4610
.pdf11
Если же k (0;1) , то график функции y = f (kx) получается из графика функции y = f (x) растяжением в 1k раз вдоль оси Ox.
Правило 5. График функции y = − f (x) симметричен графику функции y = f (x) относительно оси Ox.
Правило 6. График функции y = f (−x) симметричен графику функции y = f (x) относительно оси Oy.
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим некоторые примеры. |
|
|
|
|
y = 2x +3 |
||||||||
Пример 1. Построить график функции |
|||||||||||||
Сначала построим график исходной функции y = 2x по точкам: |
|||||||||||||
|
x |
|
−1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По правилу 1 график функции |
|
|
y = 2x+3 |
получается из графика |
|||||||||
функции y = 2x с помощью сдвига вдоль оси |
Ox |
на 3 единицы масштаба |
|||||||||||
влево. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Построить график функции y = log2 x +3.
|
x |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сначала строим график функции y =log2 x : |
|
2 |
|
|
|
|
, а затем, |
||||
|
y |
|
−1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
используя правило 2, сдвигаем его вверх вдоль |
оси |
Oy |
|
на |
|
3 единицы |
|||||
масштаба: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Пример 3. Построить график функции |
y =sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
строим график функции |
y =sin x , |
|
Т= 2π . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
строим график функции |
y =sin 2x , используя правило 4 ( k=2>1 ), |
||||||||||||||||
то есть сжимаем предыдущий график в 2 раза вдоль оси Ox ( Т= |
2π |
=π ). |
|
|||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x |
; y |
) → ( |
x |
; y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
i |
2 |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0;0) → (0;0) |
(π |
;1) → (π ;1) |
|
(π;0) → (π |
;0) |
( |
3π |
|
;−1) → ( |
3π |
;−1) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
4 |
|
|
Пример 4. |
Построить график функции |
|
y = |
1 cos x . |
||||||||||||||||||
1) |
строим график функции y =cos x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
0 |
|
π |
|
π |
|
3π |
, |
Т= |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
|
1 |
|
0 |
|
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
строим график функции |
y = |
1 cos x , сжимая график y = cos x в 2 раза |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вдоль оси Oy ( правило 3, m = |
(0;1) |
): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
; y |
) → (x |
; |
y |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
14 |
|
Замечание. |
График |
функции |
y = mf (kx −a) +b = mf (k(x − a)) +b |
|
|
|
k |
можно получить из |
графика |
функции |
y = f (x) путём последовательного |
построения графиков следующих функций:
1)y = f (x) - исходный график;
2)y = mf (x) - растяжение или сжатие исходного графика вдоль оси Oy ;
3)y = mf (kx) - растяжение или сжатие графика 2 вдоль оси Ox ;
4) |
y = mf (k(x − a)) - |
сдвиг графика 3 вдоль оси Ox на |
a |
единиц; |
|
k |
|||||
|
k |
|
|
||
5) |
y = mf (k(x − a)) +b - конечный график получается сдвигом графика |
||||
|
k |
|
|
|
4 вдоль оси Oy на b единиц.
IV. Квадратичная функция.
Правила преобразования графиков можно использовать при
построении графика квадратичной функции |
y = ax2 +bx +c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для этого преобразуем квадратный трёхчлен к виду |
|
|
a(x − x )2 |
− y , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выделяя в нём полный квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
b 2 |
|
|
c |
|
|
||||||||||
ax |
|
+bx +c = a(x |
|
+ |
|
|
x + |
|
|
) = a x |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
b |
2 |
b2 |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
b2 |
−4ac |
|
|
|
|
b 2 |
|
|
b2 |
− |
4ac |
|
|
||||||||||||||||
= a |
x + |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
= a |
x |
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a x |
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
4a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Введём обозначения |
|
x0 |
= − |
|
b |
|
, |
|
y0 |
= |
b2 −4ac |
|
, |
и получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = ax2 +bx +c = a(x − x0 )2 − y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Рассмотрим несколько примеров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 +6x +9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Построить график функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = x2 +6x +9 = x2 + 2 3x +32 = (x +3)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
План построения: 1) y = x2 - исходный график; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) |
y =(x +3)2 |
|
- сдвиг вдоль оси Ox влево на 3 единицы. |
15
Пример 2. Построить график функции y = x2 −4x +7 .
Выделяем полный квадрат: y = x2 −4x +7 = x2 −2 2x + 22 −22 +7 = (x −2)2 +3. Получаем y =(x −2)2 +3 .
План построения:
1)y = x2 - исходный график;
2)y = (x −2)2 - сдвиг графика 1) вдоль оси Ox вправо на 2 единицы;
3)y = (x −2)2 +3 - сдвиг графика 2) вдоль оси Oy вверх на 3 единицы.
Таким образом, (xi ; yi ) → (xi + 2; yi ) → (xi + 2; yi +3)
Пример 3. Построить график функции |
y = − |
1 x2 |
−3x +1. Преобразуем |
|
|
2 |
|
квадратный трёхчлен, выделяя полный квадрат:
y= −12 x2 −3x +1=
=−12 (x2 +6x −2) = −12 (x2 + 2 3x +9)−9 −2 = −12 (x +3)2 −11 =
=−12 (x +3)2 +112 .
План построения графика функции |
y = − |
1 |
(x +3)2 |
+ |
11 |
: |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1)y = x2 - исходный график;
2)y = −x2 - симметрия относительно оси Ox;
3)y = −12 x2 - сжатие вдоль оси Oy в 2 раза;
4)y = −12 (x +3)2 - сдвиг вдоль оси Ox влево на 3 единицы;
16
5) |
y = − |
1 |
(x +3)2 + |
11 |
- сдвиг вдоль оси Oy вверх на |
11 |
единиц. |
|
|
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x ; y ) → |
(x |
;−y ) → |
(x |
;− |
1 y ) → |
(x −3; |
− |
1 y ) |
→ |
(x −3; |
− |
1 y + |
11) |
|||||||
|
|
i |
i |
i |
|
i |
i |
|
2 i |
i |
|
2 |
i |
|
|
|
i |
|
2 i |
2 |
Замечание: График 5 получен из графика 3 одновременным смещением вдоль оси Ox и вдоль оси Oy.
V.Дробно-линейная функция.
Функция вида |
y = ax +b |
называется дробно-линейной, где a, b, c, d – |
|
cx + d |
|
любые действительные числа, причём c и d не могут быть одновременно равны нулю и ac ≠ db .
Необходимо преобразовать выражение функции к виду y = x −mx0 + y0 .
Для этого разделим ax +b «уголком» на cx + d :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ax +b |
= a |
|
b − |
ad |
= a |
|
bc −ad |
|
|
bc −ad |
+ a = |
m |
|
|
|
||||||
Тогда |
+ |
|
c |
+ |
c |
|
= |
|
|
c2 |
+ y0 , |
|
||||||||||
cx + d |
|
d |
|
|
d |
x − x0 |
|
|||||||||||||||
|
cx + d |
c |
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c(x + c ) |
|
|
x + c |
|
|
|
|
|
|
||
где |
m = bc −ad , |
x = −d |
, |
y = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
c2 |
|
0 |
|
c |
|
0 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим |
важный частный случай дробно-линейной функции, |
||||||||||||||||||||
когда |
a =0, |
b =1, |
c =1, |
|
d = 0. |
|
Получается |
функция |
|
y = 1 . |
Это |
|||||||||||
гипербола с |
областью |
определения |
D( y) =(−∞;0) U(0;+∞) . |
|
|
x |
|
|||||||||||||||
График не |
||||||||||||||||||||||
пересекается с осями координат. Прямая |
|
|
x = 0 |
( ось |
Oy ) |
является |
||||||||||||||||
вертикальной асимптотой гиперболы |
y = |
1 , |
а прямая y = 0 |
( |
|
ось |
Ox ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
является горизонтальной асимптотой. График симметричен относительно начала координат.
Зная график функции y = 1x и применяя правила преобразования графиков, легко построить более общий график дробно-линейной функции y = x −mx0 + y0 по плану:
1)y = 1x - исходный график;
2)y = mx - растяжение или сжатие вдоль оси Oy ;
3) y = x −mx0 - сдвиг вдоль оси Ox ; 4) y = x −mx0 + y0 - сдвиг вдоль оси Oy .
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1. Построить график функции y = 2x −1.
|
План построения: |
||
1) |
y = |
1 |
- исходный график; |
|
|
x |
|
2) |
y = |
2 |
- растяжение исходного графика вдоль оси Oy в 2 раза; |
|
|
x |
|
3) |
y = |
2 |
−1 - сдвиг графика 2) вдоль оси Oy на 1 единицу вниз. |
|
|
x |
|
18
(xi ; yi ) →(xi ;2 yi ) → (xi ;2 yi −1)
Пример 2. Построить график функции y |
= |
3x +7 |
. |
||
|
|||||
|
|
|
x + 2 |
||
Преобразуем выражение функции к виду y = |
|
|
m |
+ y0 , для этого разделим |
|
|
|
|
|||
|
|
x − x0 |
числитель «уголком» на знаменатель:
Получим: |
y = |
1 |
+3 . |
|||||
x + 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
План построения: |
|||||||
1) |
y = |
1 |
- исходный график; |
|||||
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
2) |
y = |
|
|
- сдвиг исходного графика вдоль оси Ox на 2 единицы влево; |
||||
x |
+ 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
19
3) y = x +1 2 +3 - сдвиг графика 2) вдоль оси Oy на 3 единицы вверх. (xi ; yi ) →(xi −2; yi ) →(xi −2; yi +3)
VI. Простое гармоническое колебание.
В естествознании и технике часто наблюдаются периодические процессы, т.е. такие явления, которые повторяются через определённый промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.
Простейшее периодическое явление – гармоническое колебание, совершаемое по закону
y = Asin(ωx +ϕ) ,
где А – амплитуда колебания, ω - частота колебания, а ϕ - начальная
фаза.
При изучении механики, радиотехники и различных биологических процессов используют функцию вида
y =acosωx +bsinωx .
Для того чтобы привести эту функцию к виду простого гармонического колебания, преобразуем выражение Asin(ωx +ϕ) :
20
Asin(ωx +ϕ) = A(sinωx cosϕ +cosωx sinϕ) = = Acosϕ sinωx + Asinϕ cosωx
Для того чтобы получить тождественное равенство acosωx +bsinωx ≡ Asin(ωx +ϕ)
надо приравнять слева и справа коэффициенты при cosωx и при sinωx . Из
тождества
acosωx +bsinωx ≡ Asinϕ cosωx + Acosϕ sinωx
получаем:
a = Asinϕ , b = Acosϕ .
Для нахождения амплитуды А возводим в квадрат и складываем почленно эти равенства:
a2 +b2 = A2 sin2 ϕ + A2 cos2 ϕ = A2 (sin2 ϕ +cos2 ϕ) = A2 ,
A2 = a2 +b2 , A = a2 +b2 .
Начальную фазу ϕ можно определить из условий:
sinϕ = aA, cosϕ = bA.
При построении графика
y = Asin(ωx +ϕ)
можно применять правила преобразования графиков, для этого надо записать функцию в виде
y= Asin ω(x + ϕ )
ω
и строить график по плану:
1)y =sin x - исходный график;
2)y = Asin x - растяжение или сжатие исходного графика вдоль оси Oy ;
3)y = Asinωx - растяжение или сжатие графика 2) вдоль оси Ox ;
4)y = Asin ω(x + ϕ) - сдвиг графика 3) вдоль оси Ox вправо или влево.
ω
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ «ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ»
Путем преобразований построить графики функций.
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
Вариант 2 |
1. |
y = −0,5 3x +1 |
1. |
|
1 |
−x+3 |
|||
|
|
|
|
y = |
2 |
|
−2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
y = log2( |
x |
−1) −3 |
2. |
y =3 lg(2x) +1 |
|||
2 |
|
|
|
|
|