3.3. Анализ и расчет последовательной rlc-цепь

П ри последовательном соединении элементов R, L и C (рис. 3.10) приложенное к зажимам цепи напряжение равно сумме нап­ряже­ний на эле­мен­тах цепи:

u = u_R + u_L + u_С =

После подстановки тока ) имеем

Вид век­­торной диаграммы напряжений и тока и характер электри­че­ских про­цес­сов, протекающих в цепи, зависят от соотношения сопротив­лений X_L и X_C:

 при (X_L > X_C) и U_mL > U_mC цепь носит активно-индук­ти­в­ный ха­рак­тер; ток i отстает по фазе от напряжения u на угол  (рис. 3.11а);

 при (X_L < X_C) и U_mL < U_mC цепь носит активно-ёмко­ст­ный ха­рактер; ток i опережает по фазе напряжение u на угол  (рис. 3.11б);

 при (X_L = X_C) и U_mL = U_mC цепь для источника энергии  чисто активная нагрузка; вследствие возникшего в цепи резонанса напряжений угол между входным током и напряжением  = 0 (рис. 3.11в).

И з треугольников напряжения (см. рис. 3.11а, б) следует, что

,

откуда амплитуда тока

Из тре­угольников сопротивлений (рис. 3.12а, б) следует, что полное со­про­ти­вление последовательной RLC-цепи равно

,

где  полное реактивное сопротивление RLC-цепи.

Сдвиг фаз между напряжением u(t) и током i(t) в RLC-цепи (рис. 3.12)



 алгебраическая величина, зависящая от соотношения сопротивлений X_L, X_C и R.

3.4. Мощности цепи синусоидального тока

При синусоидальном напряжении приложенном к зажи­мам RLC-це­­­­пи (рис. 3.13а), и ус­та­новившемся в ней токе (при , рис. 3.13б) выражение мгно­вен­ной мощности имеет вид

p(t) = dW/dt = u(t)i(t) = (u_R + u_L + u_С )i =

После подстановки тока i и напряжения

u = получим =

график которой приведён на рис. 3.13в.

Проведём анализ каждой составляющей мощности р(t) цепи.

Активная мощность цепи. Анализируя выражение мгновенной мощ­ности = в резистивном элементе R (рис. 3.14а, б), замечаем, что она знакоположи­тель­ная функ­ция. Это озна­ча­ет, что элек­три­че­ская эне­ргия источ­ни­ка необ­ра­тимо пре­образует­ся в элементе R в другие виды, например, в теп­ловую энергию. Та­кую мощ­ность на­зы­вают ак­­тивной и из­меряют в ваттах [Вт]. Степень необратимого преоб­­ра­­­зо­­­вания энергии в цепи оценивают сред­ним зна­­­че­нием мгновенной мощ­но­сти р(t) за пе­риод T и обозна­ча­ют символом P:

Примечание. Напомним, что интеграл от гармонических функций типа sint, cost, cos2t, cos(t  ), cos(2t  ) и т. д. за период Т равен нулю.

Итак, активная мощность цепи си­ну­соидального тока есть сред­нее зна­чение общей мощ­ности р(t) за период T. Она равна произведению действующих значений приложенного к цепи напряжения U и тока I, умноженному на cos, т. е.

P = UI cos = RI².

Реактивная индуктивная мощность. Анализ мгновенной мощ­­­ности в индук­тивном элементе L

показывает, что это знакопере­мен­ная фун­кция, изменяющаяся с двой­­ной час­тотой по отношению к частоте из­мене­ния напряжения u_L и тока i_L в це­пи (рис. 3.15б). Среднее значение мощ­ности p_L(t) за период T равно ну­лю.

В индуктивном элементе в пер­­­­вую четверть периода T (см. рис. 3.15а) напря­же­ние u_L и ток i_L имеют знак плюс, по­это­му мощ­ность p_L = u_Li_L > 0, т.е. индук­тив­ный эле­мент по­требляет электри­ческую энергию источника и преоб­разовывает её в маг­нитную, накапливая её в магнитном поле катушки. Во вторую четверть пе­риода напряжение u_L и ток i_L имеют проти­во­по­ло­жные знаки, поэтому мощ­ность p_L = u_Li_L < 0. В это время нако­п­ленная маг­нитная энергия воз­враща­ется источнику, преобразовываясь в электри­ческую энер­гию. В тре­тьей четверти проис­ходит накопление энер­гии в магнитном поле элемента L, в четвертой  её возврат источнику энергии.

И нтенсивность преобразования электрической энергии источни­ка в маг­­­нитную в элементе L и обратно оценивается реактивной ин­дуктивной мощностью +Q_L, которая равна амплитуде мощности (см. рис. 3.15б), все­гда берётся со знаком плюс и измеряется в варах (вольт-ампер реактивный) [вар], т.е.

.

Реактивная ёмкостная мощность цепи. Анализируя мгновен­ную мощность в ёмкостном элементе

заключаем, что это знакопере­мен­ная фун­кция времени (рис. 2.16б), из­ме­ня­­­юща­яся с частотой 2 и на­хо­дя­ща­я­ся в про­тивофазе с реактив­ной индук­­тив­ной мощ­­ностью p_L(t) (см. рис. 3.16б). Среднее значение мощности p_С(t) за период T равно нулю.

В ёмкостном элементе в пер­вую чет­­верть периода T нап­ряжение u_С и ток i_С имеют разные знаки (см. рис. 3.16а), что озна­чает, что ёмкостный эле­мент воз­в­ра­щает на­коп­ленную в электриче­ском поле кон­денсатора электри­ческую энер­гию источнику (кон­ден­са­тор разря­жает­ся). Во вторую четверть периода ток i_С и напряжение u_С имеют одинаковое направление. В этом случае ёмкостный элемент (кон­­денсатор) потребляет энергию исто­ч­ника и накапливает её в электри­ческом поле (конденсатор заряжается). В третью четверть периода накоп­ленная в электрическом поле конденсатора энергия возвращается источ­ни­ку, в чет­вер­тую  конденсатор вновь заряжа­ется (потребляет энергию ис­точ­ника).

Интенсивность преобразования энергии в конденсаторе оценива­ется ре­активной ёмкостной мощностью -Q_C, которая равна ампли­туде p_С (см. рис. 3.14б), всегда берётся со знаком минус и измеря­ет­ся в варах [вар], т.е.

.

Полная мощность цепи синусоидального тока. Для определения значения полной мощности и соотно­шений между полной, активной и реактивной мощно­стями после­довательной RLC-цепи (рис. 3.13а) при построим вектор­ную диаграмму напряжений цепи (рис. 3.17а).

Умножив все стороны треугольника напряжений на значение тока I_m/2, получим подобный треугольник мощностей (рис. 3.17б), в котором полная мощность

,

т.е. полная мощность S цепи равна произведению действующих значе­ний напряже­ния и тока на её зажимах. Eё измеряют в вольт-амперах [ВА] или в киловольт-амперах [кВА].

Реактивная мощность цепи

.

Мощности P, Q и S, потребляемые цепью синусоидального тока, связаны соотношением

Отметим, что накопление энергии в ин­дуктивном и ёмкостном элементах про­ис­хо­дит в разное время: если в магнитном поле индуктивной катушки на­капливается магнит­ная энергия, то в это вре­мя электрическая энергия, запасённая в электрическом поле кон­денсатора, возвращает­ся источнику и обратно.