

y

2 z

z

x2

2x

,

x y

y

x

x

y

y

2 z

z

x2

x2

y

y

.

2

y

y

2

y

y

Задание 3. Исследовать на экстремум функцию

z 4x2

4xy 2y2 8x 2y 1.

Вычислим частные производные первого порядка

z 8x 4 y 8,

z

4x 4 y 2

x

y

Решая систему уравнений, находим стационарную точку

x

3

,

y 1. Чтобы

2

3

определить, действительно ли точка

; 1

является точкой экстремума, найдѐм

2

частные производные второго порядка:

2 z

8x 4 y 8 8,

x2

x

2 z

4x 4 y 2 4 ,

y2

y