Тема 2
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА (6 ч)
Тема 2, содержание которой излагается в течение трех лекций, посвящена анализу и расчёту линейных цепей синусоидального тока с использованием векторных диаграмм и комплексных амплитуд. Рассмотрены резонансные цепи, даны основы теории четырёхполюсников, в качестве которых обычно представляют усилители, фильтры, трансформаторы, лилии связи и другие устройства. Отмечены особенности расчёта индуктивно связанных и трёхфазных цепей. Дано понятие трёхфазной системы электроснабжения потребителей.
Тема изобилует интерактивными упражнениями и заданиями. По окончании её изучения предлагается провести (само)тестирование для оценки уровня своих учебных достижений по теме 2.
СОДЕРЖАНИЕ
Установочная лекция 3 (2 ч.)
АНАЛИЗ И РАСЧЕТ ОДНОФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Дидактические единицы:
3.1. Способы представления и параметры синусоидальных тока, напряжения и ЭДС.
3.2. Электрические цепи с элементами R, L и С.
3.3. Последовательная RLC-цепь и разветвленные цепи.
3.4. Мощности цепи переменного тока.
3.5. Коэффициент мощности.
3.1. Способы представления и параметры
синусоидальных ЭДС, напряжения и тока
ЭДС, напряжения и токи, значения которых периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют синусоидальными (гармоническими, иногда их называют просто – переменными).
По сравнению с постоянным током синусоидальный ток имеет ряд преимуществ. В частности, производство, передача и использование электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе; в цепях синусоидального тока относительно просто преобразовывать форму напряжения, а также создавать трехфазные системы напряжения. Синусоидальные токи широко используют в радио-, связной и контрольно-измерительной технике и в других областях.
В зависимости от типа решаемой задачи синусоидальные функции представляют:
в виде аналитических выражений:
, , ,
где е, u, i соответственно мгновенные значения ЭДС, напряжения, тока; Em, Um, Im и t + e, t + u, t + i амплитуды и аргументы (фазы) синусоидальных функций; = 2f и f =1/Т = = /2 угловая (в рад/с) и циклическая f (в Гц) частоты колебаний ЭДС, напряжения и тока; Т = 2/ (в секундах) и (в радианах) – период и начальная фаза колебаний синусоидальной функции;
графически, посредством временной (рис. 2.1а) или векторной (рис. 2.1б) диаграмм.
При вращении векторов Um и Im, отображающих синусоидальные функции u(t) и i(t) в плоскости x–y c угловой частотой против хода часовой стрелки угол сдвига фаз = u – i (в радианах или в градусах) между ними остаётся неизменным (см. рис. 3.1а), поэтому при построении векторной диаграммы векторы обычно изображают не вращающимися, а неподвижными для момента времени t = 0 (t = 0) (см. рис. 3.1б), так как взаимное расположение векторов в плоскости х-у зависит не от фаз (начальных фаз), а от угла сдвига фаз .
Сдвиг фаз алгебраическая величина. Знак угла на векторных диаграммах определяют по направлению отсчёта угла от вектора тока Im к вектору напряжения Um: если указанное направление угла совпадает с направлением частоты вращения векторов на ВД, то угол берётся со знаком плюс (рис. 3.1б), если направление отсчёта угла совпадает с направлением хода часовой стрелки, то угол берётся со знаком минус.
Отметим, что неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальных функций: амплитуды и начальные фазы. Третий параметр угловая частота должен быть известен.
Среди важнейших параметров анализируемых синусоидальных функций отметим их средние в интервале времени T/2 значения:
и среднеквадратичные значение за время Т действующие ток, напряжение и ЭДС:
,
, .
При анализе сложных разветвленных цепей, в том числе и трехфазных цепей, синусоидально изменяющиеся электрические величины представляют в виде комплексных функций (комплексных чисел), изображая векторы в комплексной плоскости с осями координат: Re ось действительных чисел и величин и Im ось мнимых чисел и величин (рис. 3.2).
При этом вектор Um при t = 0 выражают экспоненциальной функцией с мнимым аргументом и называют комплексной амплитудой, т.е. .
При повороте вектора Um на угол t его умножают на оператор вращения , т.е. при t 0
Запишем соответствие синусоидального напряжения и его комплекса:
u(t) = ,
где комплексная амплитуда напряжения, не зависящая от времени (t = 0); j = = мнимая единица; Um и u модуль и аргумент комплексной амплитуды напряжения Um при t = 0; t + u аргумент комплекса амплитуды напряжения при t 0.
Отметим, что модулем комплексной амплитуды напряжения является амплитуда Um, а аргументом начальная фаза u синусоидального напряжения u(t). Умножение вектора Um на множитель означает его поворот на угол t в положительном направлении (см. рис. 3.2б), в то время как при его умножении на множитель вектор Um нужно повернуть на угол t по ходу часовой стрелки.
Любая точка в комплексной плоскости или вектор A = 1, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а = 1coswt координата точки по оси действительных чисел; b = 1sinwt – координата точки по оси мнимых чисел (рис. 3.3а).
Воспользовавшись формулой Эйлера
запишем координаты комплекса амплитуды напряжения на осях Re и Im комплексной плоскости (рис. 3.3б):
Полученное соотношение показывает, что синусоидальная функция напряжения u(t) = = Umsin(t + u) есть проекция вращающегося вектора на мнимую ось, или есть мнимая часть (без j) комплексной амплитуды напряжения, так как
а косинусоидальная функция напряжения u(t) = Umcos(t + u) есть проекция вращающегося вектора на действительную ось или действительная часть комплексной амплитуды напряжения, так как
Например, u = 10sin (t + 45)
где комплексная амплитуда напряжения.
Поделив комплексную амплитуду напряжения Um на , получим комплекс действующего значения напряжения или комплекс напряжения:
=
Обратный переход от комплексов к синусоидальным функциям осуществляют следующим образом:
u(t) = U sin(t + u ), i(t) = Imsin(t + i) и т. д.
3.2. Анализ цепей с элементами r, l и с
методом векторных диаграмм
При анализе цепей гармонического тока угловая частота = 2f питающего цепь напряжения , как правило, известна. В этом случае задачей расчёта цепи синусоидального тока является определение амплитуд (или действующих значений) и начальных фаз токов и напряжений ветвей.
Руководствуясь компонентными уравнениями элементов схемы цепи:
и записав для неё уравнения законов Кирхгофа, получают систему интегрально-дифференциальных уравнений типа
причём правая часть этих уравнений содержит гармонические функции времени, а в левой части уравнений каждая синусоидально изменяющаяся величина (при заданной угловой частоте ) содержит два неизвестных параметра (амплитуду и начальную фазу).
Следовательно, задача анализа линейной электрической цепи в установившемся режиме при гармоническом воздействии сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правыми частями которых являются гармонические функции времени одной и той же частоты.
Р ассмотрим последовательную RL-цепь (рис. 3.4a), к зажимам которой приложено изменяющееся по гармоническому закону напряжение . Найдём ток i (его амплитуду Im и начальную фазу i).
Согласно 2ЗК имеем , где . Тогда
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с гармонической функцией в правой части. Частное решение уравнения при t = будем искать в виде где = u i; в данном случае i = .
Подставив выражение тока в дифференциальное уравнение, получим
или
Первое слагаемое есть напряжение uR на резисторе, амплитуда которого , а сдвиг фаз между напряжением uR и током i, т.е. ток i в резисторе совпадает по фазе с напряжением uR (рис. 3.4б, в).
Во втором слагаемом uL уравнения (амплитуда . Откуда амплитуда тока , где XL = L = 2fL реактивное индуктивное сопротивление (в омах) индуктивной катушки, прямо пропорциональное частоте .
Разность фаз между напряжением uL и током i = iL (рис. 3.4б, в)
= u I = + /2 + = /2 (90),
т .е. ток iL в индуктивном элементе отстаёт от напряжения uL по фазе на угол /2 (или напряжение uL опережает по фазе ток iL на угол /2).
В полученном уравнении Um = UmR + UmL две неизвестные величины: амплитуда тока Im и угол сдвига фаз между напряжением u(t) и током i(t), значения которых можно определить, построив векторную диаграмму тока и напряжений цепи (рис. 3.6а).
Получили треугольник напряжений. Применив теорему Пифагора
,
получим амплитуда тока ,
где полное сопротивление RL-цепи.
Второй искомый параметр тока начальную фазу i = определим из треугольника сопротивлений (рис. 3.6б), который получен из треугольника напряжений посредством деления всех его сторон (векторов) на вектор тока Im:
т.е. ток i(t) в RL-цепи отстаёт по фазе от приложенного к цепи напряжения u(t) на угол .
Поделив на левую и правую части выражения Im = Um/Z, получим соотношение для действующих значений тока и напряжения на входе RL-цепи (рис. 3.6в)
Применив рассмотренную методику анализа цепи методом векторных диаграмм:
а) согласно второму закону Кирхгофа записывают интегрально-дифференциальное уравнение цепи;
б) решение уравнения ищут в виде ;
в) подставив выражение тока i(t) в уравнение, уточняют фазы напряжений на элементах R, L, С и на других элементах;
г) строят векторную диаграмму напряжений, начиная с вектора тока Im (при t = 0), и треугольник сопротивлений цепи; далее, вычисляют полное сопротивление Z, амплитуду тока Im, его начальную фазу i и сдвиг фаз между напряжением u(t) и током i(t) на входе цепи,
к последовательной RC-цепи (рис. 3.7), получим:
а ) дифференциальное уравнение состояния цепи , а после подстановки выражения тока и преобразования
или
,
в котором амплитуда напряжения на конденсаторе ,
где реактивное ёмкостное сопротивление,
в) сдвиг фаз между напряжением uC(t) и током iС(t) в ёмкостном элементе (рис. 3.8а)
=
т .е. ток i(t) = iС(t) в ёмкостном элементе опережает напряжение uС(t) по фазе на угол /2 (рис. 3.8б и в).
г) построив ВД тока и напряжений, получили вектор напряжение на входе цепи (рис. 3.9а)
И з векторной диаграммы следует, что ток i(t) в RC-цепи опережает приложенное к цепи напряжение u(t) по фазе на угол .
Векторная диаграмма для действующих значений напряжений и тока представлена на рис. 3.9б.
Из треугольников напряжений (рис. 3.9а и б) имеем
,
откуда амплитуда и действующее значение искомого тока
I = , где полное сопротивление RC-цепи.
Из треугольника сопротивлений (рис. 3.9в) RC-цепи определим угол сдвига фаз
,
откуда следует, что значение ёмкостного сопротивления XC в формулах расчёта токов в ветвях цепей нужно подставлять со знаком минус.