4574
.pdfОпределим постоянные |
A, В и С . |
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Если |
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x 0 , |
то |
15 3A и |
A 5; |
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если |
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x 3, |
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то |
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36 12B |
и B 3; |
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|||||||||||||||||||||
если |
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x 1, |
то |
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8 4C |
и |
C 2 . |
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Тогда |
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7x 15 |
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5 |
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3 |
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2 |
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dx |
3 |
dx |
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dx = |
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dx = |
5 |
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x3 |
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x 3 |
x 1 |
x |
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2x2 3x |
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x |
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x |
3 |
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2 |
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dx |
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5ln |
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x |
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3ln |
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x 3 |
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2ln |
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x 1 |
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C . |
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x |
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1 |
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5.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 0. 1) |
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5x4 |
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2 |
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1 |
dx ; 2) |
1 |
x 2 dx ; |
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3x |
3 x2 |
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x x |
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sin( 6x 8 )dx ; |
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23 5x dx ; |
5) |
cos |
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x |
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x3 |
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3) |
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4) |
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dx ; |
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6) |
3 x4 dx ; |
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x |
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7) |
x cos(2x)dx ; |
8) |
x2exdx ; 9) |
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3x 1 |
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dx ; |
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10) |
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dx |
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x2 3x 1 |
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3sin x 4cos x |
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x |
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2 |
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3 |
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x |
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Вариант 1. |
1) |
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5x 7 |
9 x |
dx ; |
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2) |
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dx ; |
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2 |
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x |
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x |
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3) |
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dx |
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; |
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9x 3 |
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4) |
e12 x 7dx ; |
5) |
e x2 xdx ; |
6) |
ln6 |
x |
1 |
dx |
; |
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7) |
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x arctgxdx ; |
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x |
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8) |
ex sin xdx ; |
9) |
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2x 1 |
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dx ; |
10) |
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x 3 |
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dx . |
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3x2 4x 2 |
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(x2 |
1)(x 1) |
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4 |
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3 |
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(x2 |
x )2 |
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Вариант 2. |
1) 2x |
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dx |
; |
2) |
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dx ; |
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x |
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x |
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x |
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x |
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dx |
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3) |
cos( 2 9x )dx ; |
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4) |
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7x 4 dx ; |
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5) |
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cos |
2 |
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x 1 tgx |
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6) |
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2 |
x |
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dx ; |
7) |
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x e xdx ; |
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x |
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23 |
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x2 cos(2x)dx ; |
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x 1 |
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2x 1 |
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8) |
9) |
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dx ; |
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10) |
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dx . |
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2x2 x 1 |
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(x 1)(x2 5) |
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4 |
2 |
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cos(2x) |
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x |
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3 |
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2 |
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Вариант 3. |
1) |
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x |
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dx ; 2) |
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dx ; |
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cos |
2 |
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x sin |
2 |
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x |
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x |
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3) |
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dx |
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; |
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4) |
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e1 8 xdx ; |
5) |
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x2 |
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dx |
; |
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6) |
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sin x |
dx ; |
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cos2 ( 5x 3 ) |
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5 x3 4 |
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cos3 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
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lg x |
dx ; |
8) |
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x e3xdx ; |
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x3 |
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9) |
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x 3 |
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dx ; |
10) |
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dx |
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. |
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3x2 x 1 |
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sin x cos x |
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3x |
2 |
5x 4 |
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2 |
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Вариант 4. |
1) |
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dx ; 2) |
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5 |
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x4 |
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dx ; |
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x |
|
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3 4 |
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x3 |
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||||||||||||||||
3) |
cos 4xdx ; |
|
4) |
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|
dx |
|
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; |
5) |
ctg7 x |
1 |
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dx ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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sin2 ( 4x 3 ) |
sin2 x |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
ecos x sin xdx ; 7) |
|
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x cos(2x)dx ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
e x sin xdx ; |
|
9) |
|
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3x 1 |
|
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|
|
dx ; |
10) |
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|
2x 1 |
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|
dx . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4x2 |
x 2 |
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|
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x 1 2 x 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 3 |
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||||||||||||||
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|
2 |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||
Вариант 5. |
1) |
|
|
7x4 3x |
|
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|
dx |
; |
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|
2) |
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dx ; 3) |
e2 x 5dx ; 4) |
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|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
5 x3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||
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|
x |
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|
|
|||||||||||
sin |
|
dx ; |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
dx ; |
6) |
|
|
|
tg |
|
|
x |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
3 |
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||
7) |
|
x2 sin(2x)dx ; |
|
|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||||
8) |
x2 |
e 2 xdx ; |
|
9) |
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
dx ; |
10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
x 2 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Вариант 6. |
1) |
|
7x3 |
|
|
|
|
|
6 dx |
; |
|
2) |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
3) e2 x 10dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xln x2 |
|
1 dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
dx ; |
|
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
6) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
7) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 e2 x |
|
|
|
|
x4 1 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
sin 3x cos 5x dx ; |
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
x x2 |
x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 3x |
4 |
ctg 2 xdx ; 3) |
|
sin( 3 |
6x )dx ; |
|||
|
|
4 x |
|||||||||
Вариант 7. 1) |
|
|
|
|
|
dx ; 2) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
|
; |
|
5) |
|
|
x |
|
|
dx ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8) |
arctgxdx ; |
|
|
9) |
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2x2 7x 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
Вариант 8. |
1) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx ; |
||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
x2 dx |
e x cos 2x dx ; |
|||
|
|
; 7) |
||||
1 x3 |
||||||
10) |
|
2 sin x |
dx . |
|||
2 cos x |
||||||
|
|
|
|
|||
2) |
|
tg2 xdx ; |
3) e2 5 xdx ; |
4) |
3x 4 |
4 |
dx ; |
5) |
cos xdx |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin |
2 |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8) |
arccos xdx ; |
9) |
|
2 x |
|
|
|
dx ; |
|||||
|
|
||||||||||||
2x2 |
x 1 |
xdx |
|
7) x2 sin 3x dx ; |
6) x4 1 |
; |
x1
10)x2 3 x 5 dx .
|
|
|
|
|
|
|
5 |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
3x2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 9. 1) |
|
|
2) |
|
|
|
|
; |
3) |
e 3 dx ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos 2x sin |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
cos(1 2x )dx ; 5) x3 5 |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
ln x |
dx ; |
|
|
x2 ln xdx ; |
||||||||||||||||
4) |
x4 1 |
6) |
7) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8) |
e x cos 2xdx ; |
|
|
9) |
|
2x 1 |
; |
10) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3x2 x 3 |
|
4sin x 5cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6. |
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
6.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Пример 1. Воспользуемся правилом интегрирования
f kx b dx k1 F kx b C ,
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получим:
2 |
|
dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7 3x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
7 3x 3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7 3x |
3 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 7 |
3x |
2 |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
6 7 3 2 |
2 |
|
7 |
3 1 |
2 |
6 |
|
|
4 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
16 |
32 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Пример 2. |
Воспользуемся методом интегрирования по частям для |
|||||||||||||
вычисления определѐнного интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
udv uv |
|
ba vdu |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 x cos 2x dx = |
u x |
dv cos 2xdx |
= |
x |
sin 2x |
4 |
|
1 |
4 sin 2xdx |
|||||
2 |
0 |
2 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
||||
du dx |
v |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
|
sin |
|
2 |
|
|
0 |
|
1 |
|
cos 2x |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
2 . |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
8 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
sin |
|
1 |
cos |
|
1 |
cos 0 |
|
||||
8 |
2 |
4 |
2 |
4 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной : |
|
|||
|
e |
ln3 x dx |
|
|
|
dx |
|
|
Пример 3. |
|
= = |
ln x t, |
|
dt |
= |
||
|
|
|
||||||
|
1 |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
t(1) 0, |
t(e) 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t4 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
||
t3dt |
|
|
|
|
4 |
|
|
||
0 |
|
0 |
||
|
14 40 14 .
Пример 4. Воспользуемся правилом интегрирования ( ) и табличным интегралом 4):
12 |
|
x |
x |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||
e4 |
|
|
dx = 3 e4 |
|
|
|
3 e4 4 e4 3 |
3 e0 e1 3 1 e 3 e 1 . |
3 |
3 |
|||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x2 3x 5; |
y x 2. |
Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему Решая полученную систему уравнений, получаем:
x1 3; |
x2 1. |
После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.3),
26
Рис.3
ограниченную прямой y x 2 и параболой y x2 3x 5.
|
|
|
|
Рис.4. |
|
Площадь фигуры, изображѐнной на рис.4, вычисляется по формуле: |
|||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
S f2 (x) f1(x) |
dx . |
|
|
|
|
a |
|
В нашем случае |
f |
2 |
(x) x 2, |
f (x) x2 3x 5 |
, следовательно, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
1 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
S |
x 2 x2 3x 5 dx |
x2 2x 3 dx |
|
x |
|
x2 3x |
|
|
|
|
|||||||
3 |
3 |
|
3 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( 3)3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
( 3) |
|
3 ( 3) |
|
|
|
|
2 |
9 9 9 10 |
|
(кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
Пример 6. Вычислить объѐм тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
2 |
2 |
|
|
||
|
x |
|
y |
1, |
x 6. |
|
2 |
2 |
|||
3 |
2 |
|
|
||
Первое уравнение задаѐт гиперболу, а |
уравнение x 6 задаѐт вертикальную |
прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой. Пользуясь формулой для вычисления объѐма тела вращения
b
VOx f 2 (x) dx ,
a
находим объѐм тела (рис.5), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси
Ox :
|
|
6 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
x3 |
|
|
6 |
|
4 |
|
63 |
|
|
|
4 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
VOx |
|
3 |
|
|
x |
|
4 |
dx |
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
4 6 |
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
|
|
3 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
8 8 16 (куб. ед.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
|
Рис.5. Объѐм |
тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ограниченной линиями |
y f (x), |
y 0, |
|
x a, |
x b |
|
(a b) , вычисляется |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
|
формуле |
|
|
|
|
|
VOx f 2 (x) dx . |
|
|
|
В |
|
|
|
нашем |
|
случае |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
x2 |
1, |
, |
|
y2 |
|
9 |
x2 9, |
a 2, |
|
b 4, поэтому |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
x3 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
VOx |
|
2 |
|
|
x |
|
|
9 |
dx |
|
|
|
|
9x |
|
|
|
|
|
4 |
|
9 4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
2 |
12 12 24 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.
Вариант 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
cos x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||
1. |
|
|
|
4 5x dx ; |
2. |
dx ; |
3. |
|
x e x dx ; |
4. |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
x |
|
x2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
|
|
; |
2. |
sin3 x cos x dx ; |
3. x ln x dx |
; |
4. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
3x 7 dx ; |
|
2. |
|
|
|
; 3. |
|
dx ; 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
1 |
|
|
x |
|
0 |
|
|
4 |
x2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Вариант 3. |
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|
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|
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|
|
|
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||||||||
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4 |
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|
dx |
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
|
; |
2. |
ex sin(ex ) dx ; |
3. |
|
ln x dx ; |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2x 1 |
|
9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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Вариант 4.
29
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin 4x dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x2 2 dx ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
4x 3 dx ; |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
; 3. |
|
4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(arcsin x)3 |
1 x2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
2. |
x3 ln x dx ; |
|
|
3. x2 |
|
x3 3 dx ; |
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||
1. |
|
3 |
|
|
|
|
dx ; |
2. |
|
|
(5x 5)sin 3x dx ; |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2 ; |
|
2. (x 5) ln 5x dx ; |
3. |
|
x2 |
e1 x3 dx ; |
|
|
1 |
|
|
dx |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
2. |
|
|
|
( x 2) e3x dx ; |
3. |
sin2 |
|
x cos x dx ; |
|
4. |
e 3 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6x 5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 e4 5 x |
5 |
|
|
|
|
(9x 5) cos 2x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
dx ; 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Задание 2. |
|
|
|
|
Построить |
|
фигуру, |
ограниченную |
заданными линиями, и |
вычислить еѐ площадь.
Вариант 0. y x2
Вариант 1. y x2
Вариант 2. y x2
Вариант 3. y x2
Вариант 4. y x2
Вариант 5. y x2
Вариант 6. y x2
Вариант 7. y x2
2x 3; |
y x 1. |
x 1; y x 2.
6x 4; y 2x 1.
3x 1; y 2x 3.
4x 9; |
y x 3. |
4x 5; y 3x 1.
2x 9; y 4x 1.
7x 3; |
y x 5. |
30
Вариант 8. |
y x2 5x 17; |
y 2x 5. |
Вариант 9. |
y x2 11x 9; |
y 4x 3. |
Задание 3. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.
Вариант 0. y 4x x2 , y 0, x 0, x 3.
Вариант 1. |
y sin x, |
|
y 0, |
x 0, |
|
x . |
|
|||||||||||
Вариант 2. |
xy 4, |
|
y 0, |
x 1, |
x 4. |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 3. |
x |
|
y |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 4. |
y 2 |
1 |
x2 , |
y 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 5. |
y tgx, |
|
|
y 0, |
x . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Вариант 6. |
y |
8 |
, |
|
|
|
y 0, |
x 2, |
x 8. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 7. |
y cos x, |
y 0, |
x |
|
, |
x |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
Вариант 8. |
y |
|
1 |
x2 |
1, |
y 0, |
x 0, |
x 3. |
||||||||||
|
6 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 9. |
y ctgx, |
|
y 0, |
x |
|
, |
x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7.1ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка
|
|
6 y |
|
|
||
y |
2x |
1 |
, |
y(1) 4. |
||
|
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, то есть уравнением вида y f1( x ) f2( y ) (здесь
31
f ( x ) |
|
6 |
|
, |
f |
|
( x ) y ). Запишем его в виде |
|
dy |
|
6 y |
. |
Разделив обе |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2x 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
части уравнения на |
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y |
( y 0 ) и умножив на dx , |
получаем ДУ с разделенными |
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переменными |
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dy |
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6dx |
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, |
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y |
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2x 1 |
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в левой части которого отсутствуют члены, |
содержащие x , и в правой части |
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которого отсутствуют члены, |
содержащие y . Интегрируя обе части последнего |
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уравнения, получаем |
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dy |
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6dx |
c , |
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y 2x 1 |
0 |
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или |
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ln |
y |
3ln |
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2x 1 |
ln |
c |
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(здесь символ |
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обозначает какую-либо одну |
первообразную, |
произвольная |
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постоянная c0 |
взята в логарифмическом виде для удобства). После потенцирования |
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получаем общее решение исходного ДУ |
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y c 2x 1 3 . |
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Заметим, что здесь постоянная |
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c |
может принимать любое действительное |
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значение, |
в частности значение c 0, |
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так как при c 0 получаем функцию y 0 , |
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которая также является решением исходного уравнения. |
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Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее |
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условию |
y(1) 4, |
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определим значение |
постоянной c так, чтобы |
это условие |
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оказалось выполненным. |
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Подставив в общее решение x 1 и |
y 4 , получаем 4 c 2 1 1 3 , отсюда |
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c 4 . Следовательно, |
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y 4 |
2x 1 3 – искомое решение задачи Коши. |
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Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения |
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y |
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y2 xy |
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x2 |
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Решение. |
Запишем уравнение в виде |
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y |
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y 2 |
y |
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x |
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x |
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